2022届高考数学一轮复习第9章平面解析几何第2讲圆的方程及直线圆的位置关系作业试题2含解析新人教版

第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系 1.[2021 南京市学情调研]在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 A:(x-1)2+y2=1,点 B(3,0),过动点 P 引圆 A 的切线,切点 为 T.若|PT|= 2 |PB|,则动点 P 的轨迹方程为 ( ) 2+y2-14x+18=0 2+y2+14x+18=0 2+y2-10x+18=0 2+y2+10x+18=0 2.[2021 云南省部分学校统一检测]圆 x2+y2-4y-4=0 上恰有两点到直线 x-y+a=0(a>0)的距离为 2 ,则 a 的取值范 围是 ( ) A.(4,8) B.[4,8) C.(0,4) D.(0,4] 3.[2021 河南省名校第一次联考]已知圆 C:(x-a)2+y2=4(a≥2)与直线 x-y+2 2 -2=0 相切,则圆 C 与直线 x-y-4=0 相 交所得弦长为 ( ) A.1 B. 2 2 4.[2021 安徽省示范高中联考]已知两个不相等的实数 a,b 满足关系式 b2cos θ+bsin θ+2=0 和 a2cos θ+asin θ +2=0,则经过 A(a2,a),B(b2,b)两点的直线 l 与圆 x2+y2=4 的位置关系是 ( ) 5.[2020 武汉市高三学习质量检测]圆 C1:x2+y2=4 与圆 C2:x2 +y2-4x+4y-12=0 的公共弦的长为 ( ) A. 2 2 3 6.[2020 贵阳市高三摸底测试]“m= 4 3 ”是“直线 x-my+4m-2=0 与圆 x2+y2=4 相切”的 ( ) 7.[2020 湖北武汉部分学校测试]已知 A(-1,0),B(1,0)两点以及圆 C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆 C 上存在点 P,满足 · =0,则 r 的取值范围是 ( ) A.[3,6] B.[3,5] C.[4,5] D.[4,6] 8.[原创题]已知圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0,若点 A,B 在圆 C 上,满足|AB|=2 3 ,且 AB 的中点 M 在直线 2x+y+k=0 上, 则实数 k 的取值范围是 ( ) A.[-2 5 ,2 5 ] B.[-5,5] C.(- 5 , 5 ) D.[- 5 , 5 ] 9.[多选题]已知圆 O:x2+y2=49,直线 l 过点 N(2,6),且交圆 O 于 P,Q 两点,点 M 为线段 PQ 的中点,则下列结论正确的 是 ( ) B.|PQ|的最小值为 6 C.使|PQ|为整数的直线 l 共有 9 条 D.使|PQ|为整数的直线 l 共有 16 条 10.[2021 合肥市调研检测]若直线 l 经过抛物线 x2=-4y 的焦点且与圆(x-1)2+(y-2)2=1 相切,则直线 l 的方程 为 . 11.[2020 湖北孝感模拟]在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2).若存在点 P,使得 |PA|= 2 |PB|,|PC|=|PD|,则实数 a 的取值范围是 . 12.[2020 山东省质检]过直线 x+y+1=0 上一点 P 作圆 C:x2+y2-4x-2y+4=0 的两条切线,切点分别为 A,B,若四边形 PACB 的面积为 3,则点 P 的横坐标为 . 13.[2020 湖南模拟]若函数 f(x)=- 1 eax(a>0,b>0)的图象在 x=0 处的切线与圆 x2+y2=1 相切,则 a+b 的最大值 是 . 14.[2018 全国卷Ⅱ,12 分]设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=8. (1)求 l 的方程; (2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程. 15.[2021 山西省晋南检测]过圆 x2+y2=4 上一点 P 作圆 O:x2+y2=m2(m>0)的两条切线,切点分别为 A,B,若∠APB=π 3 , 则实数 m= ( ) A. 1 3 B. 1 2 16.[2021 陕西百校联考]已知圆 M:x2+y2+2x-1=0,直线 l:x-y-3=0,点 P 在直线 l 上运动,直线 PA,PB 分别与圆 M 相 切于点 A,B,当切线长 PA 最小时,弦 AB 的长度为 ( ) A. 6 2 B. 6 6 6 17.[2021 陕西省部分学校摸底检测]已知圆 C1:x2+y2-kx-y=0 和圆 C2:x2+y2-2ky-1=0 的公共弦所在的直线恒过定 点 M,且点 M 在直线 mx+ny=2 上,则 2 + 2 的最小值为( ) A. 1 5 B. 5 5 C. 2 5 5 D. 4 5 18.[2021 黑龙江省高三六校联考]已知直线 3 x-y-3=0 与 x 轴交于点 A,与圆 M:(x-2)2+(y+3)2=4 交于 B,C 两点,过 点 A 的直线与过 B,C 两点的动圆 N 相切于点 P,当△PBC 的面积最大时,切线 AP 的方程为 ( ) A.x+ 3 y+ 3 =0 B. 3 x+y+ 3 =0 C. 3 x+y- 3 =0 D.x+ 3 y- 3 =0 19.[2020 惠州市一调]已知双曲线 2 2 - 2 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 2,则该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 的公共点 的个数为 ( ) 20.[2020 江苏,5 分]在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P( 3 2 ,0),A,B 是圆 C:x2+(y- 1 2 )2=36 上的两个动点,满足|PA|=|PB|, 则△PAB 面积的最大值是 . 21.[2020 广东省茂名市联考]已知圆 C:x2+y2-8x-6y+F=0 与圆 O:x2+y2=4 相外切,切点为 A,过点 P(4,1)的直线与圆 C 交于点 M,N,线段 MN 的中点为 Q. (1)求点 Q 的轨迹方程; (2)若|AQ|=|AP|,点 P 与点 Q 不重合,求直线 MN 的方程及△AMN 的面积. 22.[2019 湖北省模拟]已知圆 C 经过点 A( 7 4 , 17 4 ),B(- 31 8 , 33 8 ),直线 x=0 平分圆 C,直线 l 与圆 C 相切,与圆 C1:x2+y2=1 相 交于 P,Q 两点,且满足 OP⊥OQ(O 为坐标原点). (1)求圆 C 的方程; (2)求直线 l 的方程. 23.[递进型]已知圆 C:x2+y2-2x-6y+4=0 与直线 l:x+y+b=0,若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,且∠AOB=90°(O 为坐标 原点),则 b= ,|AB|= . 24.[与不等式综合]点 M(x,y)在曲线 C:x2-4x+y2-21=0 上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a, 且 t 的最大值为 b, 若 a,b 均为正实数,则 1 +1 + 1 的最小值为 . 25.[2020 南昌市一模][递进型]如图 9-2-1,一列圆 Cn:x2+(y-an)2= 2 (an>0,rn>0)逐个外切,且所有的圆均与直线 y=± 2 2 x 相切,若 r1=1,则 a1= ,rn= . 图 9-2-1 答 案 第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系 1.C 设 P(x,y),由圆的切线的性质知,|PT|2+|AT|2=|PA|2.因为|PT|= 2 |PB|,所以 2|PB|2+|AT|2=|PA|2,即 2[(x-3)2+y2]+1=(x-1)2+y2,整理得 x2+y2-10x+18=0,故选 C. 2.A 将圆的方程 x2+y2-4y-4=0 化为标准方程得 x2+(y-2)2=8,则该圆的圆心坐标为(0,2),半径为 2 2 .设圆心到直线 x-y+a=0(a>0)的距离为 d,因为圆 x2+(y-2)2=8 上恰有两点到直线 x-y+a=0(a>0)的距离为 2 ,所以 2 0,所以 a2+b2≥ 2ab,所以 2(a2+b2)≥(a+b)2,所以 a+b≤ 2 ,所以 a+b 的最大值是 2 . 14.(1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k>0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由 = (-1), 2 = 4, 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,x1+x2= 2 2 +4 2 . 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2= 4 2 +4 2 . 由题设知 4 2 +4 2 =8,解得 k=-1(舍去),k=1. 因此 l 的方程为 y=x-1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线的方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为 (x0,y0),则 0 = − 0 + 5, (0 + 1) 2 = (0-0+1) 2 2 + 16, 解得 0 = 3, 0 = 2 或 0 = 11, 0 = − 6. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144. 图 D 9-2-3 15.C 如图 D 9-2-3,连接 OA,OB,OP,则∠APO= 1 2 ∠APB=π 6 ,∴m=|OA|=|PO|·sin∠APO=2× 1 2 =1,故选 C. 16.B 解法一 由题意可得圆 M 的标准方程为(x+1)2+y2=2.设 P(a,a-3),则 |PA|2=|PM|2-|MA|2=(a+1)2+(a-3)2-2=2(a-1)2+6,所以当 a=1 时,|PA|2 取得最小值 6,所以|PA|min= 6 ,此时 |PM|=2 2 ,S△PAM= 1 2 ×|MA|×|PA|= 1 2 ×|PM|× || 2 ,即 2 × 6 =2 2 × || 2 ,解得|AB|= 6 ,故选 B. 解法二 因为|PA|2=|PM|2-|MA|2=|PM|2-2,所以当|PA|取得最小值时,|PM|取得最小值,此时直线 PM 与直线 l 垂直, 则|PM|= |-1-0-3| 2 = 4 2 =2 2 ,|PA|= || 2 -2 = 6 ,所以 S△PAM= 1 2 ×|MA|×|PA|= 1 2 ×|PM|× || 2 ,即 2 × 6 =2 2 × || 2 ,解得 |AB|= 6 ,故选 B. 17.C 由圆 C1:x2+y2-kx-y=0 和圆 C2:x2+y2-2ky-1=0,可得两圆的公共弦所在的直线方程为 k(x-2y)+(y-1)=0,联立 -2 = 0, -1=0, 解得 = 2, = 1, 即点 M(2,1),又点 M 在直线 mx+ny=2 上,所以 2m+n=2.因为原点(0,0)到直线 2x+y=2 的距 离 d= 2 22+12 = 2 5 5 ,所以 2 + 2 的最小值为 2 5 5 ,故选 C. 图 D 9-2-4 18.D 由题意得,A( 3 ,0),圆 M 的圆心 M(2,-3),所以|AM|2=( 3 -2)2+32=16-4 3 .如图 D 9-2-4,设 H 是 BC 的中点, 则 |AP|2=|AN|2-|NP|2=|AN|2-|NC|2=(|AH|2+|NH|2)-(|CH|2+|NH|2)=|AH|2-|CH|2=(|AM|2-|MH|2)-(|MC|2-|MH|2)=|A M|2-|MC|2=12-4 3 ,所以|AP|为定值.在△PBC 中,设 BC 边上的高为 h,则 S△PBC= 1 2 |BC|·h,由于|BC|不变,则当 PA⊥BC 时,h 最大,此时 S△PBC 取得最大值,此时 AP 的方程为 y=- 3 3 (x- 3 ),即 x+ 3 y- 3 =0,故选 D. 19.B 双曲线 2 2 - 2 2 =1 的一条渐近线的方程为 y= x.由离心率 e= =2 得 2 2 =4,即 2 + 2 2 =4,得 = 3 ,所以这条渐近线的方 程为 y= 3 = 3, (-2) 2 + 2 = 3 消去 y 整理得 4x2-4x+1=0,因为Δ=16-4×4=0,所以渐近线 y= 3 x 与圆(x-2)2+y2=3 只 有一个公共点.由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 的公共点的个数为 2,故选 B. 5 解法一 连接 CA,CB,则|CA|=|CB|,连接 CP,由|PA|=|PB|且|CA|=|CB|得 AB 的垂直平分线是直线 CP,设圆心 C 到 AB 的距离为 d(0≤d0,即 1+k2>m2,x1+x2=- 2 1+ 2 ,x1x2= 2 -1 1+ 2 , y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= 2 ( 2 -1) 1+ 2 - 2 2 2 1+ 2 +m2= 2 - 2 1+ 2 , 又 OP⊥OQ,所以 · =0,即 x1x2+y1y2= 2 -1 1+ 2 + 2 - 2 1+ 2 =0,故 2m2=1+k2,满足Δ>0,符合题意. 因为直线 l:y=kx+m 与圆 C:x2+(y-4)2= 1 2 相切, 所以圆心 C(0,4)到直线 l 的距离 d= |-4| 1+2 = 2 2 ,可得 m2-8m+16= 1+ 2 2 , 故 m2-8m+16=m2,得 m=2,故 1+k2=2×22,得 k= 7 或 k=- 7 , 故直线 l 的方程为 y= 7 x+2 或 y=- 7 x+2. 综上,直线 l 的方程为 x= 2 2 或 x=- 2 2 或 y= 7 x+2 或 y=- 7 x+2. 23.-2 4 由 2 + 2 -2-6 + 4 = 0, + + = 0, 得 2x2+2(b+2)x+b2+6b+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得 1 + 2 = − -2, 12 = 2 +6+4 2 . 因为∠AOB=90°,所以 ⊥ ,所以 · =x1x2+y1y2=0,即 x1x2+(-x1-b)(-x2-b)=0,即 2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,所以 b2+6b+4+b(-b-2)+b2=0,解得 b=-2,故直线 l 为 x+y-2=0.易知圆 C 的圆心为(1,3), 半径为 6 ,故圆心到直线 x+y-2=0 的距离为 |1+3-2| 2 = 2 ,所以|AB|=2× 6 − 2 =4. 24.1 曲线 C 的方程可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线 C 表示圆心为(2,0),半径为 5 的 圆.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设 d= ( + 6) 2 + (-6) 2 ,则 d 表示圆 C 上的点到点(-6,6)的距 离,则 dmax= (2+6) 2 + (0-6) 2 +5=15,所以 tmax=152 1 +1 + 1 = 1 4 ( 1 +1 + 1 )(a+1+b)= 1 4 ×(1+ +1 + +1 +1). 又 +1 + +1 ≥2 +1 · +1 =2(当且仅当 +1 = +1 ,即 a=1,b=2 时取等号), 所以 1 +1 + 1 ≥ 1 4 ×4=1,即 1 +1 + 1 的最小值为 1. 25.3 2n-1 圆 Cn:x2+ (-) 2 = 2 与直线 y=±2 2 x 相切,所以圆心(0,an)到切线的距离 dn= 3 =rn,所以 an=3rn,因为 r1=1,所以 a1=3 .圆 Cn 与圆 Cn+1 外切,所以|CnCn+1|=an+1-an=3(rn+1-rn)=rn+1+rn,所以 +1 =2,数列{rn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,所以 rn=2n-1.