11.1 (1)直线方程
上海市控江中学 朱敏慧
一、教学内容分析
本节的重点是直线的方程的概念、直线的点方向式方程.用向量
方法推导直线方程是二期课改的亮点之一,体现了从几何角度出发,
除两点确定一条直线外,确定直线需要两个独立的条件:点和方向.
利用给定的条件,通过向量平行的充要条件(对应坐标的关系式)推
导出直线的点方向式方程.
本节的难点是理解直线方程的定义.通过推导直线的点方向式方程,从中体会向量知
识的应用和坐标法的含义.通过对直线与二元一次方程关系的分析,初步认识曲线与
方程的关系并体会解析几何的基本思想!从而培养学生用坐标法对平面直线(和以后
的圆锥曲线)的研究能力.
二、教学目标设计
理解直线方程的意义,掌握直线的点方向式方程;加强分类讨论、数形结合等数学思想和探
究能力的培养;体验探究新事物的过程,树立学好数学的信心.
三、教学重点及难点
直线的方程的概念、直线的点方向式方程;理解直线方程以及点方向
式方程的推导.
四、教学流程设计
解几发展史引
直线方程的定
点 方 向 式
运用与深化(例题解析、巩固练习)
课堂小结并布置作业
五、教学过程设计
一、解析几何发展史
解析几何的主要思想:用坐标表示点,用方程表示曲线,把几何图形代数化,并能够
参与代数运算.
二、讲授新课
(一)直线方程
定义:对于坐标平面内的一条直线 l ,如果存在一个方程
( , ) 0f x y ,满足(1)直线l 上的点的坐标( , )x y 都满足方程 ( , ) 0f x y ;
(2)以方程 ( , ) 0f x y 的解( , )x y 为坐标的点都在直线l 上.那么我们把
方程 ( , ) 0f x y 叫做直线l 的方程.
从上述定义可见,满足(1)、(2),直线l 上的点的集合与方程
( , ) 0f x y 的解的集合就建立了对应关系,点与其坐标之间的一一对应
关系.
(二)点方向式方程
1、概念引入
在几何上,要确定一条直线需要一些条件,如两个不重合的点(不
重合的两点确定一条直线),又如一个点和一个平行方向(原因是过
已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条)等等.我们将这些条
件用代数形式描述出来,从而建立方程.若此方程满足直线方程定义
中的(1)、(2),就找到了直线的方程.
2、概念形成
直线的点方向式方程的定义
在平面上过一已知点 P ,且与某一方向平行的直线l 是惟一确定
的,我们在直角坐标平面中求该直线的方程.
直线的点方向式方程的推导
建立平面直角坐标系,设 P 的坐标是 0 0( , )x y ,方向用非零向量
( , )d u v 表示.
设直线l 上任意一点Q 的坐标为( , )x y ,由直线平行于非零向量 d
,
故 //PQ d
.根据 //PQ d
的充要条件,得 0 0( ) ( )v x x u y y ①;反之,若
1 1( , )x y 为方程①的任意一解,即 1 0 1 0( ) ( )v x x u y y ,记 1 1( , )x y 为坐标的
点为 1Q ,可知 1 //PQ d
,即 1Q 在直线l 上.综上,根据直线方程的定义知,
方程①是直线l 的方程.
当 0 0u v 且 时,方程①可化为 0 0x x y y
u v
②.值得注意的是:
方程②不能表示过 0 0( , )P x y 且与坐标轴垂直的直线.事实上当 0u 时
0v ,方程①可化为 0 0x x ③,表示过 0 0( , )P x y 且与 x 轴垂直的直线;
当 0v 时 0u ,方程①可化为 0 0y y ④,表示过 0 0( , )P x y 且与 y 轴垂
直的直线.
我们把方程 0 0x x y y
u v
叫做直线l 的点方向式方程,非零向量 d
叫做直线l 的方向向量.
3、概念深化
从上面的推导看,方向向量d
是不唯一的,与直线平行的非零向
量都可以作为方向向量.
由点方向式易得,过不同的两点 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )P x y P x y 的直线的方程是
0))(())(( 112112 yyxxxxyy .
4、例题解析
例 1 观察下列直线方程,并指出各直线必过的点和它的一个方向向
量.
①
4
5
3
3 yx ; ② 6744 yx ; ③ 1x ; ④ 2y .
解 ①经过点 5,3 ,它的一个方向向量是 4,3
d ;
②化简得到:
4
6
7
4
yx ,从中可见该直线经过点 6,4 ,一个方
向向量是 4,7
d ;
③经过点 0,1 ,它的一个方向向量是 1,0
d ;
④经过点 2,1 ,它的一个方向向量是 1,0d
.
[说明]通过直线的点方向式方程,可以判断一条直线经过的一个点和
它的方向向量.
例 2 已知点 1364 ,,, BA 和 54 ,C ,求经过点 A 且与 BC 平行的直
线l 的点方向式方程?
解: 4,7
BC ,
所以过点 A 且与 BC 平行的直线l 的点方向式方程是
4
6
7
4
yx .
变式 1 求经过点 B 、C 两点的直线l 的点方向式方程.
解: 4,7
BC ,
4
1
7
3
yx .
思考:有没有别的表达方式?
4
5
7
4
yx
是否一样呢 ? 不妨化简,得到的都是: 01974 yx
变式 2 在 ABC 中,求平行于 BC 边的中位线 MN 所在直线的点方向
方程.
解 AB 的中点为
2
5,2
1M , AC 的中点为
2
1,4N ,则
2,2
7MN ,
所以 MN 所在直线的点方向方程是
2
2
5
2
7
2
1
yx
.
[说明]这些题目的解法关键在于找点和方向向量!
三、巩固练习
练习 11.1(1)
四、课堂小结
1.直线方程的定义
2.直线的点方向式方程的推导.
3、用向量方法推导直线方程的主要思想
4、确定直线方程的几个要素
五、课后作业
习题 11.1 A 组 1,2,3,4 ;B 组 1,2
六、教学设计说明
直线这一章节的核心思想是:通过坐标把几何问题表示成代数问
题,然后通过方程来研究直线!直线是解析几何中最基本而内涵丰富,
应用广泛的内容之一,同时也是应用解析法解决平面几何问题的基
础,涉及角,距离的计算和平行垂直的判断,不但是重要的知识点,
更是进一步学习圆锥曲线的基本工具.
在新教材中,用向量方法推导直线方程体现了从几何角度分析,确定直线需要两个独
立的条件(位置和方向),利用给定的条件,通过向量平行的充要条件(对应坐标的
关系式)推导出直线的点方向式方程.我们用向量工具推导直线方程,不仅形式十分
简洁明了,而且能充分认识字母系数的含义,这对以后学习直线的一般式以及位置关
系有十分重要的意义!
对于学生而言,初中时已学过一次函数、正比例函数,这两种函
数的图像都是直线.而这节课进一步讲明白直线与方程之间需满足怎
样的关系才能够称为直线方程!所以这节课的重点为:直线方程的意
义、直线的点方向式方程.难点为:直线方程的定义.
对于点方向式的推导,我采取引导学生推导的策略,在讲解点方
向式方程时,就完全由学生类比向量平行的充要条件,让学生自己探
究,自己感悟,感受成功的喜悦!在讲直线与方程关系的时候,先举
一个简单的例子 xy ,并借助于图像来说明直线与方程的关系,从而
由特殊到一般,理解直线方程的定义!
本节课通过建立直线的方程,从中体会向量知识的应用和坐标法
的含义.初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想!从
而培养学生会用坐标法对平面直线(和以后的圆锥曲线)进行研究的
能力.创造适合学生的教学,坚持 “教”为“学”服务!