高三数学轨迹方程课件

2010届高考数学复习 强化双基系列课件 77《圆锥曲线 －轨迹方程》 基本知识概要： 一、求轨迹的一般方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的 等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简， 证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意 “挖”与“补”。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如 圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参 数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去 参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图 形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然 而得出动点的轨迹方程。 7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方 程常用待定系数法求 . 8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个 端点设为 并代入圆锥曲线方程， 然而作差求出曲线的轨迹方程。 ),(),,( 2211 yxByxA 二、注意事项： 1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最 后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。 典型例题选讲 一、直接法题型： 例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程 为 ，动点M到圆C的切线长与 的 比等于常数 ，求动点M的轨迹。 122  yx MQ )0(  说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 练习：（待定系数法题型）在 PMN 中， 2tan,2 1tan  MNPPMN ，且 PMN 的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。 二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？ 练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。 三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。 练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。 四、参数法与点差法题型： 例4 经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相 垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC 的中点M轨迹方程。 五、交轨法与几何法题型 例5 抛物线 的顶点作互相垂直的 两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射 影M的轨迹。（考例5） )0(42  ppxy 说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。 六、点差法： 例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C： 2 2 1 xy  上一点，直线 过点P且与抛物线C交于另一点Q。 若直线 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的 轨迹方程。（图见教材P129页例2）。 ll 说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以 及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求 切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问 题。 小结 一、求轨迹的一般方法： 1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法， 5．交轨法，6．几何法，7.待定系数法， 8.点差法。 二、注意事项： 1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。 课 前 热 身 y=0(x≥1) 1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 P点的轨迹方程是______________. 2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP·OQ=1，则点P(x、y) 的轨迹方程是______________________ 3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方 程是______________________. → → → → -2x2+y2=1 y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0) 4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c成等 差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为_____________ _____________________. 5.动点M(x,y)满足 则点M轨迹是 ( ) (A)圆 (B)双曲线 (C)椭圆 (D)抛物线     5 14331 22 -yx-y-x  返回  0011612 22  xyyx ， D 6.当θ∈［0,π/2］时，抛物线y=x2-4xsin θ-cos 2θ的顶 点的轨迹方程是_____________ 7.已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑 动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的 轨迹方程是_________________________  8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为 4，则动椭圆中心的轨迹方程为_________________ X2=-2y-2 14 2 2  yx 4 9 2 1 2 2      y-x 返回 9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0 B 【解题回顾】求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性化 简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要 挖去多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念， 前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程 (包括范围) 1.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A、B两点， P是l 上满足PA·PB=1的点，求点P的轨迹方程→ → 【解题分析】本例中动点M的几何特征并不是直接给定的， 而是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来的 3.一圆被两直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长分别为8和4，求 动圆圆心的轨迹方程 4. 点Q为双曲线x2-4y2=16上任意一点，定点A(0，4)， 求内分AQ所成比为12的点P的轨迹方程 5. M是抛物线y2=x上一动点，以OM为一边(O为原点)， 作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程. 【解题回顾】再次体会相关 点求轨迹方程的实质，就是 用所求动点P的坐标表达式 (即含有x、y的表达式)表示 已知动点M的坐标(x0 , y0)， 即得到x0=f(x,y)，y0=g(x,y)， 再将x0 , y0的表达式代入点M的方程F(x0 ,y0)=0中，即 得所求. 6.过椭圆x2/9+y2/4=1内一定点(1，0)作弦，求诸弦中 点的轨迹方程 【解题回顾】解一求出 后不必求y0，直接 利用点P(x0 , y0)在直线y=k(x-1)上消去k. 解二中把弦的 两端点坐标分别代入曲线方程后相减，则弦的斜率可 用中点坐标来表示，这种方法在解有关弦中点问题时 较为简便，但是要注意这样的弦的存在性 49 9 2 2 0  k kx 【解题回顾】本题由题设OM⊥AB、 OA⊥OB及作差法求直线AB的斜率， 来寻找各参数间关系，利用代换及整体性将参数消去 从而获得M点的轨迹方程. 7. 过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA，OB， 求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程. 返回 【解题回顾】(1)本小题是由条件求出定值，由定值的取值 情况，由定义法求得轨迹方程. (2)本小题先设点的坐标，根据向量的关系，寻找各变量之 间的联系，从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得 λ的范围 1.已知动点P与双曲线x2/2-y2/3=1的两个焦点F1、F2的距离 之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-1/9. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上且DM=λDN , 求实数λ的取值范围. 返回 【解题回顾】本小题充分利用了三角形垂心这一已知 条件由AD⊥BC得A、D坐标相同. 由BH⊥AC建立等 量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。 返回 2.在△ABC中，已知B(-3，0)，C(3，0)，AD⊥BC于D， △ABC的垂心H分有向线段AD所成的比为1/8. (1)求点H的轨迹方程； (2)设P(-1，0)，Q(1，0)那么 能成等差 数列吗?为什么? HQPQHP 111 ，，