高中数学曲线与方程
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高中数学曲线与方程

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时间:2021-07-05

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资料简介
9.9 曲线与方程 一、填空题 1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 表示的是________. 解析 (x-y)2+(xy-1)2=0⇔ x-y=0, xy-1=0, ∴ x=1, y=1 或 x=-1, y=-1. 故此方程表示两个点. 答案 两个点 2.方程|y|-1= 1- x-1 2表示的曲线是________. 解析 原方程等价于 |y|-1≥0 1-x-12≥0 |y|-12=1-x-12 ⇔ |y|-1≥0 x-12+|y|-12=1 ⇔ y≥1 x-12+y-12=1 或 y≤-1 x-12+y+12=1 答案 两个半圆 3. 动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程 为_______. 解析 考查抛物线定义及标准方程,知 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点的抛物线,p=2, 所以其方程为 2 8y x . 答案 2 8y x 4.设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,若PM→=λMQ→(其 中λ为正常数),则点 M 的轨迹为________. 解析 设 M(x,y),P(x0,y0),则 Q(x0,0), 由PM→ =λMQ→ 得 x-x0=λx0-x, y-y0=-λy (λ>0), ∴ x0=x, y0=λ+1y. 由于 x20+y20=1,∴x2+(λ+1)2y2=1,∴M 的轨迹为椭圆. 答案 椭圆 5.设 P 为双曲线 2 2 14 x y  上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨迹方程是 . 解析 设 M(x,y),则 P(2x,2y)代入双曲线方程即得 . 答案 2 24 1x y  6.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把 纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是________. 解析 由条件知 PM=PF. ∴PO+PF=PO+PM=OM=R>OF. ∴P 点的轨迹是以 O、F 为焦点的椭圆. 答案 椭圆 7.若△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则 顶点 C 的轨迹方程是________. 解析 如图 AD=AE=8,BF=BE=2,CD=CF,所以 CA-CB=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方 程为x2 9 -y2 16 =1(x>3). 答案 x2 9-y2 16=1(x>3) 8.对于曲线 C: x2 4-k + y2 k-1 =1,给出下面四个命题: ①曲线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k<5 2 . 其中所有正确命题的序号为________. 解析 根据椭圆和双曲线的定义,可得当 4-k>0, k-1>0, 4-k≠k-1, 即 k1, k≠5 2 时,表 示椭圆;当 k4 时,表示双曲线. 答案 ③④ 9.在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B -a 2 ,0 ,C a 2 ,0 (a>0),且满足条 件 sin C-sin B=1 2 sin A,则动点 A 的轨迹方程是________. 解析 由正弦定理得AB 2R -AC 2R =1 2 ×BC 2R , ∴AB-AC=1 2 BC,由双曲线的定义知动点 A 的轨迹为双曲线右支. 答案 16x2 a2 -16y2 3a2 =1(x>0 且 y≠0) 10.已知 P 是椭圆x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,OQ→=PF1 →+PF2 →,则动点 Q 的轨迹方程是______________. 解析 由OQ→=PF1 →+PF2 →, 又PF1 →+PF2 →=PM→=2PO→=-2OP→, 设 Q(x,y),则OP→=-1 2 OQ→=-1 2 (x,y)= -x 2 ,-y 2 , 即 P 点坐标为 -x 2 ,-y 2 ,又 P 在椭圆上, 则有 -x 2 2 a2 + -y 2 2 b2 =1,即 x2 4a2+ y2 4b2=1(a>b>0). 答案 x2 4a2+ y2 4b2=1(a>b>0) 11.已知两条直线 l1:2x-3y+2=0 和 l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半 径都动)与 l1、l2 都相交,且 l1、l2 被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,则圆心 的轨迹方程是____________. 解析 设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,点 M 到直线 l1,l2 的距离分别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得, 2 r2-d21=26, 2 r2-d22=24, 即 r2-d21=169, r2-d22=144, 消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d22-d21=25, 即 3x-2y+3 2 13 - 2x-3y+2 2 13 =25. 化简得(x+1)2-y2=65. 此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程. 答案 (x+1)2-y2=65 12.直线x a + y 2-a =1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是______. 解析 (参数法)设直线x a + y 2-a =1 与 x、y 轴交点为 A(a,0)、B(0,2-a),A、B 中点为 M(x,y),则 x=a 2 ,y=1-a 2 ,消去 a,得 x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0, x≠1. 答案 x+y=1(x≠0,x≠1) 13.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一 条直线的平面内的轨迹是________. 解析 在边长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,DC 与 A1D1 是两条相互垂直的异面直 线,平面 ABCD 过直线 DC 且平行于 A1D1,以 D 为原点,分别以 DA、DC 为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设点 P(x,y)在平面 ABCD 内且到 A1D1 与 DC 之间的距离 相等,∴|x|= y2+a2, ∴x2-y2=a2,故该轨迹为双曲线. 答案 双曲线 二、解答题 14.求过直线 x-2y+4=0 和圆 2 2 2 4x y x y    1=0 的交点,且满足下列条件之一 的圆的方程: (1)过原点; (2)有最小面积. 解析 设所求圆的方程是 2 2 2 4 1x y x y     ( 2x y  +4)=0, 即 2 2 (2 ) 2(2 ) 1 4 0x y x y          . (1)因为圆过原点,所以1 4 0   即 1 4   . 故所求圆的方程为 2 2 7 7 04 2x y x y    . (2)将圆系方程化为标准式,有: 2 2 22 5 2 4( ) ( 2 ) ( )2 4 5 5x y         . 当其半径最小时,圆的面积最小,此时 2 5   为所求. 故满足条件的圆的方程是 2 284 4( ) ( )5 5 5x y    . 点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也 可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小;也可用几何意义,即直线与相 交弦为直径时圆面积最小. 15.如图,椭圆 C:x2 16+y2 4=1 的右顶点是 A,上、下两个顶点分别为 B、D,四 边形 OAMB 是矩形(O 为坐标原点),点 E、P 分别是线段 OA、AM 的中点. (1)求证:直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上; (2)过点 B 的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于点 R、S(不同于点 B),且它们的斜率 k1,k2 满足 k1k2=-1 4 ,求证:直线 RS 过定点,并求出此定点的坐标. 解析 (1)由题意,得 A(4,0),B(0,2),D(0,-2),E(2,0),P(4,1). 所以直线 DE 的方程为 y=x-2,直线 BP 的方程为 y=-1 4 x+2. 解方程组 y=x-2, y=-1 4 x+2, 得 x=16 5 , y=6 5 . 所以直线 DE 与直线 BP 的交点坐标为 16 5 ,6 5 . 因为 16 5 2 16 + 6 5 2 4 =1, 所以点 16 5 ,6 5 在椭圆x2 16 +y2 4 =1 上. 即直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上. (2)设直线 BR 的方程为 y=k1x+2. 解方程组 y=k1x+2, x2 16 +y2 4 =1, 得 x=0, y=2 或 x=- 16k1 1+4k2 1 , y=2-8k2 1 1+4k2 1 , 所以点 R 的坐标为 - 16 1+4k2 1 ,2-8k2 1 1+4k2 1 . 因为 k1k2=-1 4 ,所以直线 BS 的斜率 k2=- 1 4k1 . 直线 BS 的方程为 y=- 1 4k1 x+2. 解方程组 y=- 1 4k1 x+2, x2 16 +y2 4 =1, 得 x=0, y=2 或 x= 16k1 1+4k2 1 , y=8k2 1-2 1+4k2 1 . 所以点 S 的坐标为 16k1 1+4k2 1 ,8k2 1-2 1+4k2 1 . 所以点 R,S 关于坐标原点 O 对称. 故 R,O,S 三点共线,即直线 RS 过定点 O. 16.已知圆 O:x2+y2=2 交 x 轴于 A、B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为 2 2 的椭圆,其左焦点为 F.若点 P 是圆 O 上的一点,连接 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (3)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与点 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保 持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由. 解析 (1)因为 a= 2,e= 2 2 ,所以 c=1. 则 b=1,即椭圆 C 的标准方程为x2 2 +y2=1. (2)因为 P(1,1),所以 kPF=1 2 ,所以 kOQ=-2,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x. 又椭圆的左准线方程为 x=-2,所以点 Q(-2,4). 所以 kPQ=-1.又 kOP=1,所以 kOP·kPQ=-1,即 OP⊥PQ,故直线 PQ 与圆 O 相切. (3)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切. 证明如下: 设 P(x0,y0)(x0≠0,±1),则 y2 0=2-x2 0,所以 kPF= y0 x0+1 ,kOQ=-x0+1 y0 . 所以直线 OQ 的方程为 y=-x0+1 y0 x. 所以点 Q -2,2x0+2 y0 . 所以 kPQ= y0-2x0+2 y0 x0+2 =y2 0- 2x0+2 x0+2 y0 = -x2 0-2x0 x0+2 y0 =-x0 y0 ,又 kOP=y0 x0 , 所以 kOP·kPQ=-1,即 OP⊥PQ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切. 17.如图,在直角坐标系中,A、B、C 三点在 x 轴上,原点 O 和点 B 分别是线段 AB 和 AC 的中点,已知 AO=m(m 为常数),平面的点 P 满足 PA+PB=6m. (1)试求点 P 的轨迹 C1 的方程; (2)若点(x,y)在曲线 C1 上,求证:点 x 3 , y 2 2 一定在某圆 C2 上; (3)过点 C 作直线 l 与圆 C2 相交于 M、N 两点,若点 N 恰好是线段 CM 的中点,试 求直线 l 的方程. 解析 (1)由题意可得点 P 的轨迹 C1 是以 A、B 为焦点的椭圆, 且半焦距长 c=m,长半轴长 a=3m,则 C1 的方程为 x2 9m2+ y2 8m2=1. (2)若点(x,y)在曲线 C1 上,则 x2 9m2+ y2 8m2=1.设x 3 =x0, y 2 2 =y0, 则 x=3x0,y=2 2y0. 代入 x2 9m2+ y2 8m2=1,得 x2 0+y2 0=m2, 所以点 x 3 , y 2 2 一定在某一圆 C2 上. (3)由题意,得 C(3m,0). 设 M(x1,y1),则 x2 1+y2 1=m2.① 因为点 N 恰好是线段 CM 的中点,所以 N x1+3m 2 ,y1 2 . 代入 C2 的方程得 x1+3m 2 2+ y1 2 2=m2.② 联立①②,解得 x1=-m,y1=0. 故直线 l 有且只有一条,方程为 y=0. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A(-4,0),B(4,0),动点 P 与点 A、B 连线的斜率之积为-1 4 . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C,半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的 垂直平分线上,且在 y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得的弦长为 3r. ①求圆 M 的方程; ②当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由. 解析 (1)设 P(x,y),则直线 PA、PB 的斜率分别为 k1= y x+4 ,k2= y x-4 . 由题意,知 y x+4 · y x-4 =-1 4 ,即x2 16 +y2 4 =1(x≠±4). 所以动点 P 的轨迹方程是x2 16 +y2 4 =1(x≠±4). (2)①由题意,得 C(0,-2),A(-4,0), 所以线段 AC 的垂直平分线方程为 y=2x+3. 设 M(a,2a+3)(a>0),则⊙M 的方程为(x-a)2+(y-2a-3)2=r2. 圆心 M 到 y 轴的距离 d=a,由 r2=d2+ 3r 2 2,得 a=r 2 . 所以⊙M 的方程为 x-r 2 2+(y-r-3)2=r2. ②假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切. 当定直线的斜率不存在时,不合题意. 设直线 l∶y=kx+b, 则 |k×r 2 -r-3+b| 1+k2 =r 对任意 r>0 恒成立. 由| k 2 -1 r+ b-3 |=r 1+k2, 得 k 2 -1 2r2+(k-2)(b-3)r+(b-3)2=(1+k2)r2. 所以 k 2 -1 2=1+k2, k-2 b-3 =0, b-3 2=0. 解得 k=0, b=3 或 k=-4 3 , b=3. 所以存在两条直线 y=3 和 4x+3y-9=0 与动圆 M 均相切.

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