河北饶阳中学 2014 届数学一轮复习试题
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[来源:zzstep.com]
A 组 专项基础训练
(时间:35 分钟,满分:57 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)
1. 方程(x2+y2-4) x+y+1=0 的曲线形状是 ( )
答案 C
解析 由题意可得 x+y+1=0 或 x2+y2-4=0,
x+y+1≥0,
它表示直线 x+y+1=0 和圆 x2+y2-4=0 在直线 x+y+1=0 右上方的部分.
2. △ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨
迹方程是
( )
A.x2
9
-y2
16
=1 B.x2
16
-y2
9
=1
C.x2
9
-y2
16
=1 (x>3) D.x2
16
-y2
9
=1 (x>4)
答案 C
解析 如图,|AD|=|AE|=8,
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=8-2=6.
根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双
曲 线的右支,方程为x2
9
-y2
16
=1 (x>3).
3. 动点 P 为椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 (a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点,F1、F2 为椭圆的两个焦
点,动圆 C 与线段 F1P、F1F2 的延长线及线段 PF2 相切,则圆心 C 的轨迹为
( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.直线
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答案 D[来源:中国教育出版网 zzstep.com]
解析 如图所示,设三个切点分别为 M、N、Q.
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|F2N|
=2a,
∴|F2N|=a-c,∴N 点是椭圆的右顶点,∴CN⊥x 轴,
∴圆心 C 的轨迹为直线.
4. 平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC→ =λ1OA→ +λ2OB→ (O 为原
点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点 C 的轨迹是
( )
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线
答案 A
解析 设 C(x,y),则OC→ =(x,y),OA→ =(3,1),OB→ =(-1,3),
∵OC→ =λ1OA→ +λ2OB→ ,∴ x=3λ1-λ2
y=λ1+3λ2
,
又λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一条直线.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
5. P 是椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,OQ→ =PF1
→ +
PF2
→ ,则动点 Q 的轨迹方程是______________.
答案 x2
4a2
+ y2
4b2
=1
解析 由OQ→ =PF1
→ +PF2
→ ,
又PF1
→ +PF2
→ =PM→ =2PO→ =-2OP→ ,
设 Q(x,y),则OP→ =-1
2OQ→ =-1
2(x,y)= -x
2
,-y
2 ,
即 P 点坐标为 -x
2
,-y
2 ,又 P 在椭圆上,
则有
-x
2 2
a2
+
-y
2 2
b2
=1,即 x2
4a2
+ y2
4b2
=1.
6. 已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是
______________.[来源:中.国教.育出.版网]
答案 x2+y2=4 (x≠±2)
解析 设 P(x,y),因为△MPN 为直角三角形,
∴|MP|2+|NP|2=|MN|2,
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∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4.
∵M,N,P 不共线,∴x≠±2,
∴轨迹方程为 x2+y2=4 (x≠±2).
7. 过椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 (a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,则线段 MN 中点的轨
迹方程是____________.
答案 x2
a2
+4y2
b2
=1
解析 设 MN 的中点 P(x,y),则点 M(x,2y)在椭圆上,
∴x2
a2
+2y2
b2
=1,即x2
a2
+4y2
b2
=1.
三、解答题(共 22 分)
8. (10 分)已知点 A(1,0),直线 l:y=2x-4,点 R 是直线 l 上的一点,若RA→=AP→,求点 P
的轨迹方程.
解 ∵RA→=AP→,∴R,A,P 三点共线,且 A 为 RP 的中点,
设 P(x,y),R(x1,y1),则由RA→=AP→,
得(1-x1,-y1)=(x-1,y),则 1-x1=x-1
-y1=y
,
即 x1=2-x,y1=-y,
将其代入直线 y=2x-4 中,得 y=2x,
∴点 P 的轨迹方程为 y=2x.
9. (12 分)(2011·陕西)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P
在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|=4
5|PD|. [来源:中国教育出版网 zzstep.com]
(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5
的直线被 C 所截线段的长度.
解 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),
由已知得
xP=x,
yP=5
4y, ∵P 在圆上,
∴x2+(5
4y)2=25,即轨迹 C 的方程为x2
25
+y2
16
=1.
(2)过点(3,0)且斜率为4
5
的直线方程为 y=4
5(x-3),
设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
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将直线方程 y=4
5(x-3)代入 C 的方程,得
x2
25
+x-32
25
=1,即 x2-3x-8=0.
∴x1=3- 41
2
,x2=3+ 41
2
.
∴线段 AB 的长度为|AB|= x1-x22+y1-y22
= 1+k2x1-x22= 41
25
×41=41
5 .
B 组 专项能力提升
(时间:25 分钟,满分:43 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)
1. 已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与圆 C 相切
的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为
( )
A.x2-y2
8
=1 (x>1) B.x2-y2
8
=1 (x0) D.x2-y2
10
=1 (x>1)
答案 A
解析 设另两个切点为 E、F,如图所示,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,
[来源:中教网]
|NF|=|NB|.
从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=21).
2. 有一动圆 P 恒过定点 F(a,0) (a>0)且与 y 轴相交于点 A、B,若△ABP 为正三角形,则点
P 的轨迹为 ( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
答案 B
解析 设 P(x,y),动圆 P 的半径为 R,
由于△ABP 为正三角形,
∴P 到 y 轴的距离 d= 3
2 R,即|x|= 3
2 R.
而 R=|PF|= x-a2+y2,
∴|x|= 3
2 · x-a2+y2.
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整理得:(x+3a)2-3y2=12a2,即x+3a2
12a2
- y2
4a2
=1.
∴点 P 的轨迹为双曲线.
3. 点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点作∠F1PF2 外角平分线的垂线,垂足为 M,
则点 M 的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
答案 A
解析 如图,延长 F2M 交 F1P 延长线于 N.
∵|PF2|=|PN|,
∴|F1N|=2a.[来源:中国教育出版网 zzstep.com]
连接 OM,则在△NF1F2 中,OM 为中位线,
则|OM|=1
2|F1N|=a.∴M 的轨迹是圆.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
4. 设 P 是圆 x2+y2=100 上的动点,点 A(8,0),线段 AP 的垂直平分线交半径 OP 于 M 点,
则点 M 的轨迹为__________.
答案 椭圆
解析 如图,设 M(x,y),由于 l 是 AP 的垂直平分线,于是|AM|
=|PM|,又由于 10=|OP|=|OM|+|MP|=|OM|+|MA|,即|OM|+|MA|
=10,也就是说,动点 M 到 O(0,0)及 A(8,0 )的距离之和是 10,
故动点 M 的轨迹是以 O(0,0)、A(8,0)为焦点,中心在(4,0),长半轴
长是 5 的椭圆.
5. 已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0,⊙O′的方程是 x2+y2-8x+10=0,若由动点 P 向
⊙O 和⊙O′所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是________.
答案 x=3
2
解析 设 P(x,y),由圆 O′的方程为(x-4)2+y2=6 及已知|AP|=
|BP|,故|OP|2-|AO|2=|O′P|2-|O′B|2,
则|OP|2-2=|O′P|2-6,
∴x2+y2-2=(x-4)2+y2-6.
∴x=3
2
,故动点 P 的轨迹方程是 x=3
2.
6. 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AB 上,
且 AM=1
3AB,点 P 在平面 ABCD 上,且动点 P 到直线 A1D1 的距离
的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1,在平面直角坐标系 xAy 中,
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动点 P 的轨迹方程是____________.
答案 y2=2
3x-1
9
解析 过 P 作 PQ⊥AD 于 Q,再过 Q 作 QH⊥A1D1 于 H,连接 PH、PM,
可证 PH⊥A1D1,设 P(x,y),
由|PH|2-|PM|2=1,
得 x2+1- x-1
3 2+y2 =1,[来源:z*zs*tep.com]
化简得 y2=2
3x-1
9.
三、解答题
7. (13 分)如图所示,从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,
垂足为 N.求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程.
解 设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1),则 N 点的坐标为(2x
-x1,2y-y1).
∵点 N 在直线 x+y=2 上,
∴2x-x1+2y-y1=2,①
又∵PQ 垂直于直线 x+y=2.
∴y-y1
x-x1
=1,即 x-y+y1-x1=0,②
由①、②联立,解得
x1=3
2x+1
2y-1,
y1=1
2x+3
2y-1.
又 Q 在双曲线 x2-y2=1 上,∴x21-y21=1,
即
3
2x+1
2y-1 2-
1
2x+3
2y-1 2=1,
整理得 2x2-2y2-2x+2y-1=0,
这就是所求动点 P 的轨迹方程.