数学八年级下册 特殊的平行四边形习题 (9)

《特殊的平行四边形》专项复习 一、知识梳理 菱形的判定：（1）______________________________________________________________ （2）_____________________________________________________________ （3）______________________________________________________________ 矩形的判定：（1）_________________________________________________________________ （2）________________________________________________________________ （3）________________________________________________________________ 正方形的判定：(1)_______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ (3)______________________________________________________________ (4)______________________________________________________________ 二、常见与重点题目解析 【矩形的判定】 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形． 【强调】 矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角． 矩形的性质 性质 1 矩形的四个角都是直角； 性质 2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。； 矩形的判定 矩形判定方法 1:对角线相等的平行四边形是矩形． 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等 矩形判定方法 2:四个角都是直角的四边形是矩形． 矩形判断方法 3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 例 1：若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 600，则该矩形的面积为 例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ） A． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补 例 3： 已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H， 求证：四边形 EFGH 是矩形． 巩固练习 1．如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 2．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下 面是某合作小组的 4 位同学拟定的方案，其中正确的是（ ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角 3．如图，要使平行四边形 ABCD 成为矩形，需添加的条件是（ ） A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90° D．∠1=∠2 4．如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，AC、BD 交于点 O，∠1=∠2． （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形 ABCD 的面积． 5．如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 为 BC 上两点，且 BE=CF，AF=DE． 求证：（1）△ABF≌△DCE； （2）四边形 ABCD 是矩形． 【菱形的判定】 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 菱形的性质 性质 1 菱形的四条边都相等； 性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； 菱形的判定 菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直． 菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形． 例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD=∠CBE． 例 2 已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F． 求证：四边形 AFCE 是菱形． 例 3、如图，在 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD、BC 分别交于 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. 例 4、已知如图，菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 、BD 交于 M，若 AB=AE,∠EAD=2 ∠BAE。求证：AM=BE。 例 5． 如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°, AB =4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥ AB，垂足为 E． (1)求线段 BE 的长． 例 6、如图，四边形 ABCD 是菱形，DE⊥AB 交 BA 的延长线于 E，DF⊥BC，交 BC 的延 长线于 F。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想 例 7、如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满 A B C DE F O 1 2 B M A D C E D A B C O E 60 足 AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围. 巩固训练： 6．如图．若要使平行四边形 ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（ ） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 7．下列命题中正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 8．如图，将三角形纸片△ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，且 DE∥BC， 下列结论中，一定正确的个数是（ ） ①△BDF 是等腰三角形； ②DE= 2 1 BC； ③四边形 ADFE 是菱形； ④∠BDF+∠FEC=2∠A． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形 ABCD 为 菱形的是（ ） A．BA=BC B．AC、BD 互相平分 C．AC=BD D．AB∥CD 10．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 AC 上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂 足分别为 E、F，且 PE=PF，平行四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？ 【正方形的判定】 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ②有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形． 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形， 对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴； 因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的 性质总结如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是 45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质． 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 正方形的判定方法： • (1)有一个角是直角的菱形是正方形； • (2)有一组邻边相等的矩形是正方形． • 注意：1、正方形概念的三个要点： • （1）是平行四边形； • （2）有一个角是直角； • （3）有一组邻边相等． 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条 件，确定是正方形. 例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是 OB 上的一点，DG⊥AE 于 G，DG 交 OA 于 F． 求证：OE=OF． 例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1∥l2，作 BM⊥l1 于 M，DN ⊥l1 于 N，直线 MB、DN 分别交 l2 于 Q、P 点． 求证：四边形 PQMN 是正方形． 例 3、如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的关系式，并写出 x 的取值范围； ② 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值. 巩固训练： 11．下列说法不正确的是（ ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 12．在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 13．有下列命题，其中真命题有（ ） ①四边都相等的四边形是正方形； ②四个内角都相等的四边形是正方形； ③有三个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形； ④对角线与一边夹角为 45°的四边形是正方形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 14．如图，在△ABC 中，∠B=∠C．D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E， F． 求证：（1）△BDE≌△CDF； （2）当△ABC 是直线三角形时，四角形 AEDF 是正方形． 15．在△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B 的平分线交于点 D，DE⊥BC 于点 E，DF⊥AC 于 点 F，求证：四边形 CFDE 是正方形． 三、考点训练 1．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠 好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ） A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形 2．▱ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，再添加一个条件，仍不能判定四边形 ABCD 是矩形的是 （ ） A．AB=AD B．OA=OB C．AC=BD D．DC⊥BC 3．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A．当 AB=BC 时，它是菱形 B．当 AC⊥BD 时，它是菱形 C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当 AC=BD 时，它是正方形 4．如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为（ ） ①AC⊥BD； ②∠BAD=90°； ③AB=BC； ④AC=BD． A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 5．下列说法中错误的是（ ） A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形 6．顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是（ ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．等腰梯形 7．四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，现有以下论断： ①AB=BC；②∠DAB=90°；③BO=DO，AO=CO；④矩形 ABCD：⑤菱形 ABCD；⑥正 方形 ABCD．则在下列推论中不正确的是（ ） A． ⑥ ④ ①     B． ⑤ ③ ①     C． ⑥ ② ①     D． ④ ④ ②     8．下列命题中： ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； ⑤对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． 其中真命题有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩 形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼 成的图形是（ ） A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（3）（5） D．（1）（3）（4）（5） 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D 为 AC 的中点，以 BD 为折痕， 将△BCD 折叠，使得 C 点到达 1C 点的位置，连接 A 1C ． 求证：四边形 ABD 1C 是菱形． 11．如图，在平行四边形 ABCD 中，∠DAB=60°，AB=2AD， 点 E、F 分别是 CD 的中点，过点 A 作 AG∥BD，交 CB 的延 长线于点 G． （1）求证：四边形 DEBF 是菱形； （2）请判断四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明． 12．如图，平行四边形 ABCD 中，EF 过 AC 的中点 O，与边 AD、BC 分别相交于点 E、F． （1）试说明四边形 AECF 是平行四边形； （2）若 EF 与 AC 垂直，试说明四边形 AECF 是菱形； （3）当 EF 与 AC 有怎样的数量和位置关系时，四边形 AECF 是矩形（不必证明）． 13．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB． 求证：四边形 BEDF 是正方形．