中考数学：一轮考点复习 三角形的有关概念

三角形的有关概念 知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键 是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题： 【例 1】已知一个三角形中两条边的长分别是 a 、 b ，且 ba  ，那么这个三角形的周长 L 的取值范 围是（ ） A、 bLa 33  B、 aLba 2)(2  C、 abLba  262 D、 baLba 23  分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B 变式与思考：在△ABC 中，AC＝5，中线 AD＝7，则 AB 边的取值范围是（ ） A、1＜AB＜29 B、4＜AB＜24 C、5＜AB＜19 D、9＜AB＜19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知 识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。 【例 2】如图，已知△ABC 中，∠ABC＝450，∠ACB＝610，延长 BC 至 E，使 CE＝AC，延长 CB 至 D，使 DB＝AB，求∠DAE 的度数。 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 的 度数。 略解：∵AB＝DB，AC＝CE ∴∠D＝ 2 1 ∠ABC，∠E＝ 2 1 ∠ACB ∴∠D＋∠E＝ 2 1 （∠ABC＋∠ACB）＝530 ∴∠DAE＝1800－（∠D＋∠E）＝1270 探索与创新： 【问题一】如图，已知点 A 在直线l 外，点 B、C 在直线l 上。[ （1）点 P 是△ABC 内任一点，求证：∠P＞∠A； （2）试判断在△ABC 外，又和点 A 在直线l 的同侧，是否存在一点 Q，使∠BQC＞∠A，并证明你的结 论。 nm  ll 问题一图 CB A CB A 分析与结论： （1）连结 AP，易证明∠P＞∠A； （2）存在，怎样的角与∠A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC 的外接⊙O，易知 弦 BC 所对且顶点在弧 A m B，和弧 A n C 上的圆周角都与∠A 相等，因此点 Q 应在弓形 A m B 和 A n C 内，利 用圆的有关性质易证明（证明略）。 【问题二】如图，已知 P 是等边△ABC 的 BC 边上任意一点，过 P 点分别作 AB、AC 的垂线 PE、PD，垂 足为 E、D。问：△AED 的周长与四边形 EBCD 的周长之间的关系？ 例 2 图 ED CB A 分析与结论： （1）DE 是△AED 与四边形 EBCD 的公共边，只须证明 AD＋AE＝BE＋BC＋CD （2）既有等边三角形的条件，就有 600 的角可以利用；又有垂线，可造成含 300 角的直角三角形，故 本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。 略解：在等边△ABC 中，∠B＝∠C＝600 又∵PE⊥AB 于 E，PD⊥AC 于 D ∴∠BPE＝∠CPD＝300 不妨设等边△ABC 的边长为 1，BE＝ x ，CD＝ y ，那么：BP＝ x2 ，PC＝ y2 ， 2 1 yx ，而 AE＝ x1 ，AD＝ y1 ∴AE＋AD＝ 2 3)(2  yx 又∵BE＋CD＋BC＝ 2 31)(  yx ∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD 从而 AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE 即△AED 的周长等于四边形 EBCD 的周长。 评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。 跟踪训练： 一、填空题： 1、三角形的三边为 1， a1 ，9，则 a 的取值范围是 。 2、已知三角形两边的长分别为 1 和 2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。 3、在△ABC 中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝ 度。 4、如果△ABC 的一个外角等于 1500，且∠B＝∠C，则∠A＝ 。 5、如果△ABC 中，∠ACB＝900，CD 是 AB 边上的高，则与∠A 相等的角是 。 6、如图，在△ABC 中，∠A＝800，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点 D，那么∠BDC＝ 。 7、如图，CE 平分∠ACB，且 CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD 的周长为 28 cm，则 DB＝ 。 8、纸片△ABC 中，∠A＝650，∠B＝750，将纸片的一角折叠，使点 C 落在△ABC 内（如图），若∠1＝则∠2 的度数为 。 9、在△ABC 中，∠A＝500，高 BE、CF 交于点 O，则∠BOC＝ 。 10、若△ABC 的三边分别为 a 、b 、c ，要使整式 0))((  mcbacba ，则整数 m 应为 。 第 6 题图 FE D CB A 第 7 题图 E D C BA 二、选择题： 1、若△ABC 的三边之长都是整数，周长小于 10，则这样的三角形共有（ ） A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个 2、在△ABC 中，AB＝AC，D 在 AC 上，且 BD＝BC＝AD，则∠A 的度数为（ ） A、300 B、360 C、450 D、7、等腰三角形一腰上的中线分周 问题二图 E D P CB A 长为 15 和 12 两部分，则此三角形底边之长为（ ） A、7 B、11 C、7 或 11 D、不能确定 4、在△ABC 中，∠B＝500，AB＞AC，则∠A 的取值范围是（ ） A、00＜∠A＜1800 B、00＜∠A＜800 C、500＜∠A＜1300 D、800＜∠A＜1300 5、若 、  、 是三角形的三个内角，而  x ，  y ，  z ，那么 x 、 y 、 z 中，锐 角的个数的错误判断是（ ） A、可能没有锐角 B、可能有一个锐角 C、可能有两个锐角 D、最多一个锐角 6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的 2 倍，且等于它不相邻内角的 4 倍，那么这个三角形一定是 （ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形 三、解答题： 1、有 5 根木条，其长度分别为 4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？ 2、长为 2，3，5 的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角 形吗？为什么？ 3、如图，在△ABC 中，∠A＝960，延长 BC 到 D，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于 1A ，∠ 1A BC 与∠ 1A CD 的平分线相交于 2A ，依此类推，∠ 4A BC 与∠ 4A CD 的平分线相交于 5A ，则∠ 5A 的大小是多少？ 4、如图，已知 OA＝ a ，P 是射线 ON 上一动点（即 P 可在射线 ON 上运动），∠AON＝600，填空： （1）当 OP＝ 时，△AOP 为等边三角形； （2）当 OP＝ 时，△AOP 为直角三角形； （3）当 OP 满足 时，△AOP 为锐角三角形； （4）当 OP 满足 时，△AOP 为钝角三角形。 2A 1A 第 3 题图 DCB A a 060 第 4 题图 NPO A 一、填空题： 1、 79  a ；2、2；3、14、300 或 15、∠DCB；6、500；7、8cm； 8、600；9、1300；10、偶数。 二、选择题：CBCBCB 三、解答题： 1、6 种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12） 2、可以，设延伸部分为 a ，则长为 a2 ， a3 ， a5 的三条线段中， a5 最长， ∵ 0)5()3()2(  aaaa ∴只要 0a ，长为 a2 ， a3 ， a5 的三条线段可以组成三角形 设长为 a5 的线段所对的角为 ，则 为△ABC 的最大角 又由 12)5()3()2( 2222  aaaa 当 0122 a ，即 32a 时，△ABC 为直角三角形。 3、30 4、（1） a ；（2） a2 或 2 a ；（3） 2 a ＜OP＜ a2 ；（4）0＜OP＜ 2 a 或 OP＞ a2