高中数学人教A版（2019）必修一同步练习题4.5 函数的应用（一）(1)

1 第五章 函数的应用（二） 4.5.3 函数模型的应用 一、选择题 1．（2019·全国高一课时练习）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=-x2+21x 和 L2=2x,其中销售量为 x(单位:辆).若该公司在两地共销售 15 辆,则能获得的最大利润为 ( ) A．90 万元 B．120 万元 C．120.25 万元 D．60 万元 【答案】B 【解析】设该公司在甲地销售 x 辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润 y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得 y=-x2+19x+30.因为该函数图象的对称轴为 x= 19 2 ,开口向下, 又 x∈N,所以当 x=9 或 x=10 时,y取得最大值 120 万元 2．（2019·全国高一课时练习）“红豆生南国，春来发几枝？”下图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y 的散点图，那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( ) A．指数函数 y＝2t B．对数函数 y＝log2t C．幂函数 y＝t3 D．二次函数 y＝2t2 【答案】A 【解析】根据已知所给的散点图，观察到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速 度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数模拟较好，故选 A. 3．（2019·全国高一课时练习）拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的话费符合 ( )  ( ) 3.71,0 4 { ? 1.06 0.5 2 , 4 m f m m m   =  +  其中 m 表示不超过 m 的最大整数，从甲地到乙地通话 5.2 分 钟的话费是( ) A．3.71 B．4.24 2 C．4.77 D．7.95 【答案】C 【解析】 ( )  ( ) ( )5.2 1.06 0.5 5.2 2 1.06 2.5 2 4.77f =   + =  + = ,故选 C. 4．（2019·全国高一课时练）在一次为期 15 天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接 送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐 40 人，已知第 t 日参加比赛的运动员人数 M 与 t 的关系是 M(t)＝ 2 30 60,1 6, , 3 61 88,7 15, , t t t Z t t t t Z +     − + +    为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方 应至少准备大巴车的数量是( ) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】当1 6t  时，函数为一次函数，单调递增，当 6t = 时取得最大值，即 30 6 60 8 40  + = . 当7 15t  时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为 61 6 t = ，由于 t 为整数，故当 0t = 时取 得最大值，即 300 610 88 10 40 − + +  ，故选D . 5．（2019·全国高一课时练习） 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y＝ 其中，x代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．40 C．25 D．130 【答案】C 【解析】由题意，当4x 60= 时，  )x 15 1,10=  ；当2x 10 60+ = 时，  )x 25 10 100=  ， ；当1.5x 60= 时，  )x 40 100 =  +， ；故选 C 6．（2019·全国高一课时练）下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是( ) 3 (1)这几年生活水平逐年得到提高； (2)生活费收入指数增长最快的一年是 2013 年； (3)生活价格指数上涨速度最快的一年是 2014 年； (4)虽然 2015 年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由图可知，生活费收入指数与生活价格指数在同一个时间点上的差值越来越大，说明生活 水平逐年得到提高，故（1）正确；从折线段的倾斜程度，可知生活费收入指数增长最快的一年是 2013 年，故（2）正确，（3）错误；由图可知，（4）正确。 点睛：在理解题目的基础上正确地对函数图像的识别与分析是解决本题的关键. 二、填空题 7．（2019·全国高一课时练习）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产 的摩托车数量 x （辆）与创造的价值 y （元）之间满足二次函数关系。已知产量为 0 时，创造的价 值也为 0；当产量为 55 辆时，创造的价值达到最大 6050 元。若这家工厂希望利用这条流水线创收 达到 6000 元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是 _____________ ； 【答案】50 辆 【解析】由题意，设摩托车数量 x （辆）与创造的价值 y （元）之间满足二次函数 ( ) ( ) 2 55 6050 0y a x a= − +  ,又 0, 0, 2x y a= =  = − ，故 22 220y x x= − + ，则 22 220 6000x x− +  ，解得50 60x  ，故答案为 50 辆 8．（2019·全国高一课时练）某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下 5 个模拟函数： ①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝ ＋1.74 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)． 【答案】④ 【解析】画出散点图如图所示． 4 由图可知上述点大体在函数 y＝log2x的图象上，故选择 y＝log2x 可以近似地反映这些数据的规律．故 填④.答案：④ 9．（2019·全国高一课时练）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区 的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位： 元/千瓦时) 低谷月用电量(单位： 千瓦时) 低谷电价(单位：元 /千瓦时) 50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，则按这种 计费方式该家庭本月应付的电费为____________元．(用数字作答) 【答案】145.4 【解析】在高峰时段，用电费用为50 0.568 150 0.598 118.1 +  = ，低谷时段用电费用为 50 0.288 50 0.318 27.3 +  = ，故总的费用为118.1 27.3 145.4+ = 元 10．（2019·全国高一课时练）表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 80 km 的甲、乙两 城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅 行者的如下信息： 5 ①骑自行车者比骑摩托车者早出发 3 h，晚到 1 h； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发 1.5 h 后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发 1.5 h 后与骑自行车者速度一样． 其中，正确信息的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动， 而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交 点的横坐标对应着 4.5，故③正确，④错误．故答案为①②③. 三、解答题 11．（2019·全国高一课时练）有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲 中心每小时 5 元；乙中心按月计算，一个月中 30 小时以内(含 30 小时)90 元，超过 30 小时的部分每 小时 2 元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于 15 小时，也不超 过 40 小时． (1)设在甲中心健身活动 x(15≤x≤40)小时的收费为 f(x)元，在乙中心健身活动 x小时的收费为 g(x)元， 试求 f(x)和 g(x)； (2)问：选择哪家比较合算？为什么？ 【答案】（1）f(x)＝5x,15≤x≤40，g(x)＝ ；（2）当 15≤x＜18 时，选甲比较合算； 当 x＝18 时，两家一样合算；当 18＜x≤40 时，选乙比较合算． 【解析】 (1)f(x)＝5x,15≤x≤40，；g(x)＝ (2)当 5x＝90 时，x＝18，即当 15≤x＜18 时，f(x)＜g(x)； 当 x＝18 时，f(x)＝g(x)，当 18＜x≤40 时，f(x)＞g(x)． 所以当 15≤x＜18 时，选甲比较合算；当 x＝18 时，两家一样合算；当 18＜x≤40 时，选乙比较合算． 12．（2019·青海平安一中高一课时练习）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力 依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的 时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用 ( )f x 表 示学生掌握和接受概念的能力（ ( )f x 的值越大，表示接受能力越强）， x 表示提出和讲授概念的时 6 间（单位：分），可以有以下公式： ( ) 20.1 2.6 43(0 10) { 59(10 16) 3 107(16 30) x x x f x x x x − + +   =   − +   ． （1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？ （2）开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较，学生的接受能力何时强一些？ （3）一个数学难题，需要 55 的接受能力以及 13 分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接 受能力的状态下讲授完这个难题？ 【答案】（1）能维持 6 分钟时间（2）开讲 5 分钟时学生的接受能力比开讲 20 分钟时要强一些（3） 来不及 【解析】（1）当0 10x  时， ( ) ( )0.1 2 2.6 43 0.1 13 2 59.9f x x x= −  + + = − −  + 故 ( )f x 在0 10x  时递增，最大值为 ( ) ( )10 0.1 10 13 2 59.9 59f = − −  + = 当10 16x  时， ( ) 59f x = 当 16x  时， ( )f x 为减函数，且 ( ) 59f x  因此，开讲 10 分钟后，学生达到最强接受能力（为 59），能维持 6 分钟时间． （2） ( ) ( )5 0.1 5 13 2 59.9 53.5f = − −  + = ( )20 3 20 107 47 53.5f = −  + =  故开讲 5 分钟时学生的接受能力比开讲 20 分钟时要强一些 （3）当0 10x  时，令 ( ) 55f x = ，解得 6x = 或 20（舍） 当 16x  时，令 ( ) 55f x = ，解得 1 17 3 x = 因此学生达到（含超过）55 的接受能力的时间为 1 1 17 6 11 13 3 3 − =  （分） 老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．