沪科版数学七年级上 3.5 三元一次方程组及其解法 教案

3.5 三元一次方程组及其解法 教学目标：会解三元一次方程组．通过解三元一次方程组的学习,提高逻辑思维能力. 培养抽象概括的数学能力． 重点、难点： 三元一次方程组的解法．解法的技巧． 重点难点分析： 1.三元一次方程的概念 三元一次方程就是含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程.如 x+y-z=1, 2a-3b+c=0 等都是三元一次方程. 2.三元一次方程组的概念 一般地,由几个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组. 例如, 等都是三元一次方程组. 三元一次方程组的一般形式是： 3.三元一次方程组的解法 （1）解三元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元,即把二元一次方程转化为一元一次方程求解,由 此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元,一般地,应利用代入法或加减法消去一 个未知数,从而变三元为二元,然后解这个二元一次方程组,求出两个未知数,最后再求出另一 个未知数. （2）怎样解三元一次方程组? 解三元一次方程组例题 1.解方程组 法一：代入法 分析：仿照前面学过的代入法,将（2）变形后代入（1）、（3）中消元,再求解． 由（2）,得 x=y+1． （4） 将（4）分别代入（1）、（3）得 解这个方程组,得 把 y=9 代入（4）,得 x=10． 因此,方程组的解是 法二：加减法 （3）-（1）,得 x-2y=-8 （4） 由（2）,（4）组成方程组 解这个方程组,得 把 x=10,y=9 代入（1）中,得 z=7． 因此,方程组的解是 法三：技巧法 分析：发现（1）＋（2）所得的方程中 x 与 z 的系数与方程（3）中 x 与 z 的系数分别 对应相等,因此可由（1）+（2）-（3）直接得到关于 y 的一元一次方程,求出 y 值后再代回, 即可得到关于 x、y 的二元一次方程组 由（1）＋（2）-（3）,得 y=9． 把 y=9 代入（2）,得 x=10． 把 x=10,y=9 代入（1）,得 z=7． 因此,方程组的解是 注意： （1）解答完本题后,应提醒同学们不要忘记检验,但检验过程一般不写出. （2）从上述问题的一题多解,使我们体会到,灵活运用代入法或加减法消元,将有助于我 们迅速准确 求解方程组． 2.解方程组 分析：在这个方程组中,方程（1）只含有两个未知数 x、z,所以只要由（2）（3）消去 y,就可以得到只含有 x,z 的二元一次方程组． （2）×3＋（3）,得 11x＋7z=29, （4） 把方程（1）,（4）组成方程组 解这个方程组,得, 把 x=-,z=5 代入(2)得 3(-)+2y+5=8,所以 y= 因此,方程组的解是 3.解方程组 分析：用加减法解,应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数. （1）＋（3）,得 5x+5y=25．（4） （2）＋（3）×2,得 5x+7y=31．（5） 由（4）与（5）组成方程组 解这个方程组,得 把 x=2,y=3 代入（1）,得 3×2+2×3＋z=13, 所以 z=1． 因此,方程组的解是 4.解方程组 分析：题目中的 y:x=3:2,即 y= 法一：代入法 由（2）得 x=y (4) 由（3）得 z= (5) 将（4）,（5）代入（1）,得+y+y=111 所以 y=45． 把 y=45 分别代入（4）、（5）,得 x=30,z=36． 因此,方程组的解是 法二：技巧法 分析：y∶x=3∶2,即 x∶y=2∶3=10∶15,而 y∶z=5∶4=15∶12,故有 x∶y∶z=10∶15∶ 12．因此,可设 x=10k,y=15k,z=12k．将它们一起代入（1）中求出 k 值,从而求出 x、y、z 的值． 由（2）,得 x∶y=2∶3, 即 x∶y=10∶15． 由（3）,得 y∶z=5∶4, 即 y∶z=15∶12． 所以 x∶y∶z=10∶15∶12． 设 x=10k,y=15k,z=12k,代入（1）中得 10k+15k+12k=111, 所以 k=3． 故 x=30,y=45,z=36． 因此,方程组的解是 5.解方程组 分析： 1) 观察原方程组,我们准备先消去哪一个未知数? 2) 为什么要先消去 z?注意到三个方程中都含有三个未知数,而在方程(3)中 z 一项的系 数是-1,所以未 知数 z 易消. 3) 怎样在(1)和(2)中消去 z? 4) 解这个关于 x、y 的方程组,求 x 和 y 的值是多少? 5) 怎样去求 z 的值?能不能把 x=5, y=0 代入(3)中去求 z? (1)+(3)×4 得 17x+5y=85 … (4) (3)×3-(2) 得 7x-y=35 … (5) (4)、(5)组成方程组 解得 把 x=5, y=0 代入(3),得 15-z=18, 所以 z=-3, 所以 总结：解三元一次方程组的一般步骤： 1.利用代入法或加减法,把方程组中的某一个未知数消去,得到关于另外两个未知数的二 元一次方程 组； 2.解这个二元一次方程组,求出这两个未知数的值； 3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程,得到一个一元 一次方程； 4.解这个一元一次方程,求出最后一个未知数的值； 5.将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起,即可. 练习： 1．解方程组 2．解方程组 3．已知方程组 的解使代数式 x-2y+3z 的值等于-10,求 a 的值. 练习答案 1． 分析：根据各方程中系数的特点,将方程(1)分别与方程(2)、方程(3)组成两组,利用加减 法消去 y 比较简便. (1)+(2), 有 5x-z=14 (4) (1)+(3), 有 4x+3z=15 (5) 再解由(4)、(5)构成的二元一次方程组 (4)×3, 得 15x-3z=42 (6) (5)+（6）,得 19x=57, x=3. 把 x=3 代入(4),得 z=1. ∴ 把 x=3, z=1 代入(3),得 y=8. 因此,方程组的解是 注意：解三元一次方程组,要先根据各方程的特点,灵活地确定消元步骤和消元方法,不 要盲目消元. 2． 法－：代入法 由(1),得 3y=2x, (4) 由(2)得 5z=y, (5) 把(4)和(5)代入(3),得, 解得 y=10. 把 y=10 分别代入(4)和(5),得 因此,方程组的解是 法二：技巧法 由(1),得 x∶y=15∶10(根据分数的基本性质), 由(2),得 y∶z=10∶2. ∴ x∶y∶z=15∶10∶2. 设 x=15k, y=10k, z=2k 并代入(3), 得 15k+10k-2×2k=21,解得 k=1. ∴ x=15, y=10, z=2. ∴ 小结：此方程组是三元一次方程组,这类方程组一般有两种基本解法,一是将比例式化 为等积式,把(1)变为,(2)变为,然后代入(3),可消去两个未知数 x 和 z,得到关于 y 的一元一次 方程；二是把方程(1)和(2)的两个比统一为 x∶y∶z=15∶10∶2 然后设每一份为 k,即 x=15k, y=10k, z=2k,代入方程(3)可求出 k,进而求得 x, y, z 的值. 3． 分析：由题意可知,此方程组中的 a 是已知数,x、y、z 是未知数,先解方程组,求出 x、y、 z（含有 a 的代数式）,然后把求得的 x、y、z 代入等式 x-2y+3z=-10,可得关于 a 的一元一 次方程.解这个方程,即可求得 a 的值. 法－： (2)-(1),得 z-x=2a (4) (3)+(4),得 2z=6a, z=3a. 把 z=3a 分别代入(2)和(3),得 y=2a, x=a. ∴ 把 x=a, y=2a, z=3a 代入 x-2y+3z=-10, 得 a-2×2a+3×3a=-10, 解得. 法二：技巧解法 (1)+(2)+(3),得 2(x+y+z)=12a, 即 x+y+z=6a (4) (4)-(1),得 z=3a; (4)-(2),得 x=a; (4)-(3),得 y=2a. ∴以下同解法－,略. 注意：当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时,可以运用此题解法二中的技巧解 这类三元一次方程组 .