第四讲 双曲线
1.[2020 浙江,4 分]已知点 O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点 P 满足|PA|-|PB|=2,且 P 为函数 y=3
4
−
2
图象上的点,则
|OP|= ( )
A.
22
2
B.
4 10
5
C.
7
D.
10
2.[2021 大同市调研测试]已知双曲线 C 与抛物线 x2=8y 有共同的焦点 F,且点 F 到双曲线 C 的渐近线的距离等于 1,
则双曲线 C 的方程为 ( )
A.
2
3
-x2=1 B.
2
3
-y2=1
C.
2
5
-x2=1 2-
2
5
=1
3.[2021 郑州名校联考第一次调研]已知双曲线
2
2
-
2
2
=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-1)2+y2=sin2130°相切,则该双曲
线的离心率 e 等于 ( )
A.
1
sin50
°
B.
1
cos50
°
C.2sin 50° D.2cos 50°
4.[2021 四省八校联考]若 P 是双曲线 x2-y2=1 上一点,以线段 PO(O 为坐标原点)为直径的圆与该双曲线的两条渐近
线分别交于不同于原点的 A,B 两点,则四边形 PAOB 的面积为 ( )
A.
1
3
B.
1
2
C.1
5.[2020 天津,5 分]设双曲线 C 的方程为
2
2
-
2
2
=1(a>0,b>0),过抛物线 y2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条
渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方程为 ( )
A.
2
4
-
2
4
=1 2-
2
4
=1
C.
2
4
-y2=1 2-y2=1
6.[2020 南昌市测试]圆 C:x2+y2-10y+16=0 上有且仅有两点到双曲线
2
2
-
2
2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为 1,
则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A.(
2
,
5
) B.(
5
3
,
5
2
) C.(
5
4
,
5
2
) D.(
5
,
2
+1)
7.[多选题]已知双曲线
2
4
-
2
2
=sin2θ(θ≠kπ,k∈Z),则不因θ变化而变化的是 ( )
8.[2020 江西红色七校第一次联考]双曲线 C:x2-
2
3
=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在 C 上且 tan∠F1PF2=4
3
,O
为坐标原点,则|OP|= .
9.[2021 安徽省示范高中联考]已知点 F 为双曲线 C:
2
2
-
2
2
=1(a>0,b>0)的右焦点,直线 y=kx,k∈[
3
3
,
3
]与双曲线 C 交
于 A,B 两点,若 AF⊥BF,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A.[
2
,
3
+1] B.[
2
,
2
+
6
]
C.[2,
3
+1] D.[2,
2
+
6
]
10.[2021 江西九江三校联考]已知双曲线
2
2
-
2
2
=1(a>0,b>0)的离心率为 2,F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点,
M(-a,0),N(0,b),点 P 为线段 MN 上的动点,当
1
·
2
取得最小值和最大值时,△PF1F2 的面积分别为 S1,S2,则
2
1
=
( )
3 3
11.[2021 河南省名校第一次联考]已知 F1,F2 分别为双曲线
2
2
-
2
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1(-c,0)作 x 轴的垂线
交双曲线于 A,B 两点,若∠F1AF2 的平分线过点 M(-
1
3
c,0),则双曲线的离心率为 ( )
A.2 B.
2
C.3 D.
3
12.[2020 洛阳市第一次联考]已知双曲线 C:
2
2
-
2
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),A,B 是圆
(x+c)2+y2=4c2 与双曲线 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1A∥F2B,则双曲线 C 的离心率为 ( )
A.
2+ 7
3
B.
4+ 7
3
C.
3+ 17
4
D.
5+ 17
4
13.[2021 河北省六校第一次联考][多选题]已知双曲线
2
2
-
2
2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x-2y=0,双曲线的左
焦点在直线 x+y+
5
=0 上,A,B 分别是双曲线的左、右顶点,点 P 为双曲线右支上位于第一象限的动点,直线 PA,PB
的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2 的取值可能为 ( )
A.
3
4
C.
4
3
14.[2020 惠州市二调][新定义题]我们把焦点相同、离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1,F2
是一对相关曲线的焦点,P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率
是 ( )
A.
3
B.
2
C.
2 3
3
15.[递进型]在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程为 2x±y=0,且该双曲线经过点(
5
4
,
3
2
),则该双曲线的标准方程
为 ,焦点坐标为 .
答 案
第四讲 双曲线
1.D 由|PA|-|PB|=20,b>0),则其渐近线方程为 y=±
x,即 ax±by=0,点 F(0,2)到渐近线的距离为
2
2+2
=
2
=1,所以
b=1,所以 a2=c2-b2=3,故双曲线的方程为
2
3
-x2=1,故选 A.
3.B 根据对称性,取双曲线的一条渐近线 bx-ay=0.
圆(x-1)2+y2=sin2130°的圆心为(1,0),半径 r=sin 130°=sin 50°.因为渐近线与圆(x-1)2+y2=sin2130°相切,所以
2+2
=sin 50°,所以
2
2
=
sin
2
50
°
cos
2
50
°
.
所以 e=
=
1 +
2
2
=
1 +
sin2
50
°
cos250
°
=
1
cos50
°
.故选 B.
4.B 解法一 由题意,知该双曲线的渐近线方程为 y=±x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为 OP 为圆的直径,
点 A,B 在圆上,所以∠OAP=∠OBP=90°,所以四边形 PAOB 为矩形.设点 P(x1,y1),则点 P 到两条渐近线的距离分别为
|1-1|
2
,
|1+1|
2
,所以四边形 PAOB 的面积为
|1
2
-1
2
|
2
.又点 P(x1,y1)在双曲线 x2-y2=1 上,所以
1
2
-
1
2
=1,
所以 S 四边形 PAOB=
|1
2
-1
2
|
2
=
1
2
,故选 B.
解法二 如图 D 9-4-1,由题意,点 P 为双曲线上任意一点,不妨设点 P 为双曲线的右顶点,即 P(1,0).易知双曲线的渐
近线方程为y=±x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为OP为圆的直径,点A,B在圆上,所以∠OAP=∠OBP=90°.
又点 P(1,0)到两条渐近线的距离均为
2
2
,所以四边形 PAOB 为正方形,所以 S 四边形 PAOB=(
2
2
)2=
1
2
,故选 B.
图 D 9-4-1
5.D 解法一 由题知 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为 x+
=1,而
2
2
-
2
2
=1的渐近线方程为
+
=0 和
-
=0,由 l 与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得 a=1,b=1,故选 D.
2=4x 的焦点坐标为(1,0),l 过点(1,0),(0,b),所以
-0
0
−
1
=-1,b=1,故选 D.
6.C 不妨设该渐近线经过第二、四象限,则该渐近线的方程为 bx+ay=0.因为圆 C:x2+(y-5)2=9,所以圆 C 的圆心为
(0,5),半径为 3,所以 2<
|5|
2+2