2021年中考数学三轮综合复习：三角形综合 专题冲刺练习三

2021 年中考数学三轮综合复习：三角形综合 专题冲刺练习三 1．在平面直角坐标系中，点 A、B 分别在 x、y 轴上，且 AB＝BC，∠ABC＝90°，点 A（a， 0）、B（0，b），且 a、b 满足（a+3）2+|b﹣2|＝0． （1）如图 1，则 a＝ ，b＝ ，点 C 的坐标为 ； （2）如图 2，若 E 点在 x 轴的正半轴上，且满足∠OBC﹣∠ABO＝2∠OBE，CG⊥OB 于 点 G，交 BE 于点 H，求证：CH＝BG+OE； （3）在（2）条件下，请同学们探究线段 OG、OE、GH 之间的数量关系，并加以证明． 2．在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，点 E 是平面内任意一点， 连接 DE． （1）如图 1，当点 E 在边 BC 上时，过点 D 作 DF⊥DE 交 AC 于点 F． i）求证：CE＝AF； ii）试探究线段 AF，DE，BE 之间满足的数量关系． （2）如图 2，当点 E 在△BDC 内部时，连接 AE，CE，若 DB＝5，DE＝3 ，∠AED ＝45°，求线段 CE 的长． 3．如图，已知 AB∥CD，现将一直角三角形 PMN 放入图中，其中∠P＝90°，PM 交 AB 于点 E，PN 交 CD 于点 F． （ 1 ） 当 △ PMN 所 放 位 置 如 图 ① 所 示 时 ， 则 ∠ PFD 与 ∠ AEM 的 数 量 关 系 为 ． （2）当△PMN 所放位置如图②所示时，请猜想∠PFD 与∠AEM 的数量关系并证明． （3）在（2）的条件下，若 MN 与 CD 交于点 O，且∠DON＝20°，∠PEB＝15°，求 ∠N 的度数． 4．如图，∠CAD 与∠CBD 的角平分线交于点 P． （1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P 的度数； （2）猜想∠D，∠C，∠P 的等量关系． 5．问题呈现： 如图 1，在边长为 1 的正方形网格中，分别连接格点 A，B 和 C，D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan∠BPD 的值． 方法归纳： 利用网格将线段 CD 平移到线段 BE，连接 AE，得到格点△ABE，且 AE⊥BE，则∠BPD 就变换成 Rt△ABE 中的∠ABE． 问题解决： （1）图 1 中 tan∠BPD 的值为 ； （2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，分别连接格点 A，B 和 C，D，AB 与 CD 交 于点 P，求 cos∠BPD 的值； 思维拓展： （3）如图 3，AB⊥CD，垂足为 B，且 AB＝4BC，BD＝2BC，点 E 在 AB 上，且 AE＝BC， 连接 AD 交 CE 的延长线于点 P，利用网格求 sin∠CPD． 6．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，E 为 AB 上一点（不与 A，B 重合） （1）如图 1，若 BC＝BE，求证：CE 平分∠ACD； （2）如图 2，若 AC＝BC，过点 B 作 BF⊥CE 于点 F，交 CD 于 G． ①求证：AE＝CG； ②当 BC＝BE 时，BG 与 CF 的数量关系是 ． 7．如图，Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点 D 是 BC 的中点，CE⊥AD 于 E，BF ∥AC 交 CE 的延长线于点 F． （1）求证：△ACD≌△CBF； （2）连接 DF，求证：AB 垂直平分 DF； （3）连接 AF，试判断△ACF 的形状，并说明理由． 8．（1）如图 1 所示，在△ABC 中，若 AB＝AC，∠BAC＝120°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E．AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，连接 AM、AN， 试判断△AMN 的形状，并证明你的结论． （2）如图 2 所示，在△ABC 中，若∠C＝45°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，连接 AM、AN，若 AC＝3 ， BC＝8，求 MN 的长． 9．（1）问题发现 如图 1，在 Rt△ABC 和 Rt△DBE 中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝45°， 点 E 是线段 AC 上一动点，连接 DE． 填空：①则 的值为 ； ②∠EAD 的度数为 ． （2）类比探究 如图 2，在 Rt△ABC 和 Rt△DBE 中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°， 点 E 是线段 AC 上一动点，连接 DE．请求出 的值及∠EAD 的度数； （3）拓展延伸 如图 3，在（2）的条件下，取线段 DE 的中点 M，连接 AM、BM，若 BC＝4，则当△ABM 是直角三角形时，求线段 AD 的长． 10．如图，△BEF 和△AGE 是等腰直角三角形． （1）探究 FG 和 AB 的数量关系并证明； （2）延长 FG 和 AB 交于点 C，利用图 2 补全图形，求∠ACF 的度数． 11．如图 1，已知 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 是 AB 上一点，且 AC＝8，∠DCA＝45°， AE⊥BC 于点 E，交 CD 于点 F． （1）如图 1，若 AB＝2AC，求 AE 的长； （2）如图 2，若∠B＝30°，求△CEF 的面积； （3）如图 3，点 P 是 BA 延长线上一点，且 AP＝BD，连接 PF，求证：PF+AF＝ BC 12．如图，△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点 D 为 BC 边上一点． （1）如图 1，若 AD＝AM，∠DAM＝120°． ①求证：BD＝CM； ②若∠CMD＝90°，求 的值； （2）如图 2，点 E 为线段 CD 上一点，且 CE＝1，AB＝2 ，∠DAE＝60°，求 DE 的 长． 13．如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求 ∠1 和∠DAC 的度数． 14．已知∠MON＝50°，OE 平分∠MON，点 A、B、C 分别是射线 OM、OE、ON 上的动 点（A、B、C 不与点 O 重合），连接 AC 交射线 OE 于点 D，设∠OAC＝x°． （1）如图 1，若 AB∥ON． ①则∠ABO 的度数是 ． ②当∠BAD＝∠ABD 时，x＝ ；当∠BAD＝∠BDA 时，x＝ ． （2）如图 2，若 AB⊥OE，则是否存在这样的 x 值，使得△ABD 中有一个角是另一个角 的两倍．存在，直接写出 x 的值；不存在，说明理由． 15．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 为 BC 上一点，连接 AD，过点 C 作 CE⊥ AD 于点 E． （1）如图 1，过点 B 作 BF⊥BC 交 CE 的延长线于点 F， ①求证：△ACD≌△CBF； ②如图 2，若 D 为 BC 的中点，CF 交 AB 于点 M，连接 DM，求证：∠BDM＝∠ADC； （2）在（1）②的条件下，若 AE＝4，CE＝2，直接写出 CM 的长．