中考数学二轮专题复习：动态几何综合题

中考数学二轮专题复习 动态几何综合题 【简要分析】 函数是中学数学的一个重要概念．加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的考 查是近年中考试题的一个显著特点．大量涌现的动态几何问题，即建立几何中元素的函数关系 式问题是这一特点的体现．这类题目的三乱扣帽子解法是抓住变化中的“不变”．以“不变” 应“万变”．同时，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆幂定理、面积关系，借 助议程为个桥梁，从而得到函数关系式，问题且有一定的实际意义，因此，对函数解析式中自 变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件． 【典型考题例析】 例 1：如图 2-4-37，在直角坐标系中,O 是原点,A、B、C 三 点的坐标分别为 A（18，0）、B（18，6）、C（8，6），四边 形 OABC 是梯形．点 P、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动， 其中点 P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒 1 个单位，点 Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动． （1）求出直线 OC 的解析式． （2）设从出发起运动了 t 秒，如果点 Q 的速度为每秒 2 个单位，试写出点 Q 的坐标，并 写出此时 t 的取值范围． （3）设从出发起运动了 t 秒，当 P、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形 OABC 的周长 的一半时，直线 PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出 t 的值；如不 可能，请说明理由． 分析与解答 （1）设 OC 的解析式为 y kx ，将 C（8，6）代入，得 3 4k  ， ∴ 3 4y x ． （2）当 Q 在 OC 上运动时，设 3( , )4Q m m ， 依题意有 2 2 23( ) (2 )4m m t  ，∴ 8 5m t ． 故 8 6( , )(0 5)5 5Q t t t  ． 当 Q 在 CB 上运动时，Q 点所走过的路程为 2t ． ∵CO=10，∴ 2 10CQ t  ． ∴Q 点的横坐标为 2 10 8 1 2t t    ． ∴ (2 2,6)(5 10)Q t t   ． （3）易得梯形的周长为 44． ①如图 2-4-38，当 Q 点在 OC 上时，P 运动的路程为 t ，则 Q 运动的路程为 (22 )t ． 过 Q 作 QM⊥OA 于 M，则 3(22 ) 5QM t   ． ∴ 1 3(22 )2 5OPQS t t    ， 1 (18 10) 6 842S    四边形 ． 假设存在 t 值，使得 P、Q 两点同时平分梯形的周长和面积， 则有 1 3 1(22 ) 842 5 2t t    ，即 2 22 140 0t t   ． ∵ 222 4 140 0     ，∴这样的 t 不存在． ②如图 2-4-39，当 Q 点在 BC 上时，Q 走过的路程为 (22 )t ， 故 CQ 的长为： 22 10 12t t    ． ∴ 1 ( )2OCQPS CQ OP 梯形 ． 1 1(12 ) 6 36 842 2AB t t        ， ∴这样的 t 也不存在． 综上所述，不存在这样的 t 值，使得 P、Q 两点同时平分梯形的周长和面积． 例 2： 如图 2-5-40，在 Rt△PMN 中，∠P=900，PM=PN，MN=8 ㎝，矩形 ABCD 的 长和宽分别为 8 ㎝和 2 ㎝，C 点和 M 点重合，BC 和 MN 在一条直线上．令 Rt△PMN 不动， 矩形 ABCD 沿 MN 所在直线向右以每秒 1 ㎝的速度移动（图 2-4-41），直到 C 点与 N 点重 合为止．设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为 y ㎝ 2．求 y 与 x 之间的函数 关系式． 分析与解答 在 Rt△PMN 中，∵PM=PN，∠P=900，∴∠PMN=∠PNM=450． 延长 AD 分别交 PM、PN 于点 G、H． 过 G 作 GF⊥MN 于 F，过 H 作 HT⊥MN 于 T（图 2-4-42）． ∵DC=2 ㎝．∴MF=GF=2 ㎝， ∵MT=6 ㎝． 因此矩形 ABCD 以每秒 1 ㎝的速度由开始向右移动到停止，和 Rt△PMN 重叠部分的形 状可分为下列三种情况： （1）当 C 点由 M 点运动到 F 点的过程中（0 ≤ x ≤2）．如图 2-4-42 所示，设 CD 与 PM 交于点 E，则重叠部分图形是 Rt△MCE，且 MC=EC= x ． ∴ 21 1 (0 2)2 2y MC EC x x    ． （2）当 C 点由 F 点运动到 T 点的过程中 (2 6)x  ， 如图 2-4-43 所示，重叠部分图形是直角梯形 MCDG． ∵ , 2MC x MF  ，∴FC=DG= x -2，且 DC=2． ∴ 1 ( ) 2 2(0 6)2y MC GD DC x x      （3）当 C 点由 T 点运动到 N 点的过程中 (6 8)x  ， 如图 2-4-44 所示，设 CD 与 PN 交于点 Q， 则重叠部分图形是五边形 MCQHG． ∵ MC x ，∴CN=CQ=8- x ，且 DC=2． ∴ 21 1 1( ) ( 8) 12(6 8)2 2 2y MN GH DC CN CQ x x          ． 说明：此题是一个图形运动问题，解答方法是将各个时刻的图形分别画出，将图形 则“动” 这“静”，再设法分别求解．这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮我们理 清思路，各个击破． 【提高训练】 1．如图 2-4-45，在  ABCD 中，∠DAB=600，AB=5，BC=3，鼎足之势 P 从起点 D 出发， 沿 DC、CB 向终点 B 匀速运动．设点 P 所走过的路程为 x ，点 P 所以过的线段与绝无仅有 AD、AP 所围成图形的面积为 y ， y 随 x 的函数关系的变化而变化．在图 2-4-46 中，能正确 反映 y 与 x 的函数关系的是（ ） 2．如图 2-4-47，四边形 AOBC 为直角梯形，OC= 5 ，OB=%AC，OC 所在直线方程为 2y x ， 平行于 OC 的直线 l 为： 2y x t  ，l 是由 A 点平移到 B 点时，l 与直角梯形 AOBC 两边所 转成的三角形的面积记为 S．（1）求点 C 的坐标．（2）求 t 的取值范围．（3）求出 S 与 t 之间的函数关系式． 3．如图 2-4-48，在△ABC 中，∠B=900，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 ㎝/秒的速度 移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 ㎝/秒的速度移动．（1）如果 P、Q 分别从 A、 B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于 8 ㎝ 2？（2）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，点 P 到达点 B 后又继续沿 BC 边向点 C 移动，点 Q 到达点 C 后又继续沿 CA 边向点 A 移动， 在这一整个移动过程中，是否存在点 P、Q，使△PBQ 的面积等于 9 ㎝ 2？若存在，试确定 P、 Q 的位置；若不存在，请说明理由． 4．如图 2-4-49，在梯形 ABCD 中，AB=BC=10 ㎝，CD=6 ㎝，∠C=∠D=900． （1）如图 2-4-50，动点 P、Q 同时以每秒 1 ㎝的速度从点 B 出发，点 P 沿 BA、AD、DC 运动到点 C 停止．设 P、Q 同时从点 B 出发 t 秒时，△PBQ 的面积为 1y （㎝ 2），求 1y （㎝ 2） 关于 t （秒）的函数关系式． （2）如图 2-4-51，动点 P 以每秒 1 ㎝的速度从点 B 出发沿 BA 运动，点 E 在线段 CD 上随 之运动，且 PC=PE．设点 P 从点 B 出发 t 秒时，四边形 PADE 的面积为 2y （㎝ 2）．求 2y （㎝ 2）关于 t （秒）的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围． 【答案】 1．A 2．（1）C（1，2） （2）－10≤ t ≤2 （3）S 与 t 的函数关系式为 21 5( 10 0)20S t t t      或 21 1(0 2)4S t t t     3．（1）2 秒或 4 秒 （2）存在点 P、Q，使得△PBQ 的面积等于 9 ㎝ 2，有两种情况： ①点 P 在 AB 边上距离 A 为 3 ㎝，点 Q 在 BC 边上距离点 B 为 6 ㎝; ②点 P 在 BC 边上，距 B 点 3 ㎝时，此时 Q 点就是 A 点 4．（1）当点 P 在 BA 上运动时， 2 1 3 10y t ； 当点 P 在 AD 上运动时， 1 30y  ； 当点 P 在 DC 上运动时， 1 90y t   （2） 2 2 12 9 9025BPC PECABCDy S S S t t      梯形 ，自变量 t 的取值范围是 0≤ t ≤5． 2010 年中考数学二轮复习专题水平测试 动态问题 一、选择题 1．（2009 年长春）如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回， 点 P 在运动过程中速度大小不变，则以点 A 为圆心，线段 AP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 之间的函数图象大致为（ ） 2．（2009 年江苏省）如图，在 5 5 方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位 置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ） A．先向下平移 3 格，再向右平移 1 格 B．先向下平移 2 格，再向右平移 1 格 C．先向下平移 2 格，再向右平移 2 格 D．先向下平移 3 格，再向右平移 2 格 3．（2009 年新疆）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ） 甲 乙 甲 乙 A B． C． D 甲 乙 甲 乙 O S t O S t O S t O S t A P B A． B． C． D． 4 ． （ 2009 年 天 津 市 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 线 段 AB 的 两 个 端 点 分 别 是    4 1A B ， ， 1，1 ，将线段 AB 平移后得到线段 A B  ，若点 A的坐标为 2 2 ， ，则 点 B的坐标为（ ） A．  4 3， B． 3 4， C． 1 2 ， D． 2 1 ， 5．（2009 年牡丹江市） ABC△ 在如图所示的平面直角坐标系中，将 ABC△ 向右平移 3 个 单位长度后得 1 1 1A B C△ ，再将 1 1 1A B C△ 绕点O 旋转180°后得到 2 2 2A B C△ ，则下列说法正 确的是（ ） A． 1A 的坐标为 31， B． 1 1 3ABB AS 四边形 C． 2 2 2B C  D． 2 45AC O  ° 6．（2009 年莆田）如图 1，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿 N → P →Q → M 方 向运动至点 M 处停止．设点 R 运动的路程为 x ， MNR△ 的面积为 y ，如果 y 关于 x 的函 数图象如图 2 所示，则当 9x  时，点 R 应运动到（ ） A． N 处 B． P 处 C．Q 处 D． M 处 Q P R M N （图 1） （图 2）4 9 y xO 4 3 2 1 0 3213 x y A B C 2 1 1 2 3 7．（2009 年茂名市）如图，把抛物线 2y x 与直线 1y  围成的图形OABC 绕原点 O 顺时 针旋转 90°后，再沿 x 轴向右平移 1 个单位得到图形 1 1 1 1O A B C ，则下列结论错误．．的是（ ） A．点 1O 的坐标是 (1 0)， B．点 1C 的坐标是 (2 1)， C．四边形 1 1 1O BA B 是矩形 D．若连接OC，则梯形 1 1OCA B 的面积是 3 8．（2009 年湖北十堰市）如图，已知 RtΔABC 中，∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以 AB 边 所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）． A．  5 168 B． 24 C．  5 84 D． 12 9．（2009 年佛山市）将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其 边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( ) A．1 圈 B．1.5 圈 C．2 圈 D．2.5 圈 二、填空题 10．（2009 年新疆）如图， 60ACB  °，半径为 1cm 的 O⊙ 切 BC 于点C ，若将 O⊙ 在CB 上向右滚动，则当 滚动到 O⊙ 与 CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是 O y x1O B 1B 1C 1A11A （ ，） 11C（，） A C B O __________cm． 11．（2009 年包头）如图，已知 ACB△ 与 DFE△ 是两个全等的直角三角形，量得它们的 斜边长为 10cm，较小锐角为 30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点 B C F D、 、 、 在同一条直线上，且点C 与点 F 重合，将图（1）中的 ACB△ 绕点C 顺 时针方向旋转到图（2）的位置，点 E 在 AB 边上， AC 交 DE 于点G ，则线段 FG 的长 为 cm（保留根号）． 12．（2009 年达州）在边长为 2 ㎝的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角 线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近 似值）. 13．（2009 年河南）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点 0 是 AC 的中 点，过点 0 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始，绕点 0 作逆时针旋转，交 AB 边于点 D. 过点 C 作 CE∥AB 交直线 l 于点 E，设直线 l 的旋转角为α. (1)①当α=________度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由． A E C (F) DB 图（1） E A G B C (F) D 图（2） 三、解答题 14．(2009 年牡丹江市)已知 Rt ABC△ 中， 90AC BC C D  ，∠ ， 为 AB 边的中点， 90EDF  °， EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、CB（或它们的延长线）于 E 、 F．当 EDF 绕 D 点旋转到 DE AC 于 E 时（如图 1），易证 1 2DEF CEF ABCS S S △ △ △ ． 当 EDF 绕 D 点旋转到 DE AC和 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否 成立？若成立，请给予证明；若不成立， DEFS△ 、 CEFS△ 、 ABCS△ 又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，不需证明． A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D BC E 图 2 F 15．（2009 年株洲市）已知 ABC 为直角三角形， 90ACB   ， AC BC ,点 A 、C 在 x 轴上，点 B 坐标为（3 ， m ）（ 0m  ），线段 AB 与 y 轴相交于点 D ，以 P （1，0） 为顶点的抛物线过点 B 、 D ． （1）求点 A 的坐标（用 m 表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ，连结 BQ 并延长交 AC 于点 F ，试证明： ( )FC AC EC 为定值． 16．（2009 年崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限， 斜靠在两坐标轴上，且点 (0 2)A ， ，点 ( 1 0)C  ， ，如图所示：抛物线 2 2y ax ax   经过 点 B ． （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P （点 B 除外），使 ACP△ 仍然是以 AC 为直角边的等 腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2009 年郴州市） 如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M（－2， 1- ）， 且 P（ 1- ，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂 直于 y 轴，垂足分别是 A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四 边形 OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值． B A D C O M N x y P1 P2 B A C x y （0，2） （－1，0） 18．（2009 年 常 德 市 ）如图 1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的 中点，易证：CD=BE，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若 不成立请说明理由； （2）当△ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出 证明，并求出当 AB=2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由． 图 1 图 2 图 1 图 2 图 3