*3.5 三元一次方程组及其解法
1．会解简单的三元一次方程组．
2．进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．
重点
三元一次方程组的解法．
难点
三元一次方程组的解法过程中的方法选择．
一、复习旧知，导入新知
(1)解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
(2)解二元一次方程组的基本思想是什么？
(3)甲、乙、丙三数的和是 26，甲数比乙数大 1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大 18，
求这三个数．
教师：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？
学生活动：回答问题、设未知数、列方程．
这个问题必须三个条件都满足，因此，我们设甲、乙、丙分别为 x，y，z，列方程，再
把三个方程合在一起，写成下面的形式：
x＋y＋z＝26， ①
x－y＝1， ②
2x＋z－y＝18. ③
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是 1，并且一共有三个方程，像
这样的方程组，就是我们要学习的三元一次方程组(板书课题)．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点：三元一次方程组及其解法
问题 1：怎样解上面的三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它
化成二元一次方程组或一元一次方程？
学生活动：思考、讨论后说出消元方案．
教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方
程②，可得 x＝y＋1④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去 x，得到只含 y，z 的二元
一次方程组．
解：由②，得 x＝y＋1.④
把④代入①，得 2y＋z＝25.⑤
把④代入③，得 y＋z＝16.⑥
⑤与⑥组成方程组
2y＋z＝25，
y＋z＝16.
解这个方程组，得
y＝9，
z＝7.
把 y＝9 代入④，得 x＝10.
所以
x＝10，
y＝9，
z＝7.
注意：a.得二元一次方程组后，解二元一次方程组的过程在练习本上完成．
b．求得 y＝9，z＝7 后，求 x，要代入前面最简单的方程④.
c．检验．
这道题也可以用加减法解，②中不含 z，那么可以考虑将①与③结合消去 z，与②组成
二元一次方程组．
学生活动：在练习本上用加减法解方程组．
问题 2：解方程组
3x＋4z＝7， ①
2x＋3y＋z＝9， ②
5x－9y＋7z＝8. ③
学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加
减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．
解：②×3＋③，得 11x＋10z＝35.④
①与④组成方程组
3x＋4z＝7，
11x＋10z＝35.
解这个方程组，得
x＝5，
z＝－2.
把 x＝5，z＝－2 代入②，得 2×5＋3y－2＝9，
y＝1
3
.所以
x＝5，
y＝1
3
，
z＝－2.
这个方程组的特点是方程①不含 y，而②，③中 y 的系数的绝对值成整数倍关系，显然
用加减法从②，③中消去 y 后，再与①组成只含 x，z 的二元一次方程组的解法最为合理．而
用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③较繁琐．
归纳：通过消元，将一个较复杂的三元一次方程组化为简单易解的阶梯型方程组，从而
通过回代得出其解，整个求解过程就称为用消元法解三元一次方程组．
四、应用迁移，运用新知
1．三元一次方程组的有关概念
例 1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A.
x2－y＝1，
x＋z＝0，
xz＝2
B.
1
x
＋1＝1，
1
y
＋z＝2，
1
z
＋x＝6
C.
a＋b＋c＋d＝1，
a－c＝2，
b－d＝3
D.
m＋n＝18，
n＋t＝12，
t＋m＝0
解析：A 选项中，方程 x2－y＝1 与 xz＝2 中含未知数的项的次数为 2，不符合三元一次
方程组的定义，故 A 选项不是；B 选项中1
x
，1
y
，1
z
不是整式，故 B 选项不是；C 选项中方程组
含有四个未知数，故 C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义．
方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方
程中含未知数的次数都是 1；(3)方程组中共有三个整式方程．
2．三元一次方程组的解法
例 2 解下列三元一次方程组：
(1)
z＝y＋x， ①
2x－3y＋2z＝5， ②
x＋2y＋z＝13； ③
(2)
2x＋3y＋z＝11，①
x＋y＋z＝0， ②
3x－y－z＝－2. ③
解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消
去 z 可得到关于 x、y 的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，
用①减去②可消去 z，用①加上③也可消去 z，进而得到关于 x、y 的二元一次方程组．
解：(1)将①代入②、③，消去 z，得
4x－y＝5，
2x＋3y＝13.
解得
x＝2，
y＝3.
把 x＝2，y＝3 代入①，得 z＝5.
所以原方程组的解为
x＝2，
y＝3，
z＝5；
(2)①－②，得 x＋2y＝11.④
①＋③，得 5x＋2y＝9.⑤
④与⑤组成方程组
x＋2y＝11，
5x＋2y＝9.
解得
x＝－1
2
，
y＝23
4
.
把 x＝－1
2
，y＝23
4
代入②，得 z＝－21
4
.
所以原方程组的解是
x＝－1
2
，
y＝23
4
，
z＝－21
4
.
方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中未知数的系数特点选择较简便的
方法．(1)一般地，若某一未知数的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中
某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法．
3．三元一次方程组的应用
例 3 一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的3
4
，百位上的数字与十位上的数字
之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大 495，
求原三位数．
解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为 x，y，z，则原三位数可表示为 100x
＋10y＋z.
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为 x、y、z.由题意，
得
y＝3
4
z，
x＋y＝z＋1，
100z＋10y＋x＝100x＋10y＋z＋495.
解得
x＝3，
y＝6，
z＝8.
答：原三位数是 368.
方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数
字为 a，个位上的数字为 b，那么这个两位数可表示为 10a＋b；如果一个三位数的百位上的
数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c，那么这个三位数可表示为 100a＋10b＋c，
依此类推．
五、尝试练习，掌握新知
课本 P116 练习、P118 练习第 1、2 题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了(1)解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？
三元――→消元 二元――→消元 一元
方法：代入法、加减法
(2)解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含
二元时，一般地，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二
元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
(3)注意检验．
七、深化练习，巩固新知
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