2022届高考数学一轮复习第八章第九节第3课时定点定值探索性问题课时作业理含解析北师大版

第 3 课时 定点、定值、探索性问题 授课提示：对应学生用书第 373 页 [A 组 基础保分练] 1．（2021·蚌埠模拟）已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）经过点 P（0，1），离心率 e＝ 3 2 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l 经过点 Q（2，－1）且与 C 相交于 A，B 两点（异于点 P），记直线 PA 的斜率 为 k1，直线 PB 的斜率为 k2，证明：k1＋k2 为定值． 解析：（1）因为椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0），经过点 P（0，1），所以 b＝1．又 e＝ 3 2 ， 所以 c a ＝ 3 2 ，解得 a＝2． 所以椭圆 C 的方程为 x2 4 ＋y2＝1． （2）证明：若直线 AB 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x＝2，此时直线与椭圆相切，不符 合题意． 设直线 AB 的方程为 y＋1＝k（x－2），即 y＝kx－2k－1， 联立 y＝kx－2k－1， x2 4 ＋y2＝1， 得（1＋4k2）x2－8k（2k＋1）x＋16k2＋16k＝0，设 A（x1，y1），B （x2，y2）， 则 x1＋x2＝ 8k（2k＋1） 1＋4k2 ，x1x2＝ 16k2＋16k 1＋4k2 ， k1＋k2＝ y1－1 x1 ＋ y2－1 x2 ＝ x2（kx1－2k－2）＋x1（kx2－2k－2） x1x2 ＝ 2kx1x2－（2k＋2）（x1＋x2） x1x2 ＝2k－ （2k＋2）（x1＋x2） x1x2 ＝2k－ （2k＋2）·8k（2k＋1） 16k（k＋1） ＝2k－（2k＋1）＝－1． 所以 k1＋k2 为定值，且定值为－1． 2．（2021·广州四校联考）设斜率不为 0 的直线 l 与抛物线 x2＝4y 交于 A，B 两点，与椭圆 x2 6 ＋ y2 4 ＝1 交于 C，D 两点，记直线 OA，OB，OC，OD（O 为坐标原点）的斜率分别为 k1， k2，k3，k4． （1）若直线 l 过点（0，4），证明：OA⊥OB； （2）求证： k1＋k2 k3＋k4 的值与直线 l 的斜率的大小无关． 证明：设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）． （1）依题意， x2 1＝4y1， x2 2＝4y2， 两式相乘得（x1x2）2＝16y1y2， 若直线 l 过点（0，4），则直线 l 的方程为 y＝kx＋4，将直线 l 的方程代入抛物线 x2＝4y，得 x2－4kx－16＝0，易知Δ＞0， ∴x1x2＝－16，∴y1y2＝16， ∴OA→ ·OB→ ＝x1x2＋y1y2＝0，∴OA→ ·OB→ ＝0， ∴OA⊥OB． （2）设 C（x3，y3），D（x4，y4）． 联立 y＝kx＋m 和 x2＝4y，化简得 x2－4kx－4m＝0，易知Δ＞0，则 x1＋x2＝4k，x1x2＝－ 4m， k1＋k2＝ y1 x1 ＋ y2 x2 ＝ x1 4 ＋ x2 4 ＝k， 联立 y＝kx＋m 和 x2 6 ＋ y2 4 ＝1，化简得（2＋3k2）x2＋6kmx＋3m2－12＝0， 在Δ＝（6km）2－4（2＋3k2）（3m2－12）＞0 的情况下， x3＋x4＝ －6km 2＋3k2 ，x3x4＝ 3m2－12 2＋3k2 ， k3＋k4＝ y3 x3 ＋ y4 x4 ＝2k＋ m x3 ＋ m x4 ＝2k＋ m（x3＋x4） x3x4 ＝2k＋ －6km2 3m2－12 ＝ －8k m2－4 ， ∴ k1＋k2 k3＋k4 ＝－ m2－4 8 ，是一个与直线 l 的斜率 k 无关的值． [B 组 能力提升练] 1．（2021·临沂模拟）过点 P 1， 3 2 的椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0），其离心率 e＝ 1 2 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A（x1，y1），B（x2，y2），且与 y 轴交于一点 M（不是原点），MA→ ＝λ1AF→，MB→ ＝λ2BF→，证明：λ1＋λ2 为定值． 解析：（1）解方程组 1 a2 ＋ 9 4b2 ＝1， c a ＝ 1 2 ， a2－b2＝c2， 解得 a＝2，b＝ 3， ∴椭圆 C 的方程是 x2 4 ＋ y2 3 ＝1． （2）证明：F（1，0），由题意可知直线 AB 斜率存在且不为 0， 设直线 AB 的方程为 x＝my＋1（m≠0），则 M 0，－ 1 m ， ∴MA→ ＝ x1，y1＋ 1 m ，AF→＝（1－x1，－y1），MB→ ＝ x2，y2＋ 1 m ，BF→＝（1－x2，－y2）． ∵MA→ ＝λ1AF→，MB→ ＝λ2BF→， ∴y1＋ 1 m ＝－λ1y1，y2＋ 1 m ＝－λ2y2， ∴λ1＝－1－ 1 my1 ，λ2＝－1－ 1 my2 ， ∴λ1＋λ2＝－2－ 1 my1 － 1 my2 ＝－2－ y1＋y2 my1y2 ． 联立方程组 x2 4 ＋ y2 3 ＝1， x＝my＋1， 消去 x 得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0， ∴y1＋y2＝ －6m 3m2＋4 ，y1y2＝ －9 3m2＋4 ， ∴λ1＋λ2＝－2－ y1＋y2 my1y2 ＝－2－ 1 m · －6m －9 ＝－ 8 3 ． ∴λ1＋λ2 为定值． 2．已知曲线 C1：x2＋y2＝r2（r＞0）和 C2： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）都过点 P（0，－2），且 曲线 C2 的离心率为 3 2 ． （1）求曲线 C1 和曲线 C2 的方程； （2）设点 A，B 分别在曲线 C1，C2 上，PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，当 k1＝4k2＞0 时， 问直线 AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 解析：（1）曲线 C1：x2＋y2＝r2（r＞0）和 C2： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）都过点 P（0，－2）， ∴r＝2，b＝2， ∴曲线 C1 的方程为 x2＋y2＝4． ∵曲线 C2 的离心率为 3 2 ， ∴e2＝ c2 a2 ＝1－ b2 a2 ＝ 3 4 ， ∴a＝4， ∴曲线 C2 的方程 x2 16 ＋ y2 4 ＝1． （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 PA 的方程为 y＝k1x－2，代入到 x2＋y2＝4，消去 y， 可得（1＋k2 1）x2－4k1x＝0， 解得 x＝0 或 x1＝ 4k1 1＋k2 1 ， ∴y1＝ 2k2 1－2 1＋k2 1 ， 直线 PB 的方程为 y＝k2x－2，代入方程 x2 16 ＋ y2 4 ＝1， 消去 y，可得（1＋4k2 2）x2－16k2x＝0， 解得 x＝0 或 x2＝ 16k2 1＋4k2 2 ， ∴y2＝ 8k2 2－2 1＋4k2 2 ． ∵k1＝4k2， ∴直线 AB 的斜率 k＝ y2－y1 x2－x1 ＝－ 1 k1 ， 故直线 AB 的方程为 y－ 2k2 1－2 1＋k2 1 ＝－ 1 k1 x－ 4k1 1＋k2 1 ， 即 y＝－ 1 k1 x＋2， 所以直线 AB 恒过定点（0，2）． [C 组 创新应用练] （2021·大同调研）椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，且离心率 e＝ 6 3 ． （1）设 E 是直线 y＝x＋2 与椭圆的一个交点，求|EF1|＋|EF2|取最小值时椭圆的方程； （2）已知 N（0，1），是否存在斜率为 k 的直线 l 与（1）中的椭圆交于不同的两点 A，B， 使得点 N 在线段 AB 的垂直平分线上？若存在，求出直线 l 在 y 轴上截距的范围；若不存在， 说明理由． 解析：（1）∵e＝ 6 3 ，∴ b2 a2 ＝ 1 3 ，椭圆的方程可化为 x2 3b2 ＋ y2 b2 ＝1，将 x2 3b2 ＋ y2 b2 ＝1 与 y＝x＋2 联立， 消去 y 化简得 4x2＋12x＋12－3b2＝0，由Δ＝144－16×（12－3b2）≥0，解得 b2≥1，即 b ≥1，∴|EF1|＋|EF2|＝2a＝2 3b≥2 3，当且仅当 b＝1 时，|EF1|＋|EF2|取最小值 2 3， ∴椭圆的方程为 x2 3 ＋y2＝1． （2）设直线 l 在 y 轴上的截距为 t，则直线 l 的方程为 y＝kx＋t，代入 x2 3 ＋y2＝1，消去 y 整 理得， （1＋3k2）x2＋6ktx＋3t2－3＝0，∵直线 l 与椭圆交于不同的两点， ∴Δ1＝（6kt）2－12（t2－1）（1＋3k2）＞0，即 t2＜1＋3k2． 设 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的中点为 Q， 则 x1＋x2＝－ 6kt 1＋3k2 ，x1x2＝ 3t2－3 1＋3k2 ，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2t＝ 2t 1＋3k2 ， ∴AB 的中点 Q 的坐标为 －3kt 1＋3k2 ， t 1＋3k2 ， ∴当 k≠0 时， t 1＋3k2 －1 －3kt 1＋3k2 ＝－ 1 k ，化简得 1＋3k2＝－2t，代入 t2＜1＋3k2 得－2＜t＜0，又－ 2t＝1＋3k2＞1，∴t＜－ 1 2 ，故－2＜t＜－ 1 2 ． 当 k＝0 时，－1＜t＜1． 综上，k≠0 时，直线 l 在 y 轴上截距的范围为 －2，－ 1 2 ；k＝0 时，直线 l 在 y 轴上截距的 范围为（－1，1）．