第六讲 圆锥曲线的综合问题
1.[2021 洛阳市统考]已知椭圆 C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,其左、右焦点分别是 F1,F2,如图 9-6-1,过 F1 的直线
AB 与椭圆相交于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 8.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若直线 l:y=x+t 与椭圆相交于 M,N 两点,当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时,求 t 的取值范围.
图 9-6-1
2.[2021 四省八校联考]已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,直线 l 与 C 交于 A,B 两点,与 C 的准线交于点 M.
(1)若直线 l 经过点 F,且|AB|=4,求直线 l 的方程.
(2)设直线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1·k2=-2.
①证明:直线 l 经过定点,并求出定点的坐标.
②求
⸳
·
的最小值.
3.[2020 全国卷Ⅱ,12 分]已知椭圆 C1:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合,C1 的中心与 C21 于 A,B
两点,交 C2 于 C,D 两点,且|CD|=
4
3
|AB|.
(1)求 C1 的离心率;
(2)设 M 是 C1 与 C2 的公共点.若|MF|=5,求 C1 与 C2 的标准方程.
4.[2020 贵阳市高三摸底测试]已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F1(-
3
,0),且椭圆 C 经过点 P(
3
,
1
2
).
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设椭圆 C 与 y 轴的正半轴交于点 D,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点(l 不经过点 D),且 AD⊥BD,证明:直
线 l 经过定点,并求出该定点的坐标.
5.[2021 安徽省四校联考]已知椭圆 C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的离心率为
1
3
,上顶点为 M,右焦点为 F,坐标原点 O 到直线
MF 的距离为
2 2
3
.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)直线 l 为抛物线 y2=-36x 的准线,A,B 分别为椭圆的左、右顶点,P 为直线 l 上的任意一点(P 不在 x 轴上),PA 交椭
圆 C 于另一点 S,PB 交椭圆 C 于另一点 T,求证:S,F,T 三点共线.
6.[2021 八省市新高考适应性考试]双曲线 C:
2
2
-
2
2
=1(a>0,b>0)的左顶点为 A,右焦点为 F,动点 B 在 C 上.当 BF⊥AF
时,|AF|=|BF|.
(1)求 C 的离心率;
(2)若 B 在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
7.[2020 大同市高三调研]已知半圆 x2+y2=4(y≥0),动圆与此半圆相切(内切或外切,如图 9-6-2),且与 x 轴相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程,并画出其轨迹.
(2)是否存在斜率为
1
3
的直线 l,它与(1)中所得的轨迹由左至右顺次交于 A,B,C,D 四点,且满足|AD|=2|BC|?若存在,求出
直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
图 9-6-2
8.[2020 湖北部分重点中学高三测试]已知椭圆 C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,M 是椭圆上任意一点,
且△MF1F2 的周长为 4+2
2
,以坐标原点 O 为圆心,椭圆 C 的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设直线 l 是圆 O:x2+y2=
4
3
在动点 P(x0,y0)(x0·y0≠0)处的切线,l 与椭圆 C 交于不同的两点 Q,R,证明:∠QOR 的大小
为定值.
9.[2020 湖南长郡中学第三次适应性考试][新角度题]已知抛物线 G:y2=2px(p>0),其焦点为 F,过点 F 的直线 l 交抛
物线 G 于 A,B 两点,交抛物线 G 的准线于点 C.当点 F 恰好是线段 AC 的中点时,|BC|=
8
3
.
(1)求抛物线 G 的方程;
(2)点 O 是坐标原点,设直线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2,直线 l 的纵截距为 1,此时数列{an}满足 a1=1,k1+k2=-
16an+1+
(4 + 2)
2
.设数列{
1+
}的前 n 项和为 Sn,已知存在正整数 m,使得 m0)的“蒙日圆”方程为 x2+y2=a2+b2.已知抛
物线 x2=4y 的焦点与椭圆 C 的一个短轴端点重合,且椭圆 C 的离心率为
6
3
.
(1)求椭圆 C 的方程和“蒙日圆”E 的方程.
(2)过“蒙日圆”E 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PA,PB,A,B 为切点,延长 PA 与“蒙日圆”E 交于点 Q,O 为坐
标原点.
①证明:PA⊥PB;
②若直线 OP,OQ 的斜率 kOP,kOQ 存在,试判断 kOP·kOQ 是否为定值.若是,求出该值;若不是,请说明理由.
答 案
第六讲 圆锥曲线的综合问题
1.(1)由椭圆的定义知 4a=8,∴a=2.
∵椭圆的离心率 e=
=
1
2
,∴c=1,从而 b2=a2-c2=3,
∴椭圆 C 的方程为
2
4
+
2
3
=1.
(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2).由
= + ,
3
2
+ 4
2
-12=0,
得 7x2+8tx+4t2-12=0,则Δ=64t2-28(4t2-12)>0,
解得 t20,
即 x1x2+y1y2>0,x1x2+y1y2=x1x2+(x1+t)(x2+t)=2x1x2+t(x1+x2)+t2=
7
2
-24
7
>0,解得 t2>
24
7
②,
由①②可知
24
7
a,y0>0,则 3
0
2
-
0
2
=3a2,
tan∠BAF=kAB=
0
0+
,tan∠BFA=-kBF=-
0
0-2
.
tan 2∠BAF=
2tan
∠
⸳
1
−
tan
2
∠
⸳
= 20
0+
1
−
0
2
(0+)2
=
20(0+)
(0+)
2
-0
2
=
20(0+)
(0+)
2
-(30
2
-3
2
)
=-
0
0-2
=tan∠BFA.
因为双曲线 C 的渐近线为 y=±
3
x,所以 00).
动圆圆心的轨迹如图 D 9-6-1 所示.
图 D 9-6-1
(2)假设满足题意的直线 l 存在,可设 l 的方程为 y=
1
3
x+b.依题意,可得直线 l 与曲线 y=
1
4
x2-1(y>0)交于 A,D 两点,与曲
线 y=-
1
4
x2+1(y>0)交于 B,C 两点.
由
=
1
3 + ,
=
1
4
2
-1
与
=
1
3 + ,
=
−
1
4
2
+ 1,
消去 y 整理可得 3x2-4x-12b-12=0 ①与 3x2+4x+12b-12=0 ②.
设 A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则 xA+xD=
4
3
,xAxD=
-12-12
3
,xB+xC=-
4
3
,xBxC=
12-12
3
.
又|AD|=
1 + (
1
3 )
2
|xA-xD|,|BC|=
1 + (
1
3 )
2
|xB-xC|,
且|AD|=2|BC|,
∴|xA-xD|=2|xB-xC|,即(xA+xD)2-4xAxD=4[(xB+xC)2-4xBxC],
整理得(
4
3
)2+
4(12+12)
3
=4[(-
4
3
)2-
4(12-12)
3
],解得 b=
2
3
.
将 b=
2
3
代入方程①,得 xA=-2,xD=
10
3
.
∵函数 y=
1
4
x2-1(y>0)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
∴假设不成立,即不存在满足题意的直线 l.
8.(1)因为以坐标原点 O 为圆心,椭圆 C 的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点,所以 b=c,可得 a=
2
c.因为△
MF1F2 的周长为 4+2
2
,所以 a+c=2+
2
,所以 c=
2
,a=2,b=
2
,所以椭圆 C 的方程为
2
4
+
2
2
=1.
(2)由题意知,直线 l 的斜率存在且不为 0,设 Q(x1,y1),R(x2,y2),直线 l 的方程为 y=kx+m.
因为 l 为圆 O 的切线,所以
||
1+2
=
2 3
3
,即 3m2=4+4k2 ①.
将 y=kx+m 与椭圆方程联立,消去 y 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,易知Δ>0,
所以 x1+x2=
-4
2
2
+1
,x1x2=
2
2
-4
2
2
+1
,
x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=
3
2
-4
2
-4
2
2
+1
②.
由①②得 x1x2+y1y2=0,所以 OQ⊥OR,∠QOR=π
2
,即∠QOR 的大小为定值.
9.(1)抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F(
2
,0),准线方程为 x=-
2
.
依题意知过 F 的直线 l 的斜率存在且不为 0,故可设其方程为 x=ty+
2
(t≠0),
由
= +
2 ,
2
= 2,
消去 x 并整理,得 y2-2pty-p2=0,易知Δ>0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),可得 y1y2=-p2.
由点 F 是线段 AC 的中点,且 C(-
2
,-
),得 -
2+1
2 =
2 ,
-
+1
2 = 0,
解得
1 =
3
2 ,
1 =
,
即 A(
3
2
,
).
由 y1y2=-p2,可得 y2=
-
2
=-pt,则 x2=t(-pt)+
2
=-pt2+
2
,
即 B(-pt2+
2
,-pt).
把点 B 的坐标代入抛物线方程,可得(-pt)2=2p(-pt2+
2
),可得 t=±
3
3
.
不妨令 t=-
3
3
,则 B(
6
,
3
3
p),C(-
2
,
3
p).
由|BC|=
(
6 +
2 )
2
+ (
3
3 - 3)
2
=
4
3
p=
8
3
,可得 p=2,
所以抛物线 G 的方程为 y2=4x.
(2)依题意可知直线 l 过点 F(1,0)和(0,1),可得直线 l 的方程为 y=-x+1,
由
=
−
+ 1,
2
= 4
消去 x 并整理,得 y2+4y-4=0,
则 y1+y2=-4,y1y2=-4.
所以 k1+k2=
1
1
+
2
2
=
4
1
+
4
2
=4×
1+2
12
=4,
则-16an+1+
(4 + 2)
2
=4,即 an+1=
2
+an=an(an+1),
由此可得
1
+1
=
1
(+1)
=
1
-
1
+1
,
所以
1+
=1-
1
+1
=1-(
1
-
1
+1
).
则 S2 020=2 020-[(
1
1
-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
2020
-
1
2021
)]=2 020-(
1
1
-
1
2021
)=2 020-1+
1
2021
=2 019+
1
2021
.
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