沪科版七年级上册 数学 课件 3.5 三元一次方程组及其解法（21张PPT）

本节内容 3-5 沪科版七年级上册 情境引入 1、解二元一次方程组有哪几种方法？ 2、它们的实质是什么？ 二元一次方程组 代入 加减 消元 一元一次方程 化未知为已知 消元化归思想 代入消元法和加减消元法 消元法 动脑筋 3.小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸 比妈妈大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和 的1/7. 试问这家人的年龄分别是多少岁？ 可建立二元一次 方程组来解决. 设爸爸的年龄为x岁，小丽的年龄 为y岁，则妈妈的年龄为(x-6)岁. 根据题意得：     + + 6=80, 1= + 6 .7 x y x y x x - -( ) 想一想，还有其他的方法列方程组求 解吗？ 因为要求三个人的年龄，所以可 设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄 为y 岁，小丽的年龄为z 岁. 根据题 意得： x + y + z = 80 ， x - y = 6 ， x + y = 7z . 这种由三个一次方程组成的含三个未知数的方程 组叫做三元一次方程组. 在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未 知数的值，叫做这个方程组的解. 三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我们把 这三个方程联立在一起写成：       + + =80 , =6 , + =7 . x y z x y x y z - 结论   我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不 少成果被收入古代数学著作《九章算术》中．《九章算术 》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容．这一章的 第一个问题译成现代汉语是这样的：   上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共有39斗；   上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共有34斗；   上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共有26斗； 求上、中、下三等谷每束各是几斗？ 注：斗是过去的容积计量单位．   不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有3 个未知数的问题．设上等谷每束x斗,中等谷每束y斗，下 等谷每束z斗． ４.阅读“史话”,感受我国古代人民的智慧。    根据题意，得到一个三元一次方程组： 那么我国古代是怎么解决这个问题的呢？ 下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什 么意思呢？ 《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图 改为横排，使三个横行表示三句话的含义． 3 2 39, 2 3 34, 2 3 26. x y z x y z x y z             ① ② ( ) ③ 动脑筋 解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去 一个未知数，使其转化为一元一次方程来求解. 那么我们在解三元一次方程组时，能不能同样利 用代入法或加减法来消去一个或两个未知数，使其 转化为二元一次方程组或一元一次方程呢？ 例:解方程组：       + + =80, =6 , + =7 . x y z x y x y z - ① ② ③ 解:①+②得到一个只含x和z的二元一次方程， 即2x + z = 86 . 再②+③,又得到一个只含x和z的二元一次方程, 即2x = 6 + 7z . 由此可得一个关于x，z的二元一次方程组      2 + =86 2 7 =6 . x z x z- , 把x=38，z=10代入①式，得38 + y + 10 = 80 ， 解这个方程组，得      =38 =10 . x z , 解得 y = 32 . 因此，三元一次方程组的解为       =38 =32 =10 . x y z , , 从上面解方程组的过程可以看出: 解三元一次方程组的基本思路是：消元 即：先消去一个未知数，将解三元一次方程组 转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一 元一次方程. 消元的基本方法仍然是代入法和加减法. 说一说 举 例 例 解三元一次方程组： 解: 先用加减消元法消去y: ①+②， 得 -x+3z =0 . ④ ②×2+③， 得 -3x-2z =-11 . ⑤ 解这个由④⑤联立成的二元一次方程组： ④×3－⑤，得 11z=11 ⑥ 所以 z=1 ⑦ 将⑦代入④，得 x = 3 将x , z的值代入① , 得 y = -2       542 32 32 zyx zyx zyx ① ② ③ 所以，三元一次方程组的解为       1 2 3 z y x 解三元一次方程组的基本思路是：通过 “代入”或“加减”进行消元，把“三 元”转化为“二元”，使解三元一次方 程组转化为解二元一次方程组，进而再 转化为解一元一次方程。 解方程组：       . , , 1023 732 6 zyx zyx zyx ① ② ③  下面是小明同学解这个方程组的一部分过程：    ①+②，得 3x+2z=13. ④    ①+③，得 4x+3y=16. ⑤    解由④、⑤联立的方程组   师：小明的解法存在什么问题？      1634 1323 yx zx ①+②消去的是y,①+③消去的是z,两次消元消去的 不是同一个未知数,最后得到由④、⑤联立的方程 组仍然是三元一次方程组。           + =7 1 2 + =6 =7. ① ② ③ , （ ） , - x y y z x z 解下列三元一次方程组： 巩固练习           2 + +2 =7 +2 +2 = 6. 2 +2 + =4 2 ① ② ③ , ,（ ） - x y x y z z x y z           + =7 1 2 + =6 =7. ① ② ③ , （ ） , - x y y z x z 解：①-③ ， 得 y +z =0 . ④ ④×2 -②， 得 z= - 6 . 所以原方程组的解为       = 1 = 6 = 6. , , - x y z 把 z = -6代入②式， 得y = 6 . 把 y = 6代入①式， 得x = 1. 练习           2 + +2 =7 +2 +2 = 6. 2 +2 + =4 2 ① ② ③ , ,（ ） - x y x y z z x y z 解：①-②， 得 y -z =-3 . ①-③×2， 得 -2y-3z = 16 .      = 3 2 3 =16. ,- - - - y z y z由此得到 把 y = -5，z = -2 代入③式， 得x = 8 . 解这个二元一次方程组得      = 5 = 2. ,- - y z 所以原方程组的解为       =8 = 5 = 2. , ,- - x y z 2 3 3 3 2 1 5 x y z x y z x y z             1.解方程组： （1）若先消去x,得到的含y，z的二元一次方程组是______． （2）若先消去y,得到的含x，z的二元一次方程组是______． （3）若先消去z,得到的含x，y的二元一次方程组是_______． 2. 选择一种你认为简便的消元方法求解上题的程组．      1652 73 zy zy③×2-①， ③×3-②,得 ②×2-①×3， ③×3-②,得      1652 11135 zy zy ①+②， ①+③,得 ①+②， ②-③,得     843 25 zx zx      632 25 zx zx ①×2+②×3， ③×3-①, 得 ①×2+②×3， ②+③×2, 得     124 313 yx yx      935 313 yx yx       2 3 0 z y x ① ② ③ 师:本节课主要学习了哪些内容?有什么收获? 教师总结: 本节课主要学习了三元一次方程的概念，以及 用加减消元和代入消元法解简单的三元一次方程组. 体现了化“复杂”为“简单”、化“未知”为“已知” 的消元化归思想,并且两次消元只有消去同一个未知 数才能达到化“三元”为“二元”的目的.求出方程 组的解之后,还必须代入原方程组进行口头检验,保证 解的正确性. 谢 谢