A 级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列概率模型中，是古典概型的个数为( )
①从区间[1,10]内任取一个数，求取到 1 的概率；
②从 1～10 中任意取一个整数，求取到 1 的概率；
③在一个正方形 ABCD 内画一点 P，求点 P 刚好与点 A 重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本
点发生的可能性相等，故②是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点发生的
可能性不一定相等，故不是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点的个数不
是有限的，故不是古典概型．故选 A.
2．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，
b，c}的子集的概率是( )
A.
3
5
B.
2
5
C.
1
4
D.
1
8
答案 C
解析 集合{a，b，c，d，e}共有 25＝32 个子集，而集合{a，b，c}的子集有
23＝8 个，所以所求概率为
8
32
＝
1
4
.
3．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概
率为( )
A.
1
10
B.
1
8
C.
1
4
D.
1
2
答案 C
解析 设两款优惠套餐分别为 A，B，列举样本点如图所示．
由图可知，共有 8 个样本点，这 8 个样本点发生的可能性是相等的．其中甲、
乙、丙三位同学选择同一款套餐包括(A，A，A)，(B，B，B)，共 2 个样本点，故
所求概率为 P＝
2
8
＝
1
4
.
4．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为 a，再由乙猜甲刚才
想的数字，把乙猜出的数字记为 b，且 a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙
“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.
3
8
B.
5
8
C.
3
16
D.
5
16
答案 B
解析 两人分别从 1,2,3,4 四个数中任取一个，共有 16 个样本点，这 16 个样
本点发生的可能性是相等的．其中满足|a－b|≤1 的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，
(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共 10 个，故他们“心有灵犀”的
概率为
10
16
＝
5
8
.
5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一学生中进行了抽样调
查．已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在
从这 5 名学生中随机抽取 3 人，则至多有 1 人喜欢甜品的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案 D
解析 记 2 名喜欢甜品的学生分别为 a1，a2,3 名不喜欢甜品的学生分别为 b1，
b2，b3.
从这 5 名数学系学生中任取 3 人的所有可能结果共 10 个，分别为(a1，a2，b1)，
(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，
b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，这 10 种结果发生的可能性是相等
的．
记事件 A 表示“至多有 1 人喜欢甜品”，则事件 A 所包含的样本点有(a1，b1，
b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，
b2，b3)，共 7 个．根据古典概型的概率计算公式，得至多有 1 人喜欢甜品的概率
P(A)＝
7
10
＝0.7，故选 D.
二、填空题
6．同时掷两枚相同的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于 12 的概率为
________．
答案
1
9
解析 同时掷两枚相同的骰子的样本点总数为 36，这 36 个样本点发生的可
能性是相等的，满足两枚骰子向上的点数之积为 12 的样本点有(2,6)，(3,4)，(4,3)，
(6,2)，共 4 个，故所求概率为
4
36
＝
1
9
.
7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{1,2,3}中随机选取一个数为 b，则
b>a 的概率是________．
答案
1
5
解析 抽取的 a，b 组合有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，
(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共 15 种情况，这 15 种情况发生的
可能性是相等的．其中(1,2)，(1,3)，(2,3)满足 b>a，故所求概率为
3
15
＝
1
5
.
8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当有
两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如 213,134 等)，若 a，b，c∈
{1,2,3,4}，且 a，b，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．
答案
1
2
解析 由 1,2,3 组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321，共 6 个；同理，
由 1,2,4 组成的三位自然数为 6 个，由 1,3,4 组成的三位自然数为 6 个，由 2,3,4
组成的三位自然数为 6 个，共有 24 个，这 24 个数出现的可能性是相等的．由 1,2,3
或 1,3,4 组成的三位自然数为“有缘数”，共 12 个，所以三位数为“有缘数”的
概率为
12
24
＝
1
2
.
三、解答题
9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方
法是：从装有 2 个红球 A1，A2和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1，a2 和 2
个白球 b1，b2的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，
否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不
中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
解 (1)所有可能的摸出结果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，
a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．
(2)不正确，理由如下：
由(1)，知所有可能的摸出结果共 12 种，且这 12 种结果发生的可能性是相等
的．其中摸出的 2 个球都是红球的结果有{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，
a2}，共 4 种，所以中奖的概率为
4
12
＝
1
3
，不中奖的概率为 1－
1
3
＝
2
3
，故不中奖的
概率比较大．
B 级：“四能”提升训练
小李在做一份调查问卷，共有 5 道题，其中有两种题型，一种是选择题，共
3 道，另一种是填空题，共 2 道．
(1)小李从中任选 2 道题解答，每一次选 1 题(不放回)，求所选的题不是同一
种题型的概率；
(2)小李从中任选 2 道题解答，每一次选 1 题(有放回)，求所选的题不是同一
种题型的概率．
解 (1)将 3 道选择题依次编号为 1,2,3；2 道填空题依次编号为 4,5.
从 5 道题中任选 2 道题解答，每一次选 1 题(不放回)，样本空间 Ω＝{(1,2)，
(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，
(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共 20 个样本点，这 20 个样本点
发生的可能性是相等的．
设事件 A 为“所选的题不是同一种题型”，则事件 A 包含的样本点有(1,4)，
(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共 12
个，所以 P(A)＝
12
20
＝0.6.
(2)从 5 道题中任选 2 道题解答，每一次选 1 题(有放回)，样本空间 Ω＝{(1,1)，
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，
(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
共 25 个样本点，这 25 个样本点发生的可能性是相等的．
设事件 B 为“所选的题不是同一种题型”，则事件 B 包含的样本点有(1,4)，
(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共 12
个，所以 P(B)＝
12
25
＝0.48.
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