9.9 曲线与方程
一、填空题
1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 表示的是________.
解析 (x-y)2+(xy-1)2=0⇔
x-y=0,
xy-1=0,
∴
x=1,
y=1
或
x=-1,
y=-1.
故此方程表示两个点.
答案 两个点
2.方程|y|-1= 1- x-1 2表示的曲线是________.
解析 原方程等价于
|y|-1≥0
1-x-12≥0
|y|-12=1-x-12
⇔ |y|-1≥0
x-12+|y|-12=1
⇔ y≥1
x-12+y-12=1
或 y≤-1
x-12+y+12=1
答案 两个半圆
3. 动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程
为_______.
解析 考查抛物线定义及标准方程,知 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,
所以其方程为 2 8y x .
答案 2 8y x
4.设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,若PM→=λMQ→(其
中λ为正常数),则点 M 的轨迹为________.
解析 设 M(x,y),P(x0,y0),则 Q(x0,0),
由PM→ =λMQ→ 得 x-x0=λx0-x,
y-y0=-λy
(λ>0),
∴ x0=x,
y0=λ+1y.
由于 x20+y20=1,∴x2+(λ+1)2y2=1,∴M 的轨迹为椭圆.
答案 椭圆
5.设 P 为双曲线 2 2 14
x y 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M
的轨迹方程是 .
解析 设 M(x,y),则 P(2x,2y)代入双曲线方程即得 .
答案 2 24 1x y
6.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把
纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点
P 的轨迹是________.
解析 由条件知 PM=PF.
∴PO+PF=PO+PM=OM=R>OF.
∴P 点的轨迹是以 O、F 为焦点的椭圆.
答案 椭圆
7.若△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则
顶点 C 的轨迹方程是________.
解析 如图 AD=AE=8,BF=BE=2,CD=CF,所以 CA-CB=8-2=6.
根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方
程为x2
9
-y2
16
=1(x>3).
答案 x2
9-y2
16=1(x>3)
8.对于曲线 C: x2
4-k
+ y2
k-1
=1,给出下面四个命题:
①曲线 C 不可能表示椭圆;
②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆;
③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4;
④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k<5
2
.
其中所有正确命题的序号为________.
解析 根据椭圆和双曲线的定义,可得当
4-k>0,
k-1>0,
4-k≠k-1,
即
k1,
k≠5
2
时,表
示椭圆;当 k4 时,表示双曲线.
答案 ③④
9.在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B
-a
2
,0
,C
a
2
,0
(a>0),且满足条
件 sin C-sin B=1
2
sin A,则动点 A 的轨迹方程是________.
解析 由正弦定理得AB
2R
-AC
2R
=1
2
×BC
2R
,
∴AB-AC=1
2
BC,由双曲线的定义知动点 A 的轨迹为双曲线右支.
答案 16x2
a2 -16y2
3a2 =1(x>0 且 y≠0)
10.已知 P 是椭圆x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O
为坐标原点,OQ→=PF1
→+PF2
→,则动点 Q 的轨迹方程是______________.
解析 由OQ→=PF1
→+PF2
→,
又PF1
→+PF2
→=PM→=2PO→=-2OP→,
设 Q(x,y),则OP→=-1
2
OQ→=-1
2
(x,y)=
-x
2
,-y
2 ,
即 P 点坐标为
-x
2
,-y
2 ,又 P 在椭圆上,
则有
-x
2 2
a2 +
-y
2 2
b2 =1,即 x2
4a2+ y2
4b2=1(a>b>0).
答案 x2
4a2+ y2
4b2=1(a>b>0)
11.已知两条直线 l1:2x-3y+2=0 和 l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半
径都动)与 l1、l2 都相交,且 l1、l2 被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,则圆心
的轨迹方程是____________.
解析 设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,点 M 到直线 l1,l2 的距离分别为 d1
和 d2.
由弦心距、半径、半弦长间的关系得,
2 r2-d21=26,
2 r2-d22=24,
即
r2-d21=169,
r2-d22=144,
消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d22-d21=25,
即 3x-2y+3 2
13 - 2x-3y+2 2
13 =25.
化简得(x+1)2-y2=65.
此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程.
答案 (x+1)2-y2=65
12.直线x
a
+ y
2-a
=1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是______.
解析 (参数法)设直线x
a
+ y
2-a
=1 与 x、y 轴交点为 A(a,0)、B(0,2-a),A、B
中点为 M(x,y),则 x=a
2
,y=1-a
2
,消去 a,得 x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,
x≠1.
答案 x+y=1(x≠0,x≠1)
13.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一
条直线的平面内的轨迹是________.
解析 在边长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,DC 与 A1D1 是两条相互垂直的异面直
线,平面 ABCD 过直线 DC 且平行于 A1D1,以 D 为原点,分别以 DA、DC 为 x 轴、y
轴建立平面直角坐标系,设点 P(x,y)在平面 ABCD 内且到 A1D1 与 DC 之间的距离
相等,∴|x|= y2+a2,
∴x2-y2=a2,故该轨迹为双曲线.
答案 双曲线
二、解答题
14.求过直线 x-2y+4=0 和圆 2 2 2 4x y x y 1=0 的交点,且满足下列条件之一
的圆的方程:
(1)过原点;
(2)有最小面积.
解析 设所求圆的方程是 2 2 2 4 1x y x y ( 2x y +4)=0,
即 2 2 (2 ) 2(2 ) 1 4 0x y x y .
(1)因为圆过原点,所以1 4 0 即 1
4 .
故所求圆的方程为 2 2 7 7 04 2x y x y .
(2)将圆系方程化为标准式,有:
2 2 22 5 2 4( ) ( 2 ) ( )2 4 5 5x y .
当其半径最小时,圆的面积最小,此时 2
5 为所求.
故满足条件的圆的方程是 2 284 4( ) ( )5 5 5x y .
点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也
可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小;也可用几何意义,即直线与相
交弦为直径时圆面积最小.
15.如图,椭圆 C:x2
16+y2
4=1 的右顶点是 A,上、下两个顶点分别为 B、D,四
边形 OAMB 是矩形(O 为坐标原点),点 E、P 分别是线段 OA、AM 的中点.
(1)求证:直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上;
(2)过点 B 的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于点 R、S(不同于点 B),且它们的斜率
k1,k2 满足 k1k2=-1
4
,求证:直线 RS 过定点,并求出此定点的坐标.
解析 (1)由题意,得 A(4,0),B(0,2),D(0,-2),E(2,0),P(4,1).
所以直线 DE 的方程为 y=x-2,直线 BP 的方程为 y=-1
4
x+2.
解方程组
y=x-2,
y=-1
4
x+2, 得
x=16
5
,
y=6
5
.
所以直线 DE 与直线 BP 的交点坐标为
16
5
,6
5 .
因为
16
5 2
16 +
6
5 2
4 =1,
所以点
16
5
,6
5 在椭圆x2
16
+y2
4
=1 上.
即直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上.
(2)设直线 BR 的方程为 y=k1x+2.
解方程组
y=k1x+2,
x2
16
+y2
4
=1,
得
x=0,
y=2
或
x=- 16k1
1+4k2
1
,
y=2-8k2
1
1+4k2
1
,
所以点 R 的坐标为
- 16
1+4k2
1
,2-8k2
1
1+4k2
1 .
因为 k1k2=-1
4
,所以直线 BS 的斜率 k2=- 1
4k1
.
直线 BS 的方程为 y=- 1
4k1
x+2.
解方程组
y=- 1
4k1
x+2,
x2
16
+y2
4
=1,
得
x=0,
y=2
或
x= 16k1
1+4k2
1
,
y=8k2
1-2
1+4k2
1
.
所以点 S 的坐标为
16k1
1+4k2
1
,8k2
1-2
1+4k2
1 .
所以点 R,S 关于坐标原点 O 对称.
故 R,O,S 三点共线,即直线 RS 过定点 O.
16.已知圆 O:x2+y2=2 交 x 轴于 A、B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为
2
2
的椭圆,其左焦点为 F.若点 P 是圆 O 上的一点,连接 PF,过原点 O 作直线 PF
的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q.
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切;
(3)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与点 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保
持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.
解析 (1)因为 a= 2,e= 2
2
,所以 c=1.
则 b=1,即椭圆 C 的标准方程为x2
2
+y2=1.
(2)因为 P(1,1),所以 kPF=1
2
,所以 kOQ=-2,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x.
又椭圆的左准线方程为 x=-2,所以点 Q(-2,4).
所以 kPQ=-1.又 kOP=1,所以 kOP·kPQ=-1,即 OP⊥PQ,故直线 PQ 与圆 O 相切.
(3)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切.
证明如下:
设 P(x0,y0)(x0≠0,±1),则 y2
0=2-x2
0,所以 kPF= y0
x0+1
,kOQ=-x0+1
y0
.
所以直线 OQ 的方程为 y=-x0+1
y0
x.
所以点 Q
-2,2x0+2
y0 .
所以 kPQ=
y0-2x0+2
y0
x0+2
=y2
0- 2x0+2
x0+2 y0
= -x2
0-2x0
x0+2 y0
=-x0
y0
,又 kOP=y0
x0
,
所以 kOP·kPQ=-1,即 OP⊥PQ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切.
17.如图,在直角坐标系中,A、B、C 三点在 x 轴上,原点 O 和点 B 分别是线段
AB 和 AC 的中点,已知 AO=m(m 为常数),平面的点 P 满足 PA+PB=6m.
(1)试求点 P 的轨迹 C1 的方程;
(2)若点(x,y)在曲线 C1 上,求证:点
x
3
, y
2 2 一定在某圆 C2 上;
(3)过点 C 作直线 l 与圆 C2 相交于 M、N 两点,若点 N 恰好是线段 CM 的中点,试
求直线 l 的方程.
解析 (1)由题意可得点 P 的轨迹 C1 是以 A、B 为焦点的椭圆,
且半焦距长 c=m,长半轴长 a=3m,则 C1 的方程为 x2
9m2+ y2
8m2=1.
(2)若点(x,y)在曲线 C1 上,则 x2
9m2+ y2
8m2=1.设x
3
=x0, y
2 2
=y0,
则 x=3x0,y=2 2y0.
代入 x2
9m2+ y2
8m2=1,得 x2
0+y2
0=m2,
所以点
x
3
, y
2 2 一定在某一圆 C2 上.
(3)由题意,得 C(3m,0).
设 M(x1,y1),则 x2
1+y2
1=m2.①
因为点 N 恰好是线段 CM 的中点,所以 N
x1+3m
2
,y1
2 .
代入 C2 的方程得
x1+3m
2 2+
y1
2 2=m2.②
联立①②,解得 x1=-m,y1=0.
故直线 l 有且只有一条,方程为 y=0.
18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A(-4,0),B(4,0),动点 P 与点 A、B
连线的斜率之积为-1
4
.
(1)求点 P 的轨迹方程;
(2)设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C,半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的
垂直平分线上,且在 y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得的弦长为 3r.
①求圆 M 的方程;
②当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定直线 l
的方程;如果不存在,请说明理由.
解析 (1)设 P(x,y),则直线 PA、PB 的斜率分别为
k1= y
x+4
,k2= y
x-4
.
由题意,知 y
x+4
· y
x-4
=-1
4
,即x2
16
+y2
4
=1(x≠±4).
所以动点 P 的轨迹方程是x2
16
+y2
4
=1(x≠±4).
(2)①由题意,得 C(0,-2),A(-4,0),
所以线段 AC 的垂直平分线方程为 y=2x+3.
设 M(a,2a+3)(a>0),则⊙M 的方程为(x-a)2+(y-2a-3)2=r2.
圆心 M 到 y 轴的距离 d=a,由 r2=d2+
3r
2 2,得 a=r
2
.
所以⊙M 的方程为
x-r
2 2+(y-r-3)2=r2.
②假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切.
当定直线的斜率不存在时,不合题意.
设直线 l∶y=kx+b,
则
|k×r
2
-r-3+b|
1+k2 =r 对任意 r>0 恒成立.
由| k
2
-1
r+ b-3 |=r 1+k2,
得
k
2
-1 2r2+(k-2)(b-3)r+(b-3)2=(1+k2)r2.
所以
k
2
-1 2=1+k2,
k-2 b-3 =0,
b-3 2=0.
解得
k=0,
b=3
或
k=-4
3
,
b=3.
所以存在两条直线 y=3 和 4x+3y-9=0 与动圆 M 均相切.