人教A版（2019）必修二同步练习题8.7 本章综合与测试

第八章 单元质量测评 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( ) A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 答案 C 解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③ ④不论选哪一个三角形作底面折叠，都不能折成正四面体． 2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方 体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( ) A. 2 3 B. 7 6 C. 4 5 D. 5 6 答案 D 解析 棱长为 1 的正方体的体积为 1,8 个三棱锥的体积为 8× 1 3 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 ＝ 1 6 ，所以剩下的几何体的体积为 1－ 1 6 ＝ 5 6 . 3.已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝ 3 2 ，那么原△ABC 的面积是( ) A. 3 B．2 2 C. 3 2 D. 3 4 答案 A 解析 由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2× 3 2 ＝ 3，由图易得 AO⊥BC，∴S△ABC＝ 1 2 ×2× 3＝ 3，故选 A. 4．若 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 答案 B 解析 当 l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与 l3相交或异面，故 A 不正确；l1⊥l2， l2∥l3⇒l1⊥l3，故 B 正确；当 l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3 未必共面，如三棱柱的三条 侧棱，故 C 不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶 点出发的三条棱，故 D 不正确． 5．如图所示，平面 α⊥平面 β，A∈α，B∈β，AB 与两平面 α，β所成的角分 别为 π 4 和 π 6 .过 A，B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为 A′，B′，则 AB∶A′B′ 等于( ) A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3 答案 A 解析 如图，由已知得 AA′⊥面 β，∠ABA′＝ π 6 ，BB′⊥面 α，∠BAB′＝ π 4 .设 AB＝a，则 BA′＝ 3 2 a，BB′＝ 2 2 a，在 Rt△BA′B′中，A′B′＝ 1 2 a，∴ AB∶A′B′＝2∶1. 6．用 m，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( ) A．若 m∥n，n⊂α，则 m∥α B．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n C．若 m⊥n，n⊂α，则 m⊥α D．若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n 答案 D 解析 若 m∥n，n⊂α，则 m∥α或 m⊂α，故排除 A；若 m∥α，n⊂α，则 m ∥n 或 m，n 异面，故排除 B；若 m⊥n，n⊂α，则不能得出 m⊥α，例如，m⊥n， n⊂α，m⊂α，则 m 与 α不垂直，故排除 C.故选 D. 7．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，下面说法正确的是( ) A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB C．AC1与 DC 成 45°角 D．A1C1与 B1C 成 60°角 答案 D 解析 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，异面直线 A1C1与 AD 所成的角 为 45°；直线 D1C1与直线 AB 平行；异面直线 AC1与 DC 所成的角的大小为∠C1AB 的大小，其正切值为 BC1 AB ＝ 2≠1，所以异面直线 AC1 与 DC 所成的角不是 45°； 连接 A1D，DC1，因为 A1D∥B1C，所以异面直线 A1C1与 B1C 所成的角就是直线 A1C1 与直线 A1D 所成的角．而△A1DC1 是等边三角形，所以∠C1A1D＝60°，即 A1C1与 B1C 所成的角为 60°.所以答案选 D. 8．如图，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知△A′DE 是△ADE 绕边 DE 旋转过程中的一个图形．现给出下列命题：①恒有直线 BC∥ 平面 A′DE；②恒有直线 DE⊥平面 A′FG；③恒有平面 A′FG⊥平面 A′DE. 其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D 解析 由 BC∥DE 知，恒有直线 BC∥平面 A′DE，①正确；由 DE⊥A′G， DE⊥FG 知，恒有直线 DE⊥平面 A′FG，②正确；由直线 DE⊥平面 A′FG， DE⊂平面 A′DE 知，恒有平面 A′FG⊥平面 A′DE，③正确． 9．如图，在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 6 的正三角形，SA＝SB＝ SC＝15，平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA 交于点 D，E，F，H，且 D，E 分 别是AB，BC的中点，如果直线 SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( ) A. 45 2 B. 45 3 2 C．45 D．45 3 答案 A 解析 取 AC 的中点 G，连接 SG，BG.易知 SG⊥AC，BG⊥AC，故 AC⊥平 面 SGB，所以 AC⊥SB.因为 SB∥平面 DEFH，SB⊂平面 SAB，平面 SAB∩平面 DEFH＝HD，所以 SB∥HD.同理 SB∥FE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H， F 也分别为 AS，SC 的中点，从而得 HF 綊 1 2 AC 綊 DE，所以四边形 DEFH 为平行 四边形．又 AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以 DE⊥HD，所以四边形 DEFH 为 矩形，其面积 S＝HF·HD＝      1 2 AC ·      1 2 SB ＝ 45 2 . 10．PA，PB，PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 60°， 那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 3 答案 C 解析 构造正方体如图所示，连接 AB，过点 C 作 CO⊥平面 PAB，垂足为 O， 易知 O 是正三角形 ABP 的中心，连接 PO 并延长交 AB 于 D，于是∠CPO 为直线 PC 与平面 PAB 所成的角．设 PC＝a，则 PD＝ 3a 2 ，故 PO＝ 2 3 PD＝ 3 3 a，故 cos ∠CPO＝ PO PC ＝ 3 3 .故选 C. 11．已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的不同点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC， AB＝1，BC＝ 2，若球 O 的表面积为 4π，则 SA＝( ) A. 2 2 B．1 C. 2 D. 3 2 答案 B 解析 根据已知把 S－ABC补成如图所示的长方体．因为球 O的表面积为 4π， 所以球 O 的半径 R＝1,2R＝ SA2＋1＋2＝2，解得 SA＝1，故选 B. 12．在梯形 ABCD 中，∠ABC＝ π 2 ，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A. 2π 3 B. 4π 3 C. 5π 3 D．2π 答案 C 解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线 旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆的半径，线段 BC 为母线的 圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆的半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体 的体积为 V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB2·BC－ 1 3 ·π·CE2·DE＝π×12×2－ 1 3 π×12×1＝ 5π 3 ， 故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横 线上) 13．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF；②AB 与 CM 所成的角为 60°；③EF 与 MN 是异面直线；④MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为________． 答案 ①③ 解析 把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．因为 AB∥MC，MC ⊥EF，所以 AB⊥EF，故①正确，②错误；EF 与 MN 是异面直线，故③正确；易 知 MN⊥CD，故④错误．故填①③. 14．如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 4，D 为 BC 的中点，沿 AD 把△ ADC 折叠到△ADC′处，使二面角 B－AD－C′为 60°，则折叠后二面角 A－BC′ －D 的正切值为________． 答案 2 解析 易知∠BDC′即为二面角 B－AD－C′的平面角，则∠BDC′＝60°， 所以△BDC′为等边三角形．取 BC′的中点 M，连接 DM，AM，易知 DM⊥BC′， AM⊥BC′，所以二面角 A－BC′－D 的平面角为∠AMD.在等边三角形 ABC 中， 易知 AD＝2 3，在等边三角形 BDC′中，易知 DM＝ 3，所以 tan∠AMD＝ AD DM ＝ 2. 15．已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝a，若 PA⊥平面 AC，在 BC 边上取点 E，使 PE⊥DE，则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围是________． 答案 a>6 解析 如图所示，连接 AE，要使 PE⊥DE，由于 DE⊥PA，则需 DE⊥AE. 要使在矩形 ABCD 中，∠AED＝90°， 满足条件的 E 点有两个， 则需以 AD 为直径的圆与 BC 相割． ∴圆心到 BC 边的距离 d6. 16．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为 3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时， 液面高度为 20 cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为 28 cm，则这 个简单几何体的总高度为________cm. 答案 29 解析 设上、下圆柱的半径分别是 r cm，R cm，高分别是 h cm，H cm.由水 的体积不变得 πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h)，又 r＝1，R＝3，故 H＋h＝ 29.即这个简单几何体的总高度为 29 cm. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)有一根长为 3π cm，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管， 用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端， 求铁丝的最短长度． 解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图所 示)，由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm，点 A、点 C 分别是铁丝的起、止位置， 故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2＋BC2＝5π cm，故铁丝的最短 长度为 5π cm. 18.(本小题满分 12 分)如图所示，四边形 ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图 中阴影部分绕 AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积． 解 由题意知，所成几何体的表面积＝圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半 球面的面积． 又 S 半球面＝ 1 2 ×4π×22＝8π(cm2)， S 圆台侧＝π×(2＋5)× (5－2)2＋42＝35π(cm2)， S 圆台下底＝π×52＝25π(cm2)， 所以所得几何体的表面积为 S 半球面＋S 圆台侧＋S 圆台下底 ＝8π＋35π＋25π＝68π(cm2)． 又 V 圆台＝ π 3 ×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)， V 半球＝ 1 2 × 4π 3 ×23＝ 16π 3 (cm3)， 所以所得几何体的体积为 V 圆台－V 半球＝52π－ 16π 3 ＝ 140π 3 (cm3)． 19．(本小题满分 12 分)如图，已知四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形， AA1⊥平面 ABCD，∠DAB＝60°，AD＝AA1，F 为棱 AA1 的中点，M 为线段 BD1 的中点． 求证：(1)MF∥平面 ABCD； (2)MF⊥平面 BDD1B1. 证明 (1)如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO， ∴OM 綊 1 2 DD1. 又 DD1綊 A1A，∴OM 綊 1 2 A1A. 又 AF＝ 1 2 A1A，∴OM 綊 AF， ∴四边形 MOAF 是平行四边形， ∴MF∥CA. 又 CA⊂平面 ABCD，MF⊄平面 ABCD， ∴MF∥平面 ABCD. (2)∵底面 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD. 又 B1B⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， ∴AC⊥B1B，而 BD∩B1B＝B， ∴AC⊥平面 BDD1B1. 又 MF∥AC，∴MF⊥平面 BDD1B1. 20．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABC －A1B1C1中，F，F1分别是 AC，A1C1的中点．求证： (1)平面 AB1F1∥平面 C1BF； (2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 证明 (1)如图所示，连接 FF1，在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，A1C1綊 AC， BB1綊 CC1. ∵F，F1分别是 AC，A1C1的中点， ∴C1F1綊 AF 綊 1 2 AC，FF1綊 CC1綊 BB1， ∴四边形 AFC1F1 和四边形 BFF1B1均为平行四边形， ∴B1F1∥BF，AF1∥C1F. ∵B1F1⊄平面 C1BF，BF⊂平面 C1BF， ∴B1F1∥平面 C1BF. 同理 AF1∥平面 C1BF，又 B1F1∩AF1＝F1， ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF. (2)在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面 A1B1C1， 又 B1F1⊂平面 A1B1C1，∴B1F1⊥AA1. 又 B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1， ∴B1F1⊥平面 ACC1A1，而 B1F1⊂平面 AB1F1， ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 21．(本小题满分 12 分)如图①，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝ π 2 ， AB＝BC＝ 1 2 AD＝a，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点．将△ABE 沿 BE 折 起到图②中△A1BE 的位置，得到四棱锥 A1－BCDE. (1)证明：CD⊥平面 A1OC； (2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时，四棱锥 A1－BCDE 的体积为 36 2，求 a 的 值． 解 (1)证明：在图①中，因为 AB＝BC＝ 1 2 AD＝a，E 是 AD 的中点，∠BAD ＝ π 2 ，所以 BE⊥AC. 即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又 A1O∩OC＝O，从而 BE⊥平面 A1OC. 因为 BC 綊 1 2 AD 綊 ED，所以四边形 BCDE 为平行四边形， 所以 CD∥BE，所以 CD⊥平面 A1OC. (2)由已知，平面 A1BE⊥平面 BCDE， 且平面 A1BE∩平面 BCDE＝BE， 又由(1)可得 A1O⊥BE，所以 A1O⊥平面 BCDE. 即 A1O 是四棱锥 A1－BCDE 的高． 由图①知，A1O＝ 2 2 AB＝ 2 2 a，平行四边形 BCDE 的面积 S＝BC·AB＝a2， 从而四棱锥 A1－BCDE 的体积为 V＝ 1 3 S·A1O＝ 1 3 ×a2× 2 2 a＝ 2 6 a3. 由 2 6 a3＝36 2，得 a＝6. 22．(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD＝ π 3 ，△PAD 是等边三角形，F 为 AD 的中点，PD⊥BF. (1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 在线段 BC 上，且 EC＝ 1 4 BC，能否在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG⊥平面 ABCD？若存在，求出三棱锥 D－CEG 的体积；若不存在，请说明理 由． 解 (1)证明：连接 PF，∵△PAD 是等边三角形， ∴PF⊥AD. ∵底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝ π 3 ， ∴BF⊥AD. 又 PF∩BF＝F，∴AD⊥平面 BFP， 又 PB⊂平面 BFP，∴AD⊥PB. (2)能在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG⊥平面 ABCD. 由(1)知 AD⊥BF， ∵PD⊥BF，AD∩PD＝D， ∴BF⊥平面 PAD. 又 BF⊂平面 ABCD，∴平面 ABCD⊥平面 PAD， 又平面 ABCD∩平面 PAD＝AD，且 PF⊥AD， ∴PF⊥平面 ABCD. 连接 CF 交 DE 于点 H，过 H 作 HG∥PF 交 PC 于 G， ∴GH⊥平面 ABCD. 又 GH⊂平面 DEG，∴平面 DEG⊥平面 ABCD. ∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH， ∴ CH HF ＝ CE DF ＝ 1 2 ， ∴ CG GP ＝ CH HF ＝ 1 2 ， ∴GH＝ 1 3 PF＝ 3 3 ， ∴VD－CEG＝VG－CDE＝ 1 3 S△CDE·GH ＝ 1 3 × 1 2 DC·CE·sin π 3 ·GH＝ 1 12 .