数学八年级下册 特殊的平行四边形课件2

九年级数学(上)第三章 证明(三) 2.特殊的平行四边形(1) ——矩形的性质及判定 驶向胜利 的彼岸 学好几何标志是会 “证明” w证明命题的一般步骤: w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); w(2)根据题意,画出图形; w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证”;w(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”, 执“果”索“因”.); w(5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程; w(6)检查表达过程是否正确,完善. 回顾与思考 平行四边形的性质 w定理:平行四边形的对边相等. ′ 驶向胜利 的彼岸 w证明后的结论,以后可以直接运用. B D C A ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,BC=DA. w定理:平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴CO=AO,BO=DO. B D C A O 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD. B D C AM N P Q 回顾 思考 平行四边形的判定 ′ 驶向胜利 的彼岸 w定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. 回顾 思考 w∵AB=CD,AD=BC, w∴四边形ABCD是平行四边形. B D C A B D C A O w∵AB∥CD,AB=CD, w∴四边形ABCD是平行四边形. w∵AO=CO,BO=DO, w∴四边形ABCD是平行四边形. w∵∠A=∠C,∠B=∠D. w∴四边形ABCD是平行四边形. 等腰梯形的性质 w定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. w定理:等腰梯形的两条对角线相等. w在梯形ABCD中,AD∥BC, w∵AB=DC, w∴AC=DB.. w在梯形ABCD中,AD∥BC, w∵AB=DC, w∴∠A=∠D, ∠B=∠C. B D C A B D C A w证明后的结论,以后可以直接运用. 回顾 思考 等腰梯形的判定 定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC. 定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC. B D C A B D C A w证明后的结论,以后可以直接运用. 回顾 思考 三角形中位线的性质 ′ 驶向胜利 的彼岸 w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 边的一半. w这个定理提供了证明线段平行,和线 段成倍分关系的根据. 模型:连接任意四边形各边中点 所成的四边形是平行四边形. 要重视这个模型的证明过程反映出来的 规律:对角线的关系是关键. 即各中点所成四边形的形状取决于对角 线具有的关系(对角线相等,对角线垂直 ,对角线相等且垂直). 回顾 思考 w∵DE是△ABC的中位线, D E B C A .2 1 BCDE ∴DE∥BC, A B C H D E F G 驶向胜利 的彼岸 四边形之间的关系 我思,我进步 w你认识哪些特殊的四边形呢？哪些是特殊的平行四 边形呢？ w还记得它们与平行四边形的关系吗? w能用一张图来表示它们之间的关系吗? 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 两组对边 分别平行 有一个角是直角 有一组 邻边相等 有一个角是直角 有一组 邻边相等 一组对边平行另 一组对边不平行 梯形 两腰相等 等腰梯形 腰与底垂直 直角梯形 矩形的性质 w定理:矩形的四个角都是直角. 驶向胜 利的彼 岸 我思,我进步 已知:如图,四边形ABCD是矩形. w分析:由矩形的定义,利用对角 相等,邻角互补可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形. ∴∠C=∠A=900, ∠B=1800-∠A=900, ∠D=1800-∠A=900. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900. D B C A 想一想:正方形的四 个角都是直角吗? 矩形的性质 驶向胜利 的彼岸 我思,我进步 w定理:矩形的两条对角线相等. 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. 求证: AC=BD. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900. w分析:根据矩形的性质,可转化为 全等三角形(SAS)来证明. D B C A ∵BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB. 直角三角形的性质 驶向胜 利的彼 岸 我思,我进步 w议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE 是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段? w它与AC有什么大小关系?为什么? D B C A E w由此可得推论:直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半. wBE是Rt△ABC中斜边AC上的中线. wBE等于AC的一半. ∵ AC=BD,BE=DE, .2 1BDBE .2 1 ACBE 矩形性质的应用 驶向胜 利的彼 岸 例题欣赏 w已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm. 求矩形对角线的长. 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴BD=2AB=2×2.5=5(cm) . .2 1 ACOCOA ∴AC=BD,且 ∵∠DAB=900, D B C A O .2 1 BDODOB  .ODOA  ∵∠AOD=1200, .302 120180 0 00  ∴∠ODA=∠OAD= 你认为例1还可以 怎么去解？ 矩形的判定 w定理:有三个角是直角的四边形是矩形. 驶向胜 利的彼 岸 我思,我进步 已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900. w分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形 是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=900, ∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800 .∴AD∥BC,AB∥CD. 求证:四边形ABCD是矩形. ∴四边形ABCD是平行四边形. D B C A ∴四边形ABCD是矩形. 矩形的判定 w定理:对角线相等的平行四边形是矩形. 驶向胜 利的彼 岸 我思,我进步 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. D B C A w分析:要证明□ABCD是矩形,只 要证明有一个角是直角即可. w证明: ∴AB=CD,AB∥CD. ∵AC=DB,BC=CB, ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC+∠DCB=1800. ∴∠ABC=900. ∴四边形ABCD是矩形. 直角三角形的判定 驶向胜 利的彼 岸 我思,我进步 w定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一 半,那么这个三角形是直角三角形. w求证:△ABC是直角三角形 .2 1 ABCD已知:CD是△ABC边AB上的中线,且 EA BC Dw分析:要证明△ABC是直角三角形, 可以点A,B,C构造平行四边形,然后 证明其对角线相等,即可证明是矩形. w证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE. ∴四边形ACBE是平行四边形. ∵AB=2CD,CE=2CD, ∴ AC=DB. ∴四边形ACBE是矩形. ∵ AD=BD,CD=ED, ∴∠ACB=900. ∴△ABC是直角三角形. 矩形的性质,推论 驶向胜利 的彼岸 w定理:矩形的四个角都是直角. w定理:矩形的两条对角线相等. 推论(直角三角形性质):直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半. 回顾 思考 w∵四边形ABCD是矩形, .2 1 ABCD  ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900. D B C A D B C A w∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. ∴AC=BD. 在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD, A BC D 矩形的判定,直角三角形的判 定 驶向胜利 的彼岸 w定理:有三个角是直角的四边形是矩形. w定理:对角线相等的平行四边形是矩形. w定理:如果一个三角形一边上的中 线等于这边的一半,那么这个三角 形是直角三角形. 回顾 思考 w∵∠A=∠B=∠C=900, ∴四边形ABCD是矩形. D B C A D B C A w∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB. ∴四边形ABCD是矩形. A BC D ∴∠ACB=900. 在△ABC中, ∵AD=BD=CD, P88习题3.4 3题. 独立 作业 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是 CD上的一点,且AP和BP分别分别平分∠DAB 和∠CBA,QP∥AD,交AB于点Q. (1).求证:AP⊥PB; (2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多 少? △APB的面积是多少? A B CD P Q 知识的升华 独立 作业 P88习题3.4 1,2,3题. 祝你成功！ 结束寄语 • 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则. 下课了!