高一数学高中数学圆及方程

张竹强 MATHEMATICS 1 圆与方程 知识梳理： 1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的 与一个二元方程 0),( yxf 的实数建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. ⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点 ),( yxM 其坐标与方程 0),( yxf 的一 种关系，曲线上任一点 ),( yx 是方程 0),( yxf 的解；反过来，满足方程 0),( yxf 的 解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆 的 标 准 方 程 ： 以 点 ),( baC 为 圆 心 ， r 为 半 径 的 圆 的 标 准 方 程 是 222 )()( rbyax  . 特例：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程是： 222 ryx  . 注 ： 特 殊 圆 的 方 程 ： ① 与 x 轴 相 切 的 圆 方 程 222 )()( bbyax  )],(),(,[ bababr  或圆心 ②与 y 轴相切的圆方程 222 )()( abyax  )],(),(,[ babaar  或圆心 ③与x轴 y 轴都相切的圆方程 222 )()( aayax  )],(,[ aaar  圆心 3. 圆的一般方程： 022  FEyDxyx . 当 0422 FED  时，方程表示一个圆，其中圆心       2,2 EDC ，半径 2 422 FEDr  . 当 0422  FED 时，方程表示一个点       2,2 ED . 当 0422 FED  时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：        sin cos rby rax （ 为参数）. ②方程 022  FEyDxCyBxyAx 表示圆的充要条件是： 0B 且 0 CA 且 0422 AFED  . 张竹强 MATHEMATICS 2 ③圆的直径或方程：已知 0))(())((),(),( 21212211  yyyyxxxxyxByxA （用向量 可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点 ),( 00 yxM 及圆 222 )()(: rbyaxC  . ① M 在圆 C 内 22 0 2 0 )()( rbyax  ② M 在圆 C 上 22 0 2 0 )() rbyax （ ③ M 在圆 C 外 22 0 2 0 )()( rbyax  5. 直线和圆的位置关系： 设圆圆 C ： )0()()( 222 rrbyax  ； 直线l ： )0(0 22  BACByAx ； 圆心 ),( baC 到直线l 的距离 22 BA CBbAa d    . ① rd  时，l 与 C 相切； 附：若两圆相切，则       0 0 222 22 111 22 FyExDyx FyExDyx 相减为公切线方程. ② rd  时，l 与 C 相交； 附：公共弦方程：设 有两个交点，则其公共弦方程为 0)()()( 212121  FFyEExDD . ③ rd  时，l 与 C 相离. 附：若两圆相离，则       0 0 222 22 111 22 FyExDyx FyExDyx 相减为圆心 21OO 的连线的中与线 方程. 由代数特征判断：方程组      0 )()( 222 CBxAx rbyax 用代入法，得关于 x （或 y ）的一 元二次方程，其判别式为  ，则： l 0 与 C 相切； l 0 与 C 相交； l 0 与 C 相离. 注：若两圆为同心圆则 0111 22  FyExDyx ， 0222 22  FyExDyx 相减，不表 示直线. 6. 圆的切线方程：圆 222 ryx  的斜率为 k 的切线方程是 rkkxy 21 过圆 0: 0: 222 22 2 111 22 1   FyExDyxC FyExDyxC 张竹强 MATHEMATICS 3 022  FEyDxyx 上一点 ),( 00 yxP 的切线方程为： 022 00 00  FyyExxDyyxx . ①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆 222 ryx  上一点 ),( 00 yxP 的切线方程为 2 00 ryyxx  . ②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则          1 )( )( 2 11 0101 R xakyb R yy ，联立求出 k 切线方程. 7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图： ABCD 四类共圆. 已知 O 的方程 022  FEyDxyx …① 又以 ABCD 为圆为方程 为 2))(())(( kbxyyaxxx AA  …② 4 )()( 22 2 byaxR AA  …③，所以 BC 的方程即③代②，①②相切即为所求. 曲线和方程总结： 1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如 下的关系： 1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性）； 2） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上（完备性）。则称方程 f(x,y)=0 为 曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。 2.求曲线方程的方法：. 1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4） 待定系数法. 典型例题 例 1 若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交，则 P（a，b） （ ） A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 练习 1 两条直线 y=x+2a,y=2x+a 的交点 P 在圆（x-1）2+(y-1)2=4 的内部，则实数 a 的取值 范围是（ ） A.- 5 1 ＜a＜1 B.a＞1 或 a＜- 5 1 C.- 5 1 ≤a＜1 D.a≥1 或 a≤- 5 1 例 2 如图所示，已知 P（4，0）是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点， 且满足∠APB=90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. A B C D ( a ,b ) 张竹强 MATHEMATICS 4 练习 2 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P，Q 两点，且 OP⊥OQ（O 为坐标原点）， 求该圆的圆心坐标及半径. 3.已知点 P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点. （1）求 P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值； （2）求 x-2y 的最大值和最小值； （3）求 1 2   x y 的最大值和最小值. 例题 3 根据下列条件求圆的方程： （1）经过坐标原点和点 P（1,1），并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上； （2）已知一圆过 P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,求圆的方程. 练习 3 已知圆 x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）. （1）求证：不论 m 为何值，圆心在同一直线 l 上； （2）与 l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离； （3）求证：任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 家庭作业 一、选择题（每题 5 分） 张竹强 MATHEMATICS 5 1．方程 2 2 2 4 6 0x y x y     表示的图形是（ ） Ａ．以 (1 2)， 为圆心， 11 为半径的圆 Ｂ．以 (1 2)， 为圆心， 11 为半径的圆 Ｃ．以 ( 1 2) ， 为圆心， 11 为半径的圆 Ｄ．以 ( 1 2) ， 为圆心， 11 为半径的圆 2．点 (11)，在圆 2 2( ) ( ) 4x a y a    的内部，则 a 的取值范围是（ ） Ａ． 1 1a   Ｂ． 0 1a  Ｃ． 1a   或 1a  Ｄ． 1a   3．若 2 2 ( 1) 2 0x y x y        表示圆，则  的取值范围是（ ） Ａ． (0 )，∞ Ｂ． 1 14      ， Ｃ． 1(1 ) ( )5  ，∞ ∞， Ｄ．R 4．设直线l 过点 )0,2( ，且与圆 122  yx 相切，则l 的斜率是（ ） A 1 B 2 1 C． 3 3 D 3 5． 直线l 过点 ），（ 02 ，l 与圆 xyx 222  有两个交点时，斜率 k 的取值范围是( ) A ），（ 2222 B ），（ 22 C ），（ 4 2 4 2 D ），（ 8 1 8 1 6． 两圆 2 2 9x y  和 2 2 8 6 9 0x y x y     的位置关系是（ ） A 相离 B 相交 C 内切 D 外切 二、填空题（每题 5 分） 7． 圆： 06422  yxyx 和圆： 0622  xyx 交于 ,A B 两点，则 AB 的垂直平 分线的方程是 8．两圆 2 2 1x y  和 2 2( 4) ( ) 25x y a    相切，则实数 a 的值为 9．P 为圆 122  yx 上的动点，则点 P 到直线 01043  yx 的距离的最小值为_______ 10．若直线 2 yx 被圆 4)( 22  yax 所截得的弦长为 22 ，则实数 a 的值为 三、解答题 11．（20 分）已知一圆经过点 A（2，－3）和 B（－2，－5），且圆心 C 在直线 l： 2 3 0x y   上，求此圆的方程． 张竹强 MATHEMATICS 6 12（20 分）已知圆 C： 2 21 9x y   内有一点 P（2，2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点． (1) 当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； (2) 当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 l 的方程； (3) 当直线 l 的倾斜角为 45º时，求弦 AB 的长． 13（20 分）已知动点 M 到点 A（2，0）的距离是它到点 B（8，0）的距离的一半， 求： （1）动点 M 的轨迹方程；（2）若 N 为线段 AM 的中点，试求点 N 的轨迹． 14（20 分）求直线 012  yx 被圆 01222  yyx 所截得的弦长。 15．（20 分）已知实数 yx, 满足 122  yx ，求 1 2   x y 的取值范围。 张竹强 MATHEMATICS 7 例 3 如图所示，已知 P（4，0）是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点， 且满足∠APB=90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 解 设 AB 的中点为 R，坐标为（x1，y1），Q 点坐标为（x，y）， 则在 Rt△ABP 中， |AR|=|PR|， 又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理有 Rt△OAR 中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（ 2 1 2 1 yx  ）. 又|AR|=|PR|= 2 1 2 1 )4( yx  ， 所以有（x1-4）2+ 2 1y =36-（ 2 1 2 1 yx  ）. 即 2 1 2 1 yx  -4x1-10=0. 因为 R 为 PQ 的中点， 所以 x1= 2 4x ，y1= 2 0y . 代入方程 2 1 2 1 yx  -4x1-10=0，得 4 22 4 22           yx · 2 4x -10=0. 整理得 x2+y2=56. 这就是 Q 点的轨迹方程. 例 2 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P，Q 两点，且 OP⊥OQ（O 为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径. 解 方法一 将 x=3-2y, 代入方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得 5y2-20y+12+m=0. 设 P（x1,y1）,Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件： y1+y2=4,y1y2= .5 12 m ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2. ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2. ∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为      32 1， ,半径 r= 2 5 . 方法二 如图所示，设弦 PQ 中点为 M， ∵O1M⊥PQ，∴ 21 MOk . ∴O1M 的方程为:y-3=2       2 1x , 即：y=2x+4. 张竹强 MATHEMATICS 8 由方程组 .032 42      yx xy 解得 M 的坐标为（-1，2）. 则以 PQ 为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2. ∵OP⊥OQ，∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上. ∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即 r2=5,MQ2=r2. 在 Rt△O1MQ 中，O1Q2=O1M2+MQ2. ∴       2 12 1 (3-2)2+5= 4 4)6(1 2 m ∴m=3.∴半径为 2 5 ,圆心为      3,2 1 . 3.已知点 P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点. （1）求 P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值； （2）求 x-2y 的最大值和最小值； （3）求 1 2   x y 的最大值和最小值. 解 （1）圆心 C（-2，0）到直线 3x+4y+12=0 的距离为 d= 5 6 43 1204)2(3 22    . ∴P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值为 d+r= 5 6 +1= 5 11 ，最小值为 d-r= 5 6 -1= 5 1 . （2）设 t=x-2y, 则直线 x-2y-t=0 与圆（x+2）2+y2=1 有公共点. ∴ 22 21 2   t ≤1.∴- 5 -2≤t≤ 5 -2， ∴tmax= 5 -2，tmin=-2- 5 . （3）设 k= 1 2   x y ， 则直线 kx-y-k+2=0 与圆（x+2）2+y2=1 有公共点， ∴ 1 23 2   k k ≤1.∴ 4 33 ≤k≤ 4 33 , ∴kmax= 4 33 ，kmin= 4 33 . 9.根据下列条件求圆的方程： （1）经过坐标原点和点 P（1,1），并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上； （2）已知一圆过 P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,求圆的方程. 解 （1）显然，所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为： 2222 )1()1(  yxyx ,即 x+y-1=0. 张竹强 MATHEMATICS 9 解方程组 ,0132 01      yx yx 得圆心 C 的坐标为（4，-3）. 又圆的半径 r=|OC|=5, 所以所求圆的方程为（x-4）2+(y+3)2=25. （2）设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 将 P、Q 点的坐标分别代入①得：      �103 �2024 FED FED 令 x=0，由①得 y2+Ey+F=0 ④ 由已知|y1-y2|=4 3 ，其中 y1、y2 是方程④的两根， 所以（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 ⑤ 解②、③、⑤组成的方程组得 D=-2，E=0，F=-12 或 D=-10，E=-8，F=4， 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0. 例 1 已知圆 x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）. （1）求证：不论 m 为何值，圆心在同一直线 l 上； （2）与 l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离； （3）求证：任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明 配方得：（x-3m）2+［y-（m-1）］2=25， 设圆心为（x，y），则 ,1 3      my mx 消去 m 得 l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线 l：x-3y-3=0 上. （2）解 设与 l 平行的直线是 l1：x-3y+b=0， 则圆心到直线 l1 的距离为 d= 10 3 10 )1(33 bbmm  . ∵圆的半径为 r=5， ∴当 d＜r，即-5 10 -3＜b＜5 10 -3 时，直线与圆相交； 当 d=r,即 b=±5 10 -3 时，直线与圆相切； 当 d＞r，即 b＜-5 10 -3 或 b＞5 10 -3 时，直线与圆相离. （3）证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线 l1 的距离 d= 10 3 b ， 弦长=2 22 dr  且 r 和 d 均为常量. ∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.