高一数学直线方程

高一数学 直线方程 1数轴上两点间距离公式： AB xxAB  2直角坐标平面内的两点间距离公式： 2 21 2 2121 )()( yyxxPP  3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点 按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0° 可见，直线倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180° 4直线的斜率：倾斜角α不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即 k=tanα（α≠90°） 倾斜角是 90°的直线没有斜率；倾斜角不是 90°的直线都有斜率，其取值范围是 （－∞，+∞） 5 直线的方向向量：设 F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量 21FF =（x2 －x1，y2－y1）称为直线的方向向量 向量 12 1 xx  21FF =（1， 12 12 xx yy   ）=（1，k）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率 特别地，垂直于 x 轴的直线的一个方向向量为 a ＝(0,1) 6求直线斜率的方法 ①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率 k=tanα ②公式法：已知直线过两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且 x1≠x2，则斜率 k= 12 12 xx yy   ③方向向量法：若 a =（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率 k= m n 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率 对于直线上任意两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当 x1=x2 时，直线斜率 k 不存在，倾斜 角α=90°；当 x1≠x2 时，直线斜率存在，是一实数，并且 k≥0 时，α=arctank；k＜0 时， α=π+arctank 7直线方程的五种形式 点斜式： )( 00 yy  ， 斜截式： bkxy  两点式： 12 1 12 1 xx xx yy yy    ， 截距式： 1 b y a x 一般式： 0 CByAx 题型讲解 例 1 已知△ABC 的三个顶点是 A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三条边所 在的直线方程 分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式使 用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便 由顶点 B 与 C 的坐标可知 点 B 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上，于是 BC 边所在的直线方程用截距式表示，AB 所在的直线 方程用斜截式的形式表示，AC 所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一 形式，均化为直线方程的一般式 解：①因△ABC 的顶点 B 与 C 的坐标分别为（0，3）和（－6，0）， 故 B 点在 y 轴上，C 点在 x 轴上， 即直线 BC 在 x 轴上的截距为－6，在 y 轴上的截距为 3， 利用截距式，直线 BC 的方程为 6 x + 3 y =1， 化为一般式为 x－2y+6=0 ②由于 B 点的坐标为（0，3），故直线 AB 在 y 轴上的截距为 3，利用斜截式，得直线 AB 的方程为 y=kx+3 又由顶点 A（3，－4）在其上，所以－4=3k+3故 k=－ 3 7 于是直线 AB 的方程为 y=－ 3 7 x+3，化为一般式为 7x+3y－9=0 ③由 A（3，－4）、C（－6，0）， 得直线 AC 的斜率 kAC= )6(3 04   =－ 9 4 利用点斜式得直线 AC 的方程为 y－0=－ 9 4 （x+6）， 化为一般式为 4x+9y+24=0 点评：本题考查了求直线方程的基本方法 例 2 已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P（2，3），求过两点 Q1（a1， b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程 分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答 解：∵P（2，3）在已知直线上， ∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0 ∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即 21 21 aa bb   =－ 3 2 ∴所求直线方程为 y－b1=－ 3 2 （x－a1） ∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即 2x+3y+1=0 点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙 例 3 一条直线经过点 P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线 x－4y+3=0 的倾斜角的 2 倍； （2）与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点） 分析：（2）将面积看作截距 a、b 的函数，求函数的最小值即可 解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且 tanα＝ 4 1 ， tanθ＝tan2α＝ 15 8 ， 从而方程为 8x－15y+6=0 （2）设直线方程为 a x ＋ b y ＝1，a＞0，b＞0， 代入 P（3，2），得 a 3 ＋ b 2 ＝1≥2 ab 6 ，得 ab≥24， 从而 S△AOB＝ 2 1 ab≥12， 此时 a 3 ＝ b 2 ，∴k＝－ a b ＝－ 3 2 ∴方程为 2x+3y－12=0 点评：此题（2）也可以转化成关于 a 或 b 的一元函数后再求其最小值 例 4 过点(2,1)作直线l 分别交 x,y 轴正并轴于 A，B 两点 (1)当ΔAOB 面积最小时，求直线l 的方程; (2)当|PA||PB|取最小值时，求直线l 的方程 解：(1)设所求的直线l 方程为 1 b y a x (a>0,b>0), 由已知 112  ba 于是 2 2 12 12             ba ba = 4 1 ,∴SΔAOB= ab2 1 4, 当且仅当 2 112  ba ,即 a=4,b=2 时取等号, 此时直线l 的方程为 124  yx ,即 x+2y─4=0 (2)解法一:设直线l :y─1=k(x─2),分别令 y=0,x=0,得 A(2─ k 1 ,0), B(0,1─2k) 则|PA||PB|= )11)(44( 2 2 k k  = )1(48 2 2 k k  4,当且仅当 k2=1,即 k=±1 时,取最小 值, 又 k