人教A版（2019）必修二同步练习题8.6 空间直线、平面的垂直

A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．从空间一点 P 向二面角 α－l－β的两个面 α，β分别作垂线 PE，PF，E， F 为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是( ) A．60° B．120° C．60°或 120° D．不确定 答案 C 解析 若点 P 在二面角内，则二面角的平面角为 120°；若点 P 在二面角外， 则二面角的平面角为 60°. 2．对于直线 m，n 和平面 α，β，能得出 α⊥β的一个条件是( ) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 答案 C 解析 ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又 m⊂α，由面面垂直的判定定理可得 α⊥β. 3．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝2 3，CC1＝ 2，则二面角 C －BD－C1的大小是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案 A 解析 如图，过点 C 作 CE⊥BD 于 E，连接 C1E，则∠CEC1为二面角 C－BD －C1的平面角，由等面积公式得 CE＝ 2 3×2 3 2×2 3 ＝ 6， tan∠CEC1＝ CC1 CE ＝ 2 6 ＝ 3 3 ， 因为 0°≤∠CEC1≤180°，所以∠CEC1＝30°. 4．如图，在立体图形 D－ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点， 则下列说法中正确的是( ) A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE C．平面 ABD⊥平面 BDC D．平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE 答案 B 解析 由条件得 AC⊥DE，AC⊥BE，又 DE∩BE＝E，∴AC⊥平面 BDE，又 AC⊂平面 ADC，AC⊂平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 BDE，平面 ADC⊥平面 BDE， 故选 B. 5.如图，在三棱锥 P－ABC 中，已知 PC⊥BC，PC⊥AC，点 E，F，G 分别 是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( ) A．平面 EFG∥平面 PBC B．平面 EFG⊥平面 ABC C．∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角 D．∠FEG 是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平面角 答案 D 解析 A 正确，∵点 E，F，G 分别是所在棱的中点，∴GF∥PC，GE∥CB，∵ GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面 EFG∥平面 PBC；B 正确，∵PC⊥BC，PC⊥ AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又 BC∩AC＝C，∴GF⊥平面 ABC，∴平面 EFG⊥平面 ABC；C 正确，易知 EF∥BP，∴∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角； D 错误，∵GE 与 AB 不垂直，∴∠FEG不是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平 面角． 二、填空题 6．如图所示，一山坡的坡面与水平面成 30°的二面角，坡面上有一直道 AB， 它和坡脚的水平线成 30°的角，沿这山路行走 20 m 后升高_________m. 答案 5 解析 如图，过 B 作 BH⊥水平面，过 H 作 HC⊥坡脚线，连接 BC，则∠BAC ＝30°，由 BH⊥AC，HC⊥AC，BH∩HC＝H，知 AC⊥平面 BHC，从而 BC⊥AC， 所以∠BCH 为坡面与水平面所成二面角的平面角，所以∠BCH＝30°，在 Rt△ABC 和 Rt△BCH 中，因为 AB＝20 m，所以 BC＝AB·sin30°＝10 m，所以 BH＝BC·sin30° ＝5 m. 7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC 沿斜线 BC 上的高 AD 折叠，使平面 ABD⊥平面 ACD，则 BC＝________. 答案 1 解析 ∵AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD， ∴∠BDC 为平面 ABD 与平面 ACD 所成二面角的平面角， ∴∠BDC＝90°， 又 AB＝AC＝1，∠BAC＝90°， ∴BD＋CD＝ AB2＋AC2＝ 2， ∴BD＝CD＝ 2 2 ，折叠后， 在 Rt△BDC 中，BC＝ BD2＋CD2＝1. 8．如图，点 P 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下面 四个结论： ①三棱锥 A－D1PC 的体积不变； ②A1P∥平面 ACD1； ③DP⊥BC1； ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的结论的序号是________(写出所有你认为正确结论的序号)． 答案 ①②④ 解析 连接 AC，A1C1，A1B，AD1，D1C.因为 AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四 边形 AA1C1C 是平行四边形，所以 AC∥A1C1.又因为 AC⊄平面 A1BC1，A1C1⊂平面 A1BC1，所以 AC∥平面 A1BC1.同理可证 AD1∥平面 A1BC1，又因为 AC⊂平面 ACD1， AD1⊂平面 ACD1，且 AC∩AD1＝A，所以平面 ACD1∥平面 A1BC1.因为 A1P⊂平面 A1BC1，所以 A1P∥平面 ACD1，故②正确．因为 BC1∥AD1，所以 BC1∥平面 ACD1， 所以点 P 到平面 ACD1的距离不变．又因为 VA－D1PC＝VP－ACD1，所以三棱锥 A－D1PC 的体积不变，故①正确．连接 DB，DC1，DP，因为 DB＝DC1，所以当 P 为 BC1的中点时才有 DP⊥BC1，故③错误．因为 BB1⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，所以 AC⊥BB1.又因为 AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以 AC⊥平面 BB1D1D. 连接 B1D，又因为 B1D⊂平面 BB1D1D，所以 B1D⊥AC.同理可证 B1D⊥AD1.又因 为 AC⊂平面 ACD1，AD1⊂平面 ACD1，AC∩AD1＝A，所以 B1D⊥平面 ACD1.又 因为 B1D⊂平面 PDB1，所以平面 PDB1⊥平面 ACD1，故④正确． 三、解答题 9．如图，在三棱锥 S－ABC 中，SC⊥平面 ABC，点 P，M 分别是 SC 和 SB 的中点，设 PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°. (1)求证：平面 MAP⊥平面 SAC； (2)求二面角 M－AC－B 的平面角的正切值． 解 (1)证明：∵SC⊥平面 ABC，∴SC⊥BC， 又∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC，又 AC∩SC＝C，∴BC⊥平面 SAC， 又 P，M 分别是 SC，SB 的中点， ∴PM∥BC，∴PM⊥平面 SAC，又 PM⊂平面 MAP， ∴平面 MAP⊥平面 SAC. (2)同(1)，可证 AC⊥平面 SBC， ∴AC⊥CM，AC⊥CB， 从而∠MCB 为二面角 M－AC－B 的平面角， ∵直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°， ∴过点 M 作 MN⊥CB 于点 N，连接 AN，如图所示，∴MN∥PC， 则∠AMN＝60°，在 Rt△CAN 中，CN＝PM＝1，AC＝1，由勾股定理得 AN＝ 2. 在 Rt△AMN 中，MN＝ AN tan∠AMN ＝ 2· 3 3 ＝ 6 3 . 在 Rt△CNM 中，tan∠MCN＝ MN CN ＝ 6 3 1 ＝ 6 3 ， 故二面角 M－AC－B 的平面角的正切值为 6 3 . B 级：“四能”提升训练 在直角梯形 ABCD 中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝ 1 2 AB＝a(如图所示)， 将△ADC 沿 AC 折起，将 D 翻到 D′，记平面 ACD′为 α，平面 ABC 为 β，平面 BCD′为 γ. (1)若二面角 α－AC－β为直二面角，求二面角 β－BC－γ的大小； (2)若二面角 α－AC－β为 60°，求三棱锥 D′－ABC 的体积． 解 (1)在直角梯形 ABCD 中，由已知得△DAC 为等腰直角三角形，∴AC＝ 2 a，∠CAB＝45°. 如图所示，过 C 作 CH⊥AB，垂足为 H， 则 AH＝CH＝a. 又 AB＝2a，∴BH＝a，BC＝ 2a， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴AC⊥BC. 取 AC 的中点 E，连接 D′E， 则 D′E⊥AC. ∵二面角 α－AC－β为直二面角，∴D′E⊥β. 又∵BC⊂平面 β，∴BC⊥D′E. ∵AC∩D′E＝E，∴BC⊥α. 而 D′C⊂α，∴BC⊥D′C， ∴∠D′CA 为二面角 β－BC－γ的平面角． 由于∠D′CA＝45°， ∴二面角 β－BC－γ为 45°. (2)如图所示，过 D′作 D′O⊥β，垂足为 O，连接 OE， ∵AC⊂β，∴D′O⊥AC. 又由(1)可知 AC⊥D′E，D′O 与 D′E 相交于点 D′， ∴AC⊥平面 D′EO.∴AC⊥OE. ∴∠D′EO 为二面角 α－AC－β的平面角， ∴∠D′EO＝60°. 在 Rt△D′OE 中， D′E＝ 1 2 AC＝ 2 2 a，D′O＝ 3 2 D′E＝ 6 4 a. ∴V 三棱锥 D′－ABC＝ 1 3 S△ABC·D′O＝ 1 3 × 1 2 AC·BC·D′O＝ 1 6 × 2a× 2a× 6 4 a＝ 6 12 a3.