3.5.2三元一次方程组的应用
沪科版 七年级上
新知导入
解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,把三
元一次方程组转化为二元一次方程组,进而再转化为一元一次方程
用简图表示为:
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程组
3x+2y+z=39.
④
2x+3y+z=34.
⑤
x+2y+3z=26.
⑥
新知讲解
【例】解《九章算术》第八章第一题的方程组
【解】将方程③前移为第1个方程,将方程①和②分别后移为第2个
和第3个方程,得
3x+2y+z=39. ①
2x+3y+z=34. ②
x+2y+3z=26. ③
新知讲解
x+2y+3z=26. ④
-4y-8z=-39. ⑦
-y-5z=-18. ⑧
⑤-④×3,⑥-④×2,得
x+2y+3z=26.
-4y-8z=-39.
-3z= .4
33
4
1⑧+⑦× ,得
再通过回代,解得
所以
新知讲解
4
37x,4
17y,4
11z
4
11z
4
17y
4
37x
新知讲解
【例】幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单
位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标
准给幼儿园小朋友们配餐,其中包含A、B、C三种食物,下表给出的是
每份(50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量(单位)
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
新知讲解
(1)如果设食谱中A、B、C三种食物各位x、y、z份,请列出方程
组,使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足婴儿营养标准中
的要求.
(2)解该三元一次方程组,求出满足要求的A、B、C的份数.
【解】(1)设食谱中A,B,C三种食物各为x, y, z份, 由该食谱中包
含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素,得方程组
5x+5y+10z=35, ①
20x+10y+10z=70, ②
5x+15y+5z=35. ③
新知讲解
(2) ②-①×4,③-①,得
⑤+④,得
通过回代,得 z=2,y=1,x=2.
答:该食谱中包含A种食物2份,B中食物1份,C种食物2份.
5x+5y+10z=35, ①
-10y-30z=-70, ④
10y-5z=0. ⑤
5x+5y+10z=35, ①
-10y-30z=-70, ②
-35z=-70. ⑥
课堂练习
1.解方程组
若要使运算简便,消元的方法应选( )
A.消去x B.消去y
C.消去z D.以上说法都不对
3x-y+2z=3,
2x+y-4z=11,
7x+y-5z=1.
B
课堂练习
2.已知三元一次方程组
经过步骤①-③和③×4+②消去未知数z后,得到的二元一次方程
组是( )
A. B.
C. D.
4 +3 2
7 5 3
x y
x y
, 4 +3 2
23 17 11
x y
x y
,
3 +4 2
7 5 3
x y
x y
, 3 +4 2
23 17 11
x y
x y
,
5x+4y+z=0,
3x+y-4z=11,
x+y+z=-2.
①
②
③
A
课堂练习
3.甲、乙、丙三数的和是26,甲数比乙数大1,甲数的两倍与丙数的
和比乙数大18,求这三个数.
解:设甲为x,乙为y,丙为z,根据题意,组成以下方程组:
解这个方程组,得
答:甲为10,乙为9,丙为7.
x+y+z=26,
x-y=1,
2x+3z-y=18.
x=10
y=9
z=7
拓展提高
4.一个三位数,十位上的数字是个位上的数字的 ,百位上的数字与
十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后
得到的新三位数比原三位数大495,求原三位数.
4
3
解:设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.
由题意得
拓展提高
y= z ,
x+y=z+1,
100z+10y+x=100x+10y+z+495.
4
3
答:原三位数是368.
解得
x=3
y=6
z=8
课堂总结
三元一次方程组的必备条件:
(1)是整式方程;
(2)含三个未知数;
(3)三个都是一次方程;
(4)联立在一起.
课堂总结
解三元一次方程组的基本思路仍是消元,是将复杂问题简单化的一种
方法.其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数,从而变三元为
二元,然后解这个二元一次方程组,求出两个未知数,最后再求出另
一个未知数.
其基本过程为:三元 二元 一元.消元
转化
消元
转化
作业布置
课本 P118 练习题