人教A版(2019)必修二同步练习题8.7 本章综合与测试(1)
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人教A版(2019)必修二同步练习题8.7 本章综合与测试(1)

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时间:2021-06-25

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资料简介
第八章 单元质量测评 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 答案 C 解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③ ④不论选哪一个三角形作底面折叠,都不能折成正四面体. 2.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方 体,则截去 8 个三棱锥后,剩下的几何体的体积是( ) A. 2 3 B. 7 6 C. 4 5 D. 5 6 答案 D 解析 棱长为 1 的正方体的体积为 1,8 个三棱锥的体积为 8× 1 3 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 6 ,所以剩下的几何体的体积为 1- 1 6 = 5 6 . 3.已知水平放置的△ABC,按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中 B′O′=C′O′=1,A′O′= 3 2 ,那么原△ABC 的面积是( ) A. 3 B.2 2 C. 3 2 D. 3 4 答案 A 解析 由斜二测画法的原则可得,BC=B′C′=2,AO=2A′O′=2× 3 2 = 3,由图易得 AO⊥BC,∴S△ABC= 1 2 ×2× 3= 3,故选 A. 4.若 l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面 答案 B 解析 当 l1⊥l2,l2⊥l3时,l1也可能与 l3相交或异面,故 A 不正确;l1⊥l2, l2∥l3⇒l1⊥l3,故 B 正确;当 l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3 未必共面,如三棱柱的三条 侧棱,故 C 不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶 点出发的三条棱,故 D 不正确. 5.如图所示,平面 α⊥平面 β,A∈α,B∈β,AB 与两平面 α,β所成的角分 别为 π 4 和 π 6 .过 A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足分别为 A′,B′,则 AB∶A′B′ 等于( ) A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3 答案 A 解析 如图,由已知得 AA′⊥面 β,∠ABA′= π 6 ,BB′⊥面 α,∠BAB′= π 4 .设 AB=a,则 BA′= 3 2 a,BB′= 2 2 a,在 Rt△BA′B′中,A′B′= 1 2 a,∴ AB∶A′B′=2∶1. 6.用 m,n 表示两条不同的直线,α表示平面,则下列命题正确的是( ) A.若 m∥n,n⊂α,则 m∥α B.若 m∥α,n⊂α,则 m∥n C.若 m⊥n,n⊂α,则 m⊥α D.若 m⊥α,n⊂α,则 m⊥n 答案 D 解析 若 m∥n,n⊂α,则 m∥α或 m⊂α,故排除 A;若 m∥α,n⊂α,则 m ∥n 或 m,n 异面,故排除 B;若 m⊥n,n⊂α,则不能得出 m⊥α,例如,m⊥n, n⊂α,m⊂α,则 m 与 α不垂直,故排除 C.故选 D. 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,下面说法正确的是( ) A.A1C1⊥AD B.D1C1⊥AB C.AC1与 DC 成 45°角 D.A1C1与 B1C 成 60°角 答案 D 解析 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,异面直线 A1C1与 AD 所成的角 为 45°;直线 D1C1与直线 AB 平行;异面直线 AC1与 DC 所成的角的大小为∠C1AB 的大小,其正切值为 BC1 AB = 2≠1,所以异面直线 AC1 与 DC 所成的角不是 45°; 连接 A1D,DC1,因为 A1D∥B1C,所以异面直线 A1C1与 B1C 所成的角就是直线 A1C1 与直线 A1D 所成的角.而△A1DC1 是等边三角形,所以∠C1A1D=60°,即 A1C1与 B1C 所成的角为 60°.所以答案选 D. 8.如图,正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G,已知△A′DE 是△ADE 绕边 DE 旋转过程中的一个图形.现给出下列命题:①恒有直线 BC∥ 平面 A′DE;②恒有直线 DE⊥平面 A′FG;③恒有平面 A′FG⊥平面 A′DE. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 解析 由 BC∥DE 知,恒有直线 BC∥平面 A′DE,①正确;由 DE⊥A′G, DE⊥FG 知,恒有直线 DE⊥平面 A′FG,②正确;由直线 DE⊥平面 A′FG, DE⊂平面 A′DE 知,恒有平面 A′FG⊥平面 A′DE,③正确. 9.如图,在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 6 的正三角形,SA=SB= SC=15,平面 DEFH 分别与 AB,BC,SC,SA 交于点 D,E,F,H,且 D,E 分 别是AB,BC的中点,如果直线 SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为( ) A. 45 2 B. 45 3 2 C.45 D.45 3 答案 A 解析 取 AC 的中点 G,连接 SG,BG.易知 SG⊥AC,BG⊥AC,故 AC⊥平 面 SGB,所以 AC⊥SB.因为 SB∥平面 DEFH,SB⊂平面 SAB,平面 SAB∩平面 DEFH=HD,所以 SB∥HD.同理 SB∥FE.又 D,E 分别为 AB,BC 的中点,则 H, F 也分别为 AS,SC 的中点,从而得 HF 綊 1 2 AC 綊 DE,所以四边形 DEFH 为平行 四边形.又 AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以 DE⊥HD,所以四边形 DEFH 为 矩形,其面积 S=HF·HD=      1 2 AC ·      1 2 SB = 45 2 . 10.PA,PB,PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 60°, 那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 3 答案 C 解析 构造正方体如图所示,连接 AB,过点 C 作 CO⊥平面 PAB,垂足为 O, 易知 O 是正三角形 ABP 的中心,连接 PO 并延长交 AB 于 D,于是∠CPO 为直线 PC 与平面 PAB 所成的角.设 PC=a,则 PD= 3a 2 ,故 PO= 2 3 PD= 3 3 a,故 cos ∠CPO= PO PC = 3 3 .故选 C. 11.已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的不同点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC, AB=1,BC= 2,若球 O 的表面积为 4π,则 SA=( ) A. 2 2 B.1 C. 2 D. 3 2 答案 B 解析 根据已知把 S-ABC补成如图所示的长方体.因为球 O的表面积为 4π, 所以球 O 的半径 R=1,2R= SA2+1+2=2,解得 SA=1,故选 B. 12.在梯形 ABCD 中,∠ABC= π 2 ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A. 2π 3 B. 4π 3 C. 5π 3 D.2π 答案 C 解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E,梯形 ABCD 绕 AD 所在直线 旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆的半径,线段 BC 为母线的 圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆的半径,ED 为高的圆锥,如图所示,该几何体 的体积为 V=V 圆柱-V 圆锥=π·AB2·BC- 1 3 ·π·CE2·DE=π×12×2- 1 3 π×12×1= 5π 3 , 故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横 线上) 13.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB ⊥EF;②AB 与 CM 所成的角为 60°;③EF 与 MN 是异面直线;④MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为________. 答案 ①③ 解析 把正方体的平面展开图还原为正方体,如图所示.因为 AB∥MC,MC ⊥EF,所以 AB⊥EF,故①正确,②错误;EF 与 MN 是异面直线,故③正确;易 知 MN⊥CD,故④错误.故填①③. 14.如图所示,等边三角形 ABC 的边长为 4,D 为 BC 的中点,沿 AD 把△ ADC 折叠到△ADC′处,使二面角 B-AD-C′为 60°,则折叠后二面角 A-BC′ -D 的正切值为________. 答案 2 解析 易知∠BDC′即为二面角 B-AD-C′的平面角,则∠BDC′=60°, 所以△BDC′为等边三角形.取 BC′的中点 M,连接 DM,AM,易知 DM⊥BC′, AM⊥BC′,所以二面角 A-BC′-D 的平面角为∠AMD.在等边三角形 ABC 中, 易知 AD=2 3,在等边三角形 BDC′中,易知 DM= 3,所以 tan∠AMD= AD DM = 2. 15.已知矩形 ABCD 中,AB=3,BC=a,若 PA⊥平面 AC,在 BC 边上取点 E,使 PE⊥DE,则满足条件的 E 点有两个时,a 的取值范围是________. 答案 a>6 解析 如图所示,连接 AE,要使 PE⊥DE,由于 DE⊥PA,则需 DE⊥AE. 要使在矩形 ABCD 中,∠AED=90°, 满足条件的 E 点有两个, 则需以 AD 为直径的圆与 BC 相割. ∴圆心到 BC 边的距离 d

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