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课 题 等腰梯形的轴对称性
学习目标与
考点分析
①了解等腰梯形的有关概念,探索并掌握等腰梯形的性质和一个梯形是等腰
梯形的条件;
②了解等边三角形的概念并探索其性质。
学习重点
1.等腰梯形的定义
2.等腰梯形的性质
3.等腰梯形的识别
学习方法 引导、分析、探究
学习内容与过程
等腰梯形的轴对称性
知识点一 等腰梯形的定义
两腰相等的梯形叫等腰梯形
知识点二 等腰梯形的性质
(1)等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴为过两底中点的直线
(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等
(3)等腰梯形的对角线相等
例 1 如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=BC,连接 AC、BD,则
(1) = ;(2) = ;(3) = ;
知识点三 等腰梯形的识别
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形
(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
一 简单说理题
例 1 如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,E 为 BC 的中点,试说明
AE=DE
二 简单的计算
例 2 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,AB=AD=BC,DC=BD,AC,求梯形各内角的度数
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三 本节中的数学思想方法
例 3 若等腰梯形的三边长分别为 5,6,17,则这个等腰梯形的周长为( )
A.33 B.45 C.33 或 45 D.33 或 34 或 35
四 探索题
例 4 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,E 为 CD 的中点,AE 与 BC 的延长线交于点 F。
(1)判断 S△ABF 和 S 梯形 ABCD 有何关系,并说明理由
(2)判断 S△ABE 和 S 梯形 ABCD 有何关系,并说明理由
(3)上述结论对于一般梯形是否成立?为什么?
线段的轴对称性
(1)线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴
(2)线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(3)到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
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例 1 (1)如图 1,已知线段 AB,CD⊥AB 于点 E,AE=BE,点 F 在 CD 上,则 FB FA
(2)如图 2,已知线段 AB,点 C,D 满足 AC=BC、AD=BD,则直线 CD 是 AB 的 。
角的对称性
(1)角是轴对称图 形,角平 分线所在的直线是它的对称轴
(2)角平分线上点 到 角 的 两边的距离相等
(3)角的内部到角 的 两 边 距离相等的点,在这个角平分
线上
例 2 (1)如图 1,OC 是∠AOB 的平分线,D 是 OC 上一点,DE⊥AO 于点 E,DF⊥OB 于点 F,则 DE DF
(2)如图 2,∠AOB 内一点 C,CD⊥OA 于点 D,CE⊥OB 于点 E,且 CD=CE,则 OC 为∠AOB 的
一 简单的计算
例 1 如图,在△ABC 中,AB=AC,DE 为 AB
的垂直平分线,交 AB 于点 E,交 AC 于点 D,△BCD 的 周 长 为 14cm ,
BC=5cm,求 AB 的长
例 2 在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,交 AB 于点 E,BC=10,
BD=2CD,求 DE 的长
二、说理题
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例 3 如图,在△ABC 中,边 AB、BC 的垂直平分线 MM1、NN1 相交于点 P,那么 P 点在 AC 的垂直平分线上
吗?为什么?
三 应用性试题
例 4 A、B、C 三点表示三个镇的地理位置,随着乡镇工业的发展需要,现三镇联合建造一所变电站,要求
变电站到三镇的距离相等,变电站建在什么位置最佳?(用点 P 表示)
3、(2010 泉州)如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点 D、E 分别是边 AB、
AC 上,将△ABC 沿着 DE 折叠压平,A 与 A′重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=( )
A.140° B.130° C.110° D.70°
【典例导析】
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如图,C 是∠AOB 内一点,C1、C2 分别是点 C 关于 OA、OB 的对称点,若 C1、C2 的连线交
OA 于 D,交 OB 于 E,C1C2=4.5cm,则△CDE 的周长为( )
A.4.5cm B.6.5cm C.5.5cm D.无法求
如图,在△ABC 中,点 O 是∠ABC 的平分线与线段 BC 的垂直平分线的交点,则下列结论
不一定成立的是( )
A.OB=OC B.OD=OF C.OA=OB=OC D.BD=DC
【专题训练】
1、如图,等腰△ABC 的周长为 21,底边 BC = 5,AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交 AC
于点 E,则△BEC 的周长为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
1、已知,如图,△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 P,那么点
P 是否在∠BAC 的平分线上?为什么?
2、下列说法:(1)若直线 PE 是线段 AB 的中垂线,则 EA=EB,PA=PB;(2)若 EA=EB,PA
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=PB,则直线 PE 垂直平分线段 AB;(3)若 PA=PB,则点 P 必是线段 AB 的中垂线上的点;(4)
若 AE=BE,则经过点 E 的直线垂直平分线 AB,其中正确的个数为( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3、已知,如图,△ABC 的两个外角的平分线交于点 P,那么点 P 是否在∠BAC 的平分线上?为
什么?
【中考真题】
(2010 无锡)如图,△ABC 中,DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠
BCE=____°。
课内练习与训练
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已知△ABC 中 AB=AC,且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形,试
求△ABC 各内角的度数。
如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BD,AD 平分∠CAB 交 BC 于 D,DE⊥AB,垂足为点 E,
AB=12cm,DC=5cm,则△DEB 的周长为 。
D
E
C
BA
如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠A=90°,点 D 为 BC 上任意一点,DF⊥AB 于 F,DE
⊥AC 于 E,M 为 BC 的中点,试判断△MEF 是什么形状的三角形,并证明你的结论。
(1)如图,已知 AD 是线段 BC 的垂直平分线,且 BD=3cm,△ABC 的周长为 20cm,求
AC 的长.
(2)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=40°,AD=AE.求∠CDE 的度数.
【专题训练】
1、如图,等边三角形 ABC 的三条中线交于点 O。则图中除△ABC 还有_______________是等腰
三角形.
2、已知等腰三角形的一个外角为 80°,则这个等腰三角形的内角分别是________。
3、周长为 15,边长都是整数的等腰三角形共有________种。
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5、已知 AB=AC=5,BC=3,沿 BD 所在的直线,折叠使点 C 落在 AB 上的 E 点,求△AED
的周长。
6、已知△ABC 的周长为 24,AB=AC,AD⊥BC 于 D,若△ABD 的周长为 20,则 AD 的长为
( )
A.6 B.8 C.10 D.12
7、如图,等边三角形 ABC 中,AD 是 BC 上的高,取 AC 的中点 E,连结 DE,则图中与 DE 相
等的线段有( )
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
如图,过已知线段 AB 的两个端点,作射线 AM、BN,使 AM∥BN,按下列步骤画图,并回答:
(1)画∠MAB,∠NBA 的平分线交于点 E,∠AEB 是什么角?
(2)过点 E 任作一直线交 AM 于 D,交 BN 于 C,观察线段 DE、CE,你有何发现?说明你的
猜想。
(3)试说明,无论 D、C 的两个端点在 AM、BN 上如何移动,只要 DC 经过点 E,AD+BC 都
等于 AB。
8、∠MAN 是一钢架,且∠MAN=15°,为使钢架更加坚固,需在其内部加一些钢管 CD、DE、
EF、……添加的钢管长度都与 AC 相等,则最多能添加这样的钢管______根。
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【典例导析】
如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,BD⊥CD,∠ABC=60°,BC=16cm,求等腰梯形 ABCD
的周长。
已知:如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,请你画出一点 P,使△PAB、△PBC、△PCD、
△PDA 都为等腰三角形,这样的点 P 有_______个。
如图甲,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥DC。由四个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行
四边形。
(1)求四边形 ABCD 四个内角的度数;
(2)试探究四边形 ABCD 四条边之间存在的等量关系,并说明理由;
(3)现有图甲中的等腰梯形若干个,利用它们你能拼出一个四条边都相等的四边形吗?若能,
请你画出大致的示意图。
已知:如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为 O,AC=8cm。求梯形 ABCD
的面积。
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中考真题
(2010 无锡)下列性质中,等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是( )
A.两边之和大于第三边 B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C.有两个锐角的和等于 90° D.内角和等于 180°
(2009 江苏)(1)观察与发现
小明将三角形纸片 ABC(AB>AC)沿过点 A 的直线折叠,使得 AC 落在 AB 边上,折痕为 AD,
展平纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点 A 和点 D 重合,折痕为 EF,展平纸片后得
到△AEF(如图②)。小明认为△AEF 是等腰三角形,你同意吗?请说明理由。
(2)实践与运用
将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,折痕为 BE(如图③);
再沿过点 E 的直线折叠,使点 D 落在 BE 上的点 D′处,折痕为 EG(如图④);再展平纸片(如
图⑤)。求图⑤中∠α的大小。
(2010 无锡)(1)如图 1,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 边(不含端点 B、C)上任意一点,P
是 BC 延长线上一点,N 是∠DCP 的平分线上一点。若∠AMN=90°,求证:AM=MN。
下面给出一种证明思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明。
证明:在边 AB 上截取 AE=MC,连 ME。正方形 ABCD 中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC。
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∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE。
(下面请你完成余下的证明过程)
(2)若将(1)中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”(如图 2),N 是∠ACP 的平分线
上一点,则当∠AMN=60°时,结论 AM=MN 是否还成立?请说明理由。
(3)若将(1)中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCD…X”,请你作出猜想:当∠AMN
=________°时,结论 AM=MN 仍然成立。(直接写出答案,不需要证明)