2022届高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5讲抛物线作业试题2含解析新人教版

第五讲 抛物线 1.[2021 合肥调研]已知 P 为抛物线 y2=4x 上一点,Q 为圆(x-6)2+y2=1 上一点,则|PQ|的最小值为 ( ) A. 21 -1 5 5 5 -1 5 2.[2021 湖南模拟]已知抛物线 C:y2=2px(p>0),倾斜角为π 6 3 ,则 p 的值为 ( ) A. 1 2 3.[2020 合肥市调研检测]设抛物线的顶点为坐标原点,焦点 F 的坐标为(1,0).若该抛物线上两点 A,B 的横坐标之和为 5,则弦 AB 的长的最大值为 ( ) 4.[2020 长春市第一次质量监测]已知椭圆 2 4 + 2 3 =1 的右焦点 F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,过 F 作倾斜角为 60° 的直线交抛物线于 A,B(A 在 x 轴上方)两点,则 || || 的值为 ( ) A. 3 5.[2020 安徽皖中名校二联]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”讲述了“勾股定理” 及一些应用,书中把直角三角形的两条直角边分别称为“勾”“股”,把斜边称为“弦”.设点 F 是抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点,直线 l 是该抛物线的准线,过抛物线上一点 A 作准线的垂线 AB,垂足为 B,射线 AF 交准线 l 于点 C,若 Rt△ABC 的“勾”|AB|=3,“股”|CB|=3 3 ,则抛物线的方程为( ) 2=2x 2=3x 2=4x 2=6x 6.[2021 山东菏泽联考][多选题]已知直线 l 过抛物线 C:y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于 M,N 两点,若线段 MN 的长是 16,MN 的中点到 y 轴的距离是 6,O 是坐标原点,则下列说法正确的是 ( ) 2=-8x B.抛物线 C 的准线方程是 y=2 C.直线 l 的方程是 x-y+2=0 D.△MON 的面积是 8 2 7.[2021 江西红色七校第一次联考]已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,P 为抛物线上一动点,点 A(1,1),当△PAF 的周长最 小时,PF 所在直线的斜率为 . 8.[2020 湖北部分重点中学高三测试]已知点 A(0,1),抛物线 C:y2=ax(a>0)的焦点为 F,连接 FA,与抛物线 C 相交于点 M,延长 FA,与抛物线 C 的准线相交于点 N,若|FM|∶|MN|=1∶2,则实数 a 的值为 . 9.[2021 陕西省部分学校摸底检测]已知椭圆 E: 2 2 +y2=1(a>1)的离心率为 3 2 ,右顶点为 P(a,0),P 是抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)若 C 上存在两动点 A,B(A,B 在 x 轴两侧),满足 · =20(O 为坐标原点),且△PAB 的周长为 2|AB|+4,求|AB|. 10.[2020 广东模拟]已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线 C 上存在一点 E(2,t)到焦点 F 的距离等于 3. (1)求抛物线 C 的方程; (2)已知点 P 在抛物线 C 上且异于原点,点 Q 为直线 x=-1 上的点,且 FP⊥FQ,求直线 PQ 与抛物线 C 的交点个数,并 说明理由. 11.[2021 八省市新高考适应性考试]已知抛物线 y2=2px 上三点 A(2,2),B,C,直线 AB,AC 是圆(x-2)2+y2=1 的两条切 线,则直线 BC 的方程为 ( ) A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0 C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0 12.[2021 山东青岛模拟]如图 9-5-1,抛物线 E:x2=4y 与圆 M:x2+(y-1)2=16 交于 A,B 两点,点 P 为劣弧 AB 上不同于 A,B 的一个动点,平行于 y 轴的直线 PN 交抛物线 E 于点 N,则△PMN 的周长的取值范围是 ( ) A.(6,12) B.(8,10) C.(6,10) D.(8,12) 图 9-5-1 13.[2021 长春市第一次质量监测]已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点(点 A 在第 一象限),且 =4 ,则直线 l 的倾斜角为 ( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D. 2 π 3 14.[2021 洛阳市统考]已知抛物线 C:x2=8y 的焦点为 F,过 F 且倾斜角为π 4 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,点 D 为 抛物线 C 上的动点,且点 D 在 l 的右下方,则△DAB 面积的最大值为 ( ) 2 2 2 2 15.[2020 唐山市摸底考试]已知 F 为抛物线 T:x2=4y 的焦点,直线 l:y=kx+2 与 T 相交于 A,B 两点. (1)若 k=1,求|FA|+|FB|的值; (2)点 C(-3,-2),若∠CFA=∠CFB,求直线 l 的方程. 16.[2020 合肥市调研检测]已知抛物线 E:y2=2px(p>2)的焦点为 F,准线 l 与 x 轴交于点 M,P(x0,4)为抛物线上一点, 过 P 作 PN⊥l,垂足为 N,若四边形 MFPN 的周长为 16. (1)求 p 的值; (2)过点 M 作直线交抛物线于点 A,B,设直线 FA,FB 的斜率分别为 k1,k2,求 k1+k2 的值. 17.[新角度题]已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P 满足 =λ (O 为坐标原点),若过点 O 作互相垂直的两弦 OA,OB,则当弦 AB 恒过点 P 时,λ的所有可能取值的集合为 ( ) A.{4} B.{3} C.{ 1 4 ,4,3} D.{ 1 3 ,3,4} 18.[多选题]已知 O 为坐标原点,抛物线 C:y2=2px 上一点 A 到焦点 F 的距离为 4,若点 M 为抛物线 C 准线上的动点, 以下说法正确的是 ( ) A.当△MAF 为正三角形时,p 的值为 2 B.存在点 M,使得 - =0 =3 ,则 p=3 D.若|OM|+|MA|的最小值为 2 13 ,则 p=4 或 12 19.[2020 烟台市诊断性测试][递进型]已知 F 为抛物线 x2=2py(p>0)的焦点,点 A(1,p),M 为抛物线上任意一 点,|MA|+|MF|的最小值为 3,则抛物线方程为 ,若线段 AF 的垂直平分线交抛物线于 P,Q 两点,则四边形 APFQ 的面积为 . 答 案 第五讲 抛物线 1.C 设点 P 的坐标为( 1 4 m2,m),易知圆(x-6)2+y2=1 的圆心为 A(6,0),所以|PA|2=( 1 4 m2-6)2+m2= 1 16 ( 2 -16) 2 +20≥20, 所以|PA|≥2 5 .因为点 Q 是圆(x-6)2+y2=1 上任意一点,所以|PQ|的最小值为 2 5 -1.故选 C. 2.C 解法一 依题意,设直线 AB 的方程为 y= 3 3 x+m, 联立直线 AB 与抛物线的方程得 = 3 3 + , 2 = 2, 消去 y 并整理得 x2+(2 3 m-6p)x+3m2=0,Δ>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=6p-2 3 m,y1+y2= 3 3 (x1+x2)+2m=2 3 p, 所以 1+2 2 = 3 p=2 3 ,解得 p=2.故选 C. 解法二 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得 y1+y2=4 3 ,且 1-2 1-2 =tan π 6 = 3 3 .由 1 2 = 21, 2 2 = 22, 得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),由 题意知 x1≠x2,所以(y1+y2)· 1-2 1-2 =2p,所以 4 3 × 3 3 =2p,解得 p=2.故选 C. 3.B 因为抛物线的顶点为坐标原点,焦点为 F(1,0),所以 2 =1,解得 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由题意知 x1+x2=5.连接 AF,BF,则由抛物线的定义知|AF|=x1+ 2 =x1+1,|BF|=x2+ 2 =x2+1,则|AB|≤ |AF|+|BF|=x1+x2+2=7,所以弦 AB 的长的最大值为 7,故选 B. 4.C 设 A(xA,yA),B(xB,yB),由题意知 F(1,0),所以 2 =1,p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x.过 F 且倾斜角为 60°的直线的 方程为 y= 3 (x-1),代入抛物线方程,得 3x2-10x+3=0,解得 xA=3,xB= 1 3 . 解法一 易得 2 =12, 2 = 4 3 ,所以 || || = (3-1)2 +12 ( 1 3-1)2+ 4 3 =3,故选 C. 解法二 由抛物线的定义,得|AF|=xA+ 2 =4,|BF|=xB+ 2 = 4 3 ,所以 || || =3,故选 C. 5.B 依题意知,|AB|=3=|AF|,|AC|= || 2 + || 2 =6,所以点 F 是线段 AC 的中点,则 p= 1 2 |AB|= 3 2 ,于是抛物线的方 程为 y2=3x.故选 B. 6.AD 设 M(x1,y1),N(x2,y2),根据抛物线的定义可知|MN|=-(x1+x2)+p=16.又 MN 的中点到 y 轴的距离是 6,所以 - 1+2 2 =6,即 x1+x2=-12,则 p=4,所以抛物线 C 的方程是 y2=-8x,故 A 正确.由 p=4 知抛物线 C 的准线方程为 x=2, 故 B 错误.抛物线 C 的焦点为 F(-2,0),设直线 l 的方程是 x=my-2,与抛物线方程联立,消元得 y2+8my-16=0,则Δ =64m2+64>0,y1+y2=-8m,y1y2=-16,所以 x1+x2=-8m2 △MON= 1 2 ×|OF|×|y1-y2|= 1 2 ×2× (1 + 2) 2 -412 =8 2 ,故 D 正确.故选 AD. 4 3 由题意可知抛物线的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1,因为 A(1,1),所以|AF|=1,△PAF 的周长 l=|PA|+|PF|+|AF|.过点 P 作准线 x=-1 的垂线,垂足为 M,根据抛物线的定义可知|PM|=|PF|,则当 A,P,M 三点共线时,|PA|+|PM|最小,此时 P 点 的纵坐标为 1,代入抛物线的方程可得 P 点的横坐标为 1 4 ,所以直线 PF 的斜率为 1 − 01 4-1 =- 4 3 . 8. 4 3 3 解法一 依题意得抛物线的焦点 F 的坐标为( 4 ,0),过 M 作抛物线的准线的垂线,垂足为 K,由抛物线的定义知 |MF|=|MK|.因为|FM|∶|MN|=1∶2,所以|KN|∶|KM|= 3 ∶1,又 kFN= 0 − 1 4-0 =- 4 ,kFN=- || || =- 3 ,所以- 4 =- 3 ,解得 a= 4 3 3 . 解法二 设 M(xM,yM),因为 A(0,1),抛物线 C:y2=ax(a>0)的焦点为 F( 4 ,0),准线方程为 x=- 4 ,所以直线 AF 的方程为 4x+ay-a=0,所以 N(- 4 ,2).因为|FM|∶|MN|=1∶2,所以|FM|= 1 3 |FN|,所以 xM= 12 ,yM= 2 3 .因为点 M(xM,yM)在抛物线上, 所以 4 9 = 2 12 ,解得 a= 4 3 3 . 9.(1)因为椭圆 E: 2 2 +y2=1 的离心率为 3 2 ,所以 2 -1 2 = 3 4 , 解得 a2=4,所以 a=2,所以 2 =2,所以 p=4, 从而抛物线 C 的标准方程为 y2=8x. (2)由题意知直线 AB 的斜率不为零,设直线 AB:x=my+n(n≠2), 代入 y2=8x 得 y2-8my-8n=0,Δ=64m2+32n>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),其中 y1y20 且 n≠2. 因为 · =20, 所以 · =x1x2+y1y2= 1 2 2 2 64 +y1y2=20, 即 n2-8n=20,所以(n-10)(n+2)=0,故 n=10 或 n=-2(舍去), 则直线 AB:x=my+10. 因为△PAB 的周长为 2|AB|+4,所以|PA|+|PB|+|AB|=2|AB|+4, 即|PA|+|PB|=|AB|+4, 因为|PA|+|PB|=x1+x2+4=m(y1+y2)+24=8m2+24, |AB|= 1 + 2 |y1-y2|= 1 + 2 · (8) 2 + 320 , 所以 8m2+20= (1+ 2 )(64 2 + 320) ,解得 m=± 5 2 , 所以|AB|= (1+ 2 )(64 2 + 320) =30. 10.(1)由题意知,抛物线 C 的准线方程为 x=- 2 , 所以点 E(2,t)到焦点 F 的距离为 2+ 2 =3,解得 p=2. 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)直线 PQ 与抛物线 C 只有一个交点. 理由如下: 设 P( 0 2 4 , 0 ),y0≠0,Q(-1,m). 由(1)得焦点 F(1,0), 则 =( 0 2 4 -1, 0 ), =(-2,m),由题意可得 · =0, 故-2( 0 2 4 -1)+m 0 =0,从而 m= 0 2 -4 20 . 故直线 PQ 的斜率 kPQ= 0- 0 2 4 +1 = 2 0 . 故直线 PQ 的方程为 y-y0= 2 0 (x- 0 2 4 ),得 x= 0 2 - 0 2 4 ①. 又抛物线 C 的方程为 y2=4x ②, 所以由①②得 (-0) 2 =0,故 y=y0,x= 0 2 4 . 故直线 PQ 与抛物线 C 只有一个交点. 11.B 设 B( 2 2 ,b),C( 2 2 ,c),则直线 BC 的方程为 2x-(b+c)y+bc=0,直线 AC 的方程为 2x-(2+c)y+2c=0,直线 AB 的方 程为 2x-(2+b)y+2b=0.因为直线 AC 与圆相切,所以 |4+2| 4+(2+)2 =1,化简得 3c2+12c+8=0.同理,3b2+12b+8=0,则 b,c 是方程 3t2+12t+8=0 的两根,b+c=-4,bc= 8 3 .所以直线 BC 的方程为 2x+4y+ 8 3 =0,即 3x+6y+4=0. 12.B 由题意可得抛物线 E 的焦点为(0,1),圆 M 的圆心为(0,1),半径为 4,所以圆心 M(0,1)为抛物线的焦点,故|NM| 等于点 N 到准线 y=-1 的距离,又 PN∥y 轴,设 NP 与抛物线的准线 y=-1 交于点 H,由抛物线定义可得,|MN|=|NH|, 故△PMN 的周长 l=|PM|+|PN|+|NH|=|PH|+4,由 2 = 4, 2 + (-1) 2 = 16, 得 y=3,又点 P 为劣弧 AB 上不同于 A,B 的一个 动点,所以|PH|的取值范围是(4,6),所以△PMN 的周长的取值范围是(8,10),故选 B. 13.C 解法一 由题意知,抛物线的焦点为 F( 2 ,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2|AF|=4,所以 p=12 不符合题意,所以 p=4,所以 D 不正确. 故选 AC. 图 D 9-5-5 2=4y 4 3 设抛物线的准线为 l,其方程为 y=- 2 ,①当 A(1,p)在抛物线内部时,过点 M 作 MN⊥l 于点 N,则 |MN|=|MF|,连接 AN,所以|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AN|≥p+ 2 =3,所以 p=2,当且仅当 A,M,N 三点共线时等号成立, 经验证满足条件.②当 A(1,p)在抛物线外部时,|MA|+|MF|≥|AF|= 1 + 2 4 ,所以 1 + 2 4 =3,解得 p=4 2 ,此时抛物线方 程为 x2=8 2 y,A(1,4 2 2=4y,易得 A(1,2),F(0,1),|AF|= 2 ,AF 的中点坐标为( 1 2 , 3 2 ),直线 AF 的斜率为 1,则直线 AF 的垂 直平分线方程为 y- 3 2 =-(x- 1 2 ),即 y=-x+2,联立得 = − + 2, 2 = 4, 消去 y,得 x2+4x-8=0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1,2=-2±2 3 , 所以|PQ|= 1 + ( − 1) 2 × (1-2) 2 =4 6 ,所以四边形 APFQ 的面积为 1 2 |PQ|·|AF|= 1 2 ×4 6 × 2 =4 3 .