高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.2.2 导数的四则运算法则同步练习
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高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.2.2 导数的四则运算法则同步练习

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时间:2021-06-23

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资料简介
2021 年高中数学人教 A 版(新教材)选择性必修第二册 5.2.2 导数的四则运算法则 1.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( ) A.-1 B.-2 C.2 D.0 2.函数 y= x2 x+3 的导数是( ) A.x2+6x x+32 B.x2+6x x+3 C. -2x x+32 D.3x2+6x x+32 3.曲线 f(x)=xln x 在点 x=1 处的切线方程为( ) A.y=2x+2 B.y=2x-2 C.y=x-1 D.y=x+1 4.设曲线 y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知直线 y=3x+1 与曲线 y=ax3+3 相切,则 a 的值为( ) A.1 B.±1 C.-1 D.-2 11.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+ln x,则 f′(e)=( ) A.e-1 B.-1 C.-e-1 D.-e 12.若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 6.曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为________. 7.已知曲线 y1=2-1 x 与 y2=x3-x2+2x 在 x=x0 处切线的斜率的乘积为 3,则 x0=________. 8.已知函数 f(x)=f′ π 4 cos x+sin x,则 f π 4 的值为________. 13.曲线 y= x 2x-1 在点(1,1)处的切线为 l,则 l 上的点到圆 x2+y2+4x+3=0 上的点的最近 距离是________. 9.求下列函数的导数: (1)y= x-ln x;(2)y=(x2+1)(x-1); (3)y= x2 sin x ;(4)y= x+3 x2+3 . 10.偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P(0,1),且在 x=1 处的切线方程为 y=x -2,求 f(x)的解析式. 14.已知曲线 f(x)=x3+ax+b 在点 P(2,-6)处的切线方程是 13x-y-32=0. (1)求 a,b 的值; (2)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 l:y=-1 4x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 15.设 fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2. (1)求 fn′(2); (2)证明:fn(x)在 0, 2 3 内有且仅有一个零点(记为 an),且 0<an-1 2 < 2n 3n+1. 参考答案 1.答案:B 解析:∵f′(x)=4ax3+2bx 为奇函数,∴f′(-1)=-f′(1)=-2. 2.答案:A 解析:y′= x2 x+3 ′=x2′x+3-x2x+3′ x+32 =2xx+3-x2 x+32 =x2+6x x+32. 3.答案:C 解析:∵f′(x)=ln x+1,∴f′(1)=1,又∵f(1)=0, ∴在点 x=1 处曲线 f(x)的切线方程为 y=x-1. 4.答案:D 解析:y′=a- 1 x+1 ,由题意得 y′|x=0=2,即 a-1=2,所以 a=3. 5.答案:A 解析:设切点为(x0,y0),则 y0=3x0+1,且 y0=ax30+3,所以 3x0+1=ax30+3①. 对 y=ax3+3 求导得 y′=3ax2,则 3ax20=3,ax20=1②,由①②可得 x0=1,所以 a=1. 6.答案:C 解析:∵f(x)=2xf′(e)+ln x,∴f′(x)=2f′(e)+1 x , ∴f′(e)=2f′(e)+1 e ,解得 f′(e)=-1 e ,故选 C. 7.答案: C 解析:∵f(x)=x2-2x-4ln x,∴f′(x)=2x-2-4 x >0, 整理得x+1x-2 x >0,解得-1<x<0 或 x>2, 又∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴x>2. 8.答案:2x-y+1=0 解析:∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2. ∴切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+1=0. 9.答案:1 解析:由题知 y′1=1 x2 ,y′2=3x2-2x+2,所以两曲线在 x=x0 处切线的斜率分别为1 x20 ,3x20- 2x0+2,所以3x20-2x0+2 x20 =3,所以 x0=1. 10.答案:1 解析:∵f′(x)=-f′ π 4 sin x+cos x,∴f′ π 4 =-f′ π 4 × 2 2 + 2 2 , 得 f′ π 4 = 2-1,∴f(x)=( 2-1)cos x+sin x,∴f π 4 =1. 11.答案:2 2-1 解析:y′=- 1 2x-12 ,则 y′|x=1 =-1,∴切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0,圆 心(-2,0)到直线的距离 d=2 2,圆的半径 r=1,∴所求最近距离为 2 2-1. 12.解:(1)y′=( x-ln x)′=( x)′-(ln x)′= 1 2 x -1 x. (2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′ =(x3)′-(x2)′+(x)′-(1)′=3x2-2x+1. (3)y′=x2′·sin x-x2·sin x′ sin2x =2xsin x-x2cos x sin2x . (4)y′=1·x2+3-x+3·2x x2+32 =-x2-6x+3 x2+32 . 13.解:∵f(x)的图象过点 P(0,1),∴e=1. 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 故 ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0,d=0,∴f(x)=ax4+cx2+1. ∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, ∴切点为(1,-1).∴a+c+1=-1. ∵f′(1)=4a+2c,∴4a+2c=1,∴a=5 2 ,c=-9 2. ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=5 2x4-9 2x2+1. 14.解:(1)∵f(x)=x3+ax+b 的导数 f′(x)=3x2+a, 由题意可得 f′(2)=12+a=13,f(2)=8+2a+b=-6, 解得 a=1,b=-16. (2)∵切线与直线 y=-1 4x+3 垂直,∴切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3x20+1=4,∴x0=±1. 由 f(x)=x3+x-16,可得 y0=1+1-16=-14,或 y0=-1-1-16=-18. 则切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 4x-y-18=0 或 4x-y-14=0. 15.(1) 解:由题设 fn′(x)=1+2x+…+nxn-1. 所以 fn′(2)=1+2×2+…+(n-1)2n-2+n·2n-1,① 则 2fn′(2)=2+2×22+…+(n-1)2n-1+n·2n,② ①-②得, -fn′(2)=1+2+22+…+2n-1-n·2n=1-2n 1-2 -n·2n=(1-n)·2n-1, 所以 fn′(2)=(n-1)·2n+1. (2)证明:因为 f(0)=-1<0,x≥0,n≥2. fn 2 3 = 2 3 1- 2 3 n 1-2 3 -1=1-2× 2 3 n≥1-2× 2 3 2>0, 所以 fn(x)=x+x2+…+xn-1 为增函数, 所以 fn(x)在 0, 2 3 内单调递增, 因此 fn(x)在 0, 2 3 内有且仅有一个零点 an. 由于 fn(x)=x-xn+1 1-x -1,所以 0=fn(an)=an-an+1n 1-an -1, 由此可得 an=1 2 +1 2an+1n >1 2 ,故1 2 <an<2 3. 所以 0<an-1 2 =1 2an+1n <1 2× 2 3 n+1= 2n 3n+1.

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