有理数乘法运算律导学案
第 14 时 有理数乘法运算律
一、学习目标 1.掌握有理数乘法的运算律;
2.能灵活运用乘法的运算律使运算简化;
3.能熟练地进行加、减、乘混合运算.
二、知识回顾 1.有理数乘法法则:
两数相乘,同号得 正 ,异号得 负 ,并把它们的
绝对值 相乘;
任何数与 0 相乘,都得 0 .
2.有理数乘法运算的步骤:
先确定 积的符号 _,再确定 积的绝对值 .
3.多个有理数相乘的符号确定法则:
几个不是 0 的有理数相乘,负因数的个数是 奇数 时,积是
正数;负因数的个数是 偶数 时,积是负数.
几个有理数相乘,如果其中有因数 0,那么积 等于 0 .
三、新知讲解 1.乘法交换律
乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等.
字母表示:ab=ba.
2.乘法结合律
乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数
相乘,积相等.
字母表示:(ab)=a(b).
3.乘法分配律
乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两
个数相乘,再把积相加.
字母表示:a(b+)=ab+a.
推广:一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相
乘,再把积相加.
字母表示:a(b++d+e+f+…z)=ab+a+ad+ae+af+…az
四、典例探究
1.有理数的乘法交换律
【例 1】(﹣4)× ×02 的计算结果是()
A.﹣ B. . D.﹣
总结:
乘法交换律可以改变乘法运算的运算顺序,单独使用乘法交换律的
运算不多
一般,三个有理数相乘,其中有两个可以约分或乘积为整数的时候,
使用交换律交换位置相乘可以简便计算过程
三个以上的有理数相乘,交换律和结合律同时使用可以使运算简便.
注意:运用乘法交换律时,要带着有理数前面的符号一起交换,尤
其是负号不能丢.
练 1.式子 × ×= ×× ,这里应用了( )
A.分配律 B.乘法交换律 .乘法结合律 D.乘法的性质
2.有理数的乘法结合律
【例 2】计算:-33 ×0×(-2)×04.
总结:运用乘法结合律要优先结合具有以下特征的因数:
①互为倒数;
②乘积为整数或便于约分的因数.
练 2.计算:(﹣4 )×12×(﹣8).
练 3.在计算 4×(﹣7)×(﹣)=(4×)×7 中,运用了乘法的( )
A.交换律 B.结合律 .分配律 D.交换律和结合律
3.有理数的乘法分配律
【例 3】计算 的结果是( )
A.﹣ B.0 .1 D.
总结:乘法分配律揭示了加法和乘法的运算性质,利用它可以简化
有理数的运算,对于乘法分配律,不仅要会正向应用,而且要会逆向
应用,有时还要构造条变形后再用,以求简便、迅速、准确解答习题.
练 4.计算 时,运用( )可以使运算简便
A.乘法交换律 B.乘法结合律 .乘法分配律 D.加法结合律
练.简便运算:29 ×(﹣12)
4.乘法运算律的综合应用
【例 4】计算: .
总结:
运用乘法运算律可以简化有理数乘法运算
乘法交换律和乘法结合律要灵活、综合地运用,两者相得益彰.
根据乘法交换律和结合律可以推出:三个以上有理数相乘,可以任
意交换因数的位置,也可以先把其中的几个数相乘.
运用乘法交换律和结合律的目的,是把容易计算的几个因数先进行
计算.
应用乘法分配律可以打破“先算括号”的计算习惯,简化乘法与加法
的运算
练 6. 上面运算没有用到( )
A.乘法结合律 B.乘法交换律 .分配律 D.乘法交换律和结合律
练 7.式子( ﹣ + )×4×2=( ﹣ + )×100=0﹣30+40 中用的运算
律是( )
A.乘法交换律及乘法结合律 B.乘法交换律及分配律
.加法结合律及分配律 D.乘法结合律及分配律
五、后小测一、选择题
1.计算:(﹣8)× ×012=( )
A.﹣ B. . D.﹣
2.(﹣4)×(﹣39)×(﹣2)的计算结果是( )
A.﹣390 B.390 .39 D.﹣39
3.算式﹣2×14+18×14﹣39×(﹣14)=(﹣2+18+39)×14 是逆用了
( )
A.加法交换律 B.乘法交换律 .乘法结合律 D.乘法分配律
4.(2012•台湾)计算(﹣1000 )×(﹣10)之值为何?
( )
A.1000 B.1001 .4999 D.001
二、填空题
.在等式 中,应用的运算律有 和 .
6.计算:99 ×(﹣)= .
7.计算:78×(﹣ )+(﹣11)×(﹣ )+(﹣33)× = .
8.计算:﹣39×(﹣ )﹣241×(﹣ )+6×(﹣ )= .
三、解答题
9.计算:﹣314×32+628×(﹣232)﹣17×368.
10.计算:(﹣1)×(﹣2)×(﹣3)+(﹣2)×(﹣3)×(﹣4)+
(﹣3)×(﹣4)×(﹣)+…+(﹣100)×(﹣101)×(﹣102).
例题答案:
【例 1】计算:(﹣4)× ×02=( )
A.﹣ B. . D.﹣
解答:解:原式=(﹣4)×02× =﹣1× =﹣ ,
故选:A.
点评:本题考查了有理数的乘法,乘法交换律是解题关键,注意运
算符号.
【例 2】计算:-33 ×0×(-2)×04.
解:原式= × ×( × )
=
=16 .
【例 3】计算 的结果是( )
A.﹣ B.0 .1 D.
分析:原式利用乘法分配律计算即可得到结果.
解答:解:原式=﹣ × ﹣ × ﹣ ×(﹣ )
=﹣1﹣2+
=﹣ .
故选 A.
点评:此题考查了有理数的乘法,熟练掌握乘法法则是解本题的关
键.
【例 4】计算: .
解:原式=
=
=13+034
=1334.
练习答案:
练 1.式子 × ×= ×× 这里应用了( )
A.乘法分配律 B.乘法交换律 .乘法结合律 D.乘法的性质
分析:根据有理数的乘法运算定律解答即可.
解答:解: × ×= ×× 应用了乘法交换律.
故选 B.
点评:本题考查了有理数的乘法,是基础题,熟记乘法运算定律是
解题的关键.
练 2.计算:(﹣4 )×12×(﹣8).
分析:将后两项结合,再进行乘法运算.
解答:解:原式=﹣ ×[12×(﹣8)]= .
点评:本题考查了有理数的乘法,在进行分式的乘法运算时,注意
将带分数化为假分数的形式.
练 3.在计算 4×(﹣7)×(﹣)=(4×)×7 中,运用了乘法的( )
A.交换律 B.结合律 .分配律 D.交换律和结合律
分析:4×(﹣7)×(﹣)变成(4×)×7,先交换了﹣7 和﹣的位置,
再把后两个数相乘,就是运用了乘法交换律和结合律.
解答:解:4×(﹣7)×(﹣)
=4×(﹣)×(﹣7)(乘法交换律)
=(4×)×7.(乘法结合律)
所以计算 4×(﹣7)×(﹣)=(4×)×7 运用的定律是乘法交换律和
乘法结合律.
故选 D.
点评:考查了有理数的乘法,解决本题关键是熟练掌握乘法的有关
运算定律.
练 4.计算 时,可以使运算简便的是运用( )
A.乘法交换律 B.乘法结合律 .乘法分配律 D.加法结合律
分析:24 的因数有 4,12,8,3,6,所以用乘法分配律.
解答:解:∵
=﹣ ×(﹣24)+ ×(﹣24)﹣ ×(﹣24)+ ×(﹣24)
=18﹣2+1﹣20.
∴问题转化为整数的运算,使计算简便.
故选.
点评:乘法的分配律:a(b+)=ab+a,可以使计算过程简单,不易
出错.
练.简便运算:29 ×(﹣12)
分析:根据乘法分配律,可得答案.
解答:解;原式=(30﹣ )×(﹣12)
=30×(﹣12)+ ×12
=﹣360+
=﹣39 .
点评:本题考查了有理数的乘法,利用了有理数的乘法分配律.
练 6. 上面运算没有用到( )
A.乘法结合律 B.乘法交换律.分配律 D.乘法交换律和结合律
分析:根据乘法运算法则分别判断得出即可.
解答:解:∵ ,
∴运算中用到了乘法结合律以及乘法交换律,没用到分配律.
故选:.
点评:此题主要考查了乘法运算法则的应用,熟练掌握运算法则是
解题关键.
练 7.式子( ﹣ + )×4×2=( ﹣ + )×100=0﹣30+40 中用的运算
律是( )
A.乘法交换律及乘法结合律 B.乘法交换律及分配律
.加法结合律及分配律 D.乘法结合律及分配律
分析:根据乘法运算的几种规律,结合题意即可作出判断.
解答:解:运算过程中,先运用了乘法结合律,然后运用了乘法分
配律.
故选 D.
点评:本题考查了有理数的乘法运算,注意掌握乘法运算的几种规
律.
后小测答案:
1.计算:(﹣8)× ×012=( )
A.﹣ B. . D.﹣
解:(﹣8)× ×012,
=(﹣8)×012× ,
=﹣1× ,
=﹣ .
故选 A.
2.(﹣4)×(﹣39)×(﹣2)的计算结果是( )
A.﹣390B.390.39D.﹣39
解:(﹣4)×(﹣39)×(﹣2)
=(﹣4)×(﹣2)×(﹣39)
=100×(﹣39)
=﹣390.
故选 A.
3.算式﹣2×14+18×14﹣39×(﹣14)=(﹣2+18+39)×14 是逆用了
( )
A.加法交换律 B.乘法交换律.乘法结合律 D.乘法分配律
解:﹣2×14+18×14﹣39×(﹣14)=(﹣2+18+39)×14 是逆用了乘
法分配律,
故选:D.
4.(2012•台湾)计算(﹣1000 )×(﹣10)之值为何?
( )
A.1000B.1001.4999D.001
解:原式=﹣(1000+ )×(﹣)
=(1000+ )×
=1000×+ ×
=000+1
=001.
故选 D.
.在等式 中,应用的运算律有 交换律 和 结合律 .
解:第一步计算中,(﹣ )和(﹣8)交换了位置,运用了交换律;
第二步计算中,先计算 12×(﹣8),运用了结合律.
答:应用的运算律有交换律和结合律.
6.计算:99 ×(﹣)= ﹣499 .
解:原式=99×(﹣)+ ×(﹣)=﹣49﹣ =﹣499 .
7.计算:78×(﹣ )+(﹣11)×(﹣ )+(﹣33)× = ﹣60 .
解:78×(﹣ )+(﹣11)×(﹣ )+(﹣33)×
=78×(﹣ )+(﹣11)×(﹣ )+33×(﹣ )
=﹣ ×(78﹣11+33)
=﹣ ×100
=﹣60,
故填:﹣60.
8.计算:﹣39×(﹣ )﹣241×(﹣ )+6×(﹣ )= 0 .
解:﹣39×(﹣ )﹣241×(﹣ )+6×(﹣ ),
=(﹣ )×(﹣39﹣241+6),
=(﹣ )×0,
=0.
故答案为:0.
9.计算:﹣314×32+628×(﹣232)﹣17×368.
解:原式=﹣314×32+(﹣314)×464+(﹣314)×184
=﹣314×(32+464+184)
=﹣314×90
=﹣2826.
10.计算:(﹣1)×(﹣2)×(﹣3)+(﹣2)×(﹣3)×(﹣4)+
(﹣3)×(﹣4)×(﹣)+…+(﹣100)×(﹣101)×(﹣102).
解:(﹣1)×(﹣2)×(﹣3)+(﹣2)×(﹣3)×(﹣4)+(﹣3)
×(﹣4)×(﹣)+…+(﹣100)×(﹣101)×(﹣102)
=﹣ ×1×2×3×4﹣ ×(2×3×4×﹣1×2×3×4)﹣ (3×4××6﹣2×3×4×)
﹣…﹣ (100×101×102×103﹣99×100×101×102)
= ﹣ ( 1×2×3×4+2×3×4× ﹣ 1×2×3×4+3×4××6 ﹣
2×3×4×+…+100×101×102×103﹣99×100×101×102)
=﹣ ×100×101×102×103
=﹣262760.
11. .
解:原式=
=﹣(10+1+20)×1
=﹣31.