高二数学直线方程1教案
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高二数学直线方程1教案

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时间:2021-07-05

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资料简介
11.1 (1)直线方程 上海市控江中学 朱敏慧 一、教学内容分析 本节的重点是直线的方程的概念、直线的点方向式方程.用向量 方法推导直线方程是二期课改的亮点之一,体现了从几何角度出发, 除两点确定一条直线外,确定直线需要两个独立的条件:点和方向. 利用给定的条件,通过向量平行的充要条件(对应坐标的关系式)推 导出直线的点方向式方程. 本节的难点是理解直线方程的定义.通过推导直线的点方向式方程,从中体会向量知 识的应用和坐标法的含义.通过对直线与二元一次方程关系的分析,初步认识曲线与 方程的关系并体会解析几何的基本思想!从而培养学生用坐标法对平面直线(和以后 的圆锥曲线)的研究能力. 二、教学目标设计 理解直线方程的意义,掌握直线的点方向式方程;加强分类讨论、数形结合等数学思想和探 究能力的培养;体验探究新事物的过程,树立学好数学的信心. 三、教学重点及难点 直线的方程的概念、直线的点方向式方程;理解直线方程以及点方向 式方程的推导. 四、教学流程设计 解几发展史引 直线方程的定 点 方 向 式 运用与深化(例题解析、巩固练习) 课堂小结并布置作业 五、教学过程设计 一、解析几何发展史 解析几何的主要思想:用坐标表示点,用方程表示曲线,把几何图形代数化,并能够 参与代数运算. 二、讲授新课 (一)直线方程 定义:对于坐标平面内的一条直线 l ,如果存在一个方程 ( , ) 0f x y  ,满足(1)直线l 上的点的坐标( , )x y 都满足方程 ( , ) 0f x y  ; (2)以方程 ( , ) 0f x y  的解( , )x y 为坐标的点都在直线l 上.那么我们把 方程 ( , ) 0f x y  叫做直线l 的方程. 从上述定义可见,满足(1)、(2),直线l 上的点的集合与方程 ( , ) 0f x y  的解的集合就建立了对应关系,点与其坐标之间的一一对应 关系. (二)点方向式方程 1、概念引入 在几何上,要确定一条直线需要一些条件,如两个不重合的点(不 重合的两点确定一条直线),又如一个点和一个平行方向(原因是过 已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条)等等.我们将这些条 件用代数形式描述出来,从而建立方程.若此方程满足直线方程定义 中的(1)、(2),就找到了直线的方程. 2、概念形成  直线的点方向式方程的定义 在平面上过一已知点 P ,且与某一方向平行的直线l 是惟一确定 的,我们在直角坐标平面中求该直线的方程.  直线的点方向式方程的推导 建立平面直角坐标系,设 P 的坐标是 0 0( , )x y ,方向用非零向量 ( , )d u v 表示. 设直线l 上任意一点Q 的坐标为( , )x y ,由直线平行于非零向量 d  , 故 //PQ d   .根据 //PQ d   的充要条件,得 0 0( ) ( )v x x u y y   ①;反之,若 1 1( , )x y 为方程①的任意一解,即 1 0 1 0( ) ( )v x x u y y   ,记 1 1( , )x y 为坐标的 点为 1Q ,可知 1 //PQ d   ,即 1Q 在直线l 上.综上,根据直线方程的定义知, 方程①是直线l 的方程. 当 0 0u v 且 时,方程①可化为 0 0x x y y u v   ②.值得注意的是: 方程②不能表示过 0 0( , )P x y 且与坐标轴垂直的直线.事实上当 0u  时 0v  ,方程①可化为 0 0x x  ③,表示过 0 0( , )P x y 且与 x 轴垂直的直线; 当 0v  时 0u  ,方程①可化为 0 0y y  ④,表示过 0 0( , )P x y 且与 y 轴垂 直的直线. 我们把方程 0 0x x y y u v   叫做直线l 的点方向式方程,非零向量 d  叫做直线l 的方向向量. 3、概念深化 从上面的推导看,方向向量d  是不唯一的,与直线平行的非零向 量都可以作为方向向量. 由点方向式易得,过不同的两点 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )P x y P x y 的直线的方程是 0))(())(( 112112  yyxxxxyy . 4、例题解析 例 1 观察下列直线方程,并指出各直线必过的点和它的一个方向向 量. ① 4 5 3 3  yx ; ②    6744  yx ; ③ 1x ; ④ 2y . 解 ①经过点 5,3  ,它的一个方向向量是  4,3  d ; ②化简得到: 4 6 7 4   yx ,从中可见该直线经过点 6,4 ,一个方 向向量是  4,7   d ; ③经过点 0,1 ,它的一个方向向量是  1,0  d ; ④经过点 2,1  ,它的一个方向向量是  1,0d   . [说明]通过直线的点方向式方程,可以判断一条直线经过的一个点和 它的方向向量. 例 2 已知点    1364  ,,, BA 和  54 ,C ,求经过点 A 且与 BC 平行的直 线l 的点方向式方程? 解:  4,7   BC , 所以过点 A 且与 BC 平行的直线l 的点方向式方程是 4 6 7 4   yx . 变式 1 求经过点 B 、C 两点的直线l 的点方向式方程. 解:  4,7   BC , 4 1 7 3   yx . 思考:有没有别的表达方式? 4 5 7 4   yx 是否一样呢 ? 不妨化简,得到的都是: 01974  yx 变式 2 在 ABC 中,求平行于 BC 边的中位线 MN 所在直线的点方向 方程. 解 AB 的中点为      2 5,2 1M , AC 的中点为      2 1,4N ,则        2,2 7MN , 所以 MN 所在直线的点方向方程是 2 2 5 2 7 2 1     yx . [说明]这些题目的解法关键在于找点和方向向量! 三、巩固练习 练习 11.1(1) 四、课堂小结 1.直线方程的定义 2.直线的点方向式方程的推导. 3、用向量方法推导直线方程的主要思想 4、确定直线方程的几个要素 五、课后作业 习题 11.1 A 组 1,2,3,4 ;B 组 1,2 六、教学设计说明 直线这一章节的核心思想是:通过坐标把几何问题表示成代数问 题,然后通过方程来研究直线!直线是解析几何中最基本而内涵丰富, 应用广泛的内容之一,同时也是应用解析法解决平面几何问题的基 础,涉及角,距离的计算和平行垂直的判断,不但是重要的知识点, 更是进一步学习圆锥曲线的基本工具. 在新教材中,用向量方法推导直线方程体现了从几何角度分析,确定直线需要两个独 立的条件(位置和方向),利用给定的条件,通过向量平行的充要条件(对应坐标的 关系式)推导出直线的点方向式方程.我们用向量工具推导直线方程,不仅形式十分 简洁明了,而且能充分认识字母系数的含义,这对以后学习直线的一般式以及位置关 系有十分重要的意义! 对于学生而言,初中时已学过一次函数、正比例函数,这两种函 数的图像都是直线.而这节课进一步讲明白直线与方程之间需满足怎 样的关系才能够称为直线方程!所以这节课的重点为:直线方程的意 义、直线的点方向式方程.难点为:直线方程的定义. 对于点方向式的推导,我采取引导学生推导的策略,在讲解点方 向式方程时,就完全由学生类比向量平行的充要条件,让学生自己探 究,自己感悟,感受成功的喜悦!在讲直线与方程关系的时候,先举 一个简单的例子 xy  ,并借助于图像来说明直线与方程的关系,从而 由特殊到一般,理解直线方程的定义! 本节课通过建立直线的方程,从中体会向量知识的应用和坐标法 的含义.初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想!从 而培养学生会用坐标法对平面直线(和以后的圆锥曲线)进行研究的 能力.创造适合学生的教学,坚持 “教”为“学”服务!

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