高中数学曲线与方程同步练习
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高中数学曲线与方程同步练习

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资料简介
河北饶阳中学 2014 届数学一轮复习试题 第 1 页 共 6 页 [来源:zzstep.com] A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 方程(x2+y2-4) x+y+1=0 的曲线形状是 ( ) 答案 C 解析 由题意可得 x+y+1=0 或 x2+y2-4=0, x+y+1≥0, 它表示直线 x+y+1=0 和圆 x2+y2-4=0 在直线 x+y+1=0 右上方的部分. 2. △ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨 迹方程是 ( ) A.x2 9 -y2 16 =1 B.x2 16 -y2 9 =1 C.x2 9 -y2 16 =1 (x>3) D.x2 16 -y2 9 =1 (x>4) 答案 C 解析 如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双 曲 线的右支,方程为x2 9 -y2 16 =1 (x>3). 3. 动点 P 为椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 (a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点,F1、F2 为椭圆的两个焦 点,动圆 C 与线段 F1P、F1F2 的延长线及线段 PF2 相切,则圆心 C 的轨迹为 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 河北饶阳中学 2014 届数学一轮复习试题 第 2 页 共 6 页 答案 D[来源:中国教育出版网 zzstep.com] 解析 如图所示,设三个切点分别为 M、N、Q. ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|F2N| =2a, ∴|F2N|=a-c,∴N 点是椭圆的右顶点,∴CN⊥x 轴, ∴圆心 C 的轨迹为直线. 4. 平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC→ =λ1OA→ +λ2OB→ (O 为原 点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点 C 的轨迹是 ( ) A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线 答案 A 解析 设 C(x,y),则OC→ =(x,y),OA→ =(3,1),OB→ =(-1,3), ∵OC→ =λ1OA→ +λ2OB→ ,∴ x=3λ1-λ2 y=λ1+3λ2 , 又λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一条直线. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. P 是椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,OQ→ =PF1 → + PF2 → ,则动点 Q 的轨迹方程是______________. 答案 x2 4a2 + y2 4b2 =1 解析 由OQ→ =PF1 → +PF2 → , 又PF1 → +PF2 → =PM→ =2PO→ =-2OP→ , 设 Q(x,y),则OP→ =-1 2OQ→ =-1 2(x,y)= -x 2 ,-y 2 , 即 P 点坐标为 -x 2 ,-y 2 ,又 P 在椭圆上, 则有 -x 2 2 a2 + -y 2 2 b2 =1,即 x2 4a2 + y2 4b2 =1. 6. 已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 ______________.[来源:中.国教.育出.版网] 答案 x2+y2=4 (x≠±2) 解析 设 P(x,y),因为△MPN 为直角三角形, ∴|MP|2+|NP|2=|MN|2, 河北饶阳中学 2014 届数学一轮复习试题 第 3 页 共 6 页 ∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4. ∵M,N,P 不共线,∴x≠±2, ∴轨迹方程为 x2+y2=4 (x≠±2). 7. 过椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 (a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,则线段 MN 中点的轨 迹方程是____________. 答案 x2 a2 +4y2 b2 =1 解析 设 MN 的中点 P(x,y),则点 M(x,2y)在椭圆上, ∴x2 a2 +2y2 b2 =1,即x2 a2 +4y2 b2 =1. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知点 A(1,0),直线 l:y=2x-4,点 R 是直线 l 上的一点,若RA→=AP→,求点 P 的轨迹方程. 解 ∵RA→=AP→,∴R,A,P 三点共线,且 A 为 RP 的中点, 设 P(x,y),R(x1,y1),则由RA→=AP→, 得(1-x1,-y1)=(x-1,y),则 1-x1=x-1 -y1=y , 即 x1=2-x,y1=-y, 将其代入直线 y=2x-4 中,得 y=2x, ∴点 P 的轨迹方程为 y=2x. 9. (12 分)(2011·陕西)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|=4 5|PD|. [来源:中国教育出版网 zzstep.com] (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为4 5 的直线被 C 所截线段的长度. 解 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP), 由已知得 xP=x, yP=5 4y, ∵P 在圆上, ∴x2+(5 4y)2=25,即轨迹 C 的方程为x2 25 +y2 16 =1. (2)过点(3,0)且斜率为4 5 的直线方程为 y=4 5(x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 河北饶阳中学 2014 届数学一轮复习试题 第 4 页 共 6 页 将直线方程 y=4 5(x-3)代入 C 的方程,得 x2 25 +x-32 25 =1,即 x2-3x-8=0. ∴x1=3- 41 2 ,x2=3+ 41 2 . ∴线段 AB 的长度为|AB|= x1-x22+y1-y22 = 1+k2x1-x22= 41 25 ×41=41 5 . B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与圆 C 相切 的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为 ( ) A.x2-y2 8 =1 (x>1) B.x2-y2 8 =1 (x0) D.x2-y2 10 =1 (x>1) 答案 A 解析 设另两个切点为 E、F,如图所示,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|, [来源:中教网] |NF|=|NB|. 从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=21). 2. 有一动圆 P 恒过定点 F(a,0) (a>0)且与 y 轴相交于点 A、B,若△ABP 为正三角形,则点 P 的轨迹为 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 答案 B 解析 设 P(x,y),动圆 P 的半径为 R, 由于△ABP 为正三角形, ∴P 到 y 轴的距离 d= 3 2 R,即|x|= 3 2 R. 而 R=|PF|= x-a2+y2, ∴|x|= 3 2 · x-a2+y2. 河北饶阳中学 2014 届数学一轮复习试题 第 5 页 共 6 页 整理得:(x+3a)2-3y2=12a2,即x+3a2 12a2 - y2 4a2 =1. ∴点 P 的轨迹为双曲线. 3. 点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点作∠F1PF2 外角平分线的垂线,垂足为 M, 则点 M 的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案 A 解析 如图,延长 F2M 交 F1P 延长线于 N. ∵|PF2|=|PN|, ∴|F1N|=2a.[来源:中国教育出版网 zzstep.com] 连接 OM,则在△NF1F2 中,OM 为中位线, 则|OM|=1 2|F1N|=a.∴M 的轨迹是圆. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 设 P 是圆 x2+y2=100 上的动点,点 A(8,0),线段 AP 的垂直平分线交半径 OP 于 M 点, 则点 M 的轨迹为__________. 答案 椭圆 解析 如图,设 M(x,y),由于 l 是 AP 的垂直平分线,于是|AM| =|PM|,又由于 10=|OP|=|OM|+|MP|=|OM|+|MA|,即|OM|+|MA| =10,也就是说,动点 M 到 O(0,0)及 A(8,0 )的距离之和是 10, 故动点 M 的轨迹是以 O(0,0)、A(8,0)为焦点,中心在(4,0),长半轴 长是 5 的椭圆. 5. 已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0,⊙O′的方程是 x2+y2-8x+10=0,若由动点 P 向 ⊙O 和⊙O′所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是________. 答案 x=3 2 解析 设 P(x,y),由圆 O′的方程为(x-4)2+y2=6 及已知|AP|= |BP|,故|OP|2-|AO|2=|O′P|2-|O′B|2, 则|OP|2-2=|O′P|2-6, ∴x2+y2-2=(x-4)2+y2-6. ∴x=3 2 ,故动点 P 的轨迹方程是 x=3 2. 6. 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AB 上, 且 AM=1 3AB,点 P 在平面 ABCD 上,且动点 P 到直线 A1D1 的距离 的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1,在平面直角坐标系 xAy 中, 河北饶阳中学 2014 届数学一轮复习试题 第 6 页 共 6 页 动点 P 的轨迹方程是____________. 答案 y2=2 3x-1 9 解析 过 P 作 PQ⊥AD 于 Q,再过 Q 作 QH⊥A1D1 于 H,连接 PH、PM, 可证 PH⊥A1D1,设 P(x,y), 由|PH|2-|PM|2=1, 得 x2+1- x-1 3 2+y2 =1,[来源:z*zs*tep.com] 化简得 y2=2 3x-1 9. 三、解答题 7. (13 分)如图所示,从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线, 垂足为 N.求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程. 解 设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1),则 N 点的坐标为(2x -x1,2y-y1). ∵点 N 在直线 x+y=2 上, ∴2x-x1+2y-y1=2,① 又∵PQ 垂直于直线 x+y=2. ∴y-y1 x-x1 =1,即 x-y+y1-x1=0,② 由①、②联立,解得 x1=3 2x+1 2y-1, y1=1 2x+3 2y-1. 又 Q 在双曲线 x2-y2=1 上,∴x21-y21=1, 即 3 2x+1 2y-1 2- 1 2x+3 2y-1 2=1, 整理得 2x2-2y2-2x+2y-1=0, 这就是所求动点 P 的轨迹方程.

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