2021 年高中数学人教 A 版(新教材)选择性必修第二册 5.2.2
导数的四则运算法则
1.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( )
A.-1 B.-2 C.2 D.0
2.函数 y= x2
x+3
的导数是( )
A.x2+6x
x+32 B.x2+6x
x+3
C.
-2x
x+32 D.3x2+6x
x+32
3.曲线 f(x)=xln x 在点 x=1 处的切线方程为( )
A.y=2x+2 B.y=2x-2
C.y=x-1 D.y=x+1
4.设曲线 y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知直线 y=3x+1 与曲线 y=ax3+3 相切,则 a 的值为( )
A.1 B.±1 C.-1 D.-2
11.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+ln x,则 f′(e)=( )
A.e-1 B.-1 C.-e-1 D.-e
12.若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为( )
A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(-1,0)
6.曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为________.
7.已知曲线 y1=2-1
x
与 y2=x3-x2+2x 在 x=x0 处切线的斜率的乘积为 3,则 x0=________.
8.已知函数 f(x)=f′
π
4 cos x+sin x,则 f
π
4 的值为________.
13.曲线 y= x
2x-1
在点(1,1)处的切线为 l,则 l 上的点到圆 x2+y2+4x+3=0 上的点的最近
距离是________.
9.求下列函数的导数:
(1)y= x-ln x;(2)y=(x2+1)(x-1);
(3)y= x2
sin x
;(4)y= x+3
x2+3
.
10.偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P(0,1),且在 x=1 处的切线方程为 y=x
-2,求 f(x)的解析式.
14.已知曲线 f(x)=x3+ax+b 在点 P(2,-6)处的切线方程是 13x-y-32=0.
(1)求 a,b 的值;
(2)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 l:y=-1
4x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程.
15.设 fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2.
(1)求 fn′(2);
(2)证明:fn(x)在 0, 2
3 内有且仅有一个零点(记为 an),且 0<an-1
2
< 2n
3n+1.
参考答案
1.答案:B
解析:∵f′(x)=4ax3+2bx 为奇函数,∴f′(-1)=-f′(1)=-2.
2.答案:A
解析:y′=
x2
x+3 ′=x2′x+3-x2x+3′
x+32
=2xx+3-x2
x+32
=x2+6x
x+32.
3.答案:C
解析:∵f′(x)=ln x+1,∴f′(1)=1,又∵f(1)=0,
∴在点 x=1 处曲线 f(x)的切线方程为 y=x-1.
4.答案:D
解析:y′=a- 1
x+1
,由题意得 y′|x=0=2,即 a-1=2,所以 a=3.
5.答案:A
解析:设切点为(x0,y0),则 y0=3x0+1,且 y0=ax30+3,所以 3x0+1=ax30+3①.
对 y=ax3+3 求导得 y′=3ax2,则 3ax20=3,ax20=1②,由①②可得 x0=1,所以 a=1.
6.答案:C
解析:∵f(x)=2xf′(e)+ln x,∴f′(x)=2f′(e)+1
x
,
∴f′(e)=2f′(e)+1
e
,解得 f′(e)=-1
e
,故选 C.
7.答案: C
解析:∵f(x)=x2-2x-4ln x,∴f′(x)=2x-2-4
x
>0,
整理得x+1x-2
x
>0,解得-1<x<0 或 x>2,
又∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴x>2.
8.答案:2x-y+1=0
解析:∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2.
∴切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+1=0.
9.答案:1
解析:由题知 y′1=1
x2
,y′2=3x2-2x+2,所以两曲线在 x=x0 处切线的斜率分别为1
x20
,3x20-
2x0+2,所以3x20-2x0+2
x20
=3,所以 x0=1.
10.答案:1
解析:∵f′(x)=-f′
π
4 sin x+cos x,∴f′
π
4 =-f′
π
4 × 2
2
+ 2
2
,
得 f′
π
4 = 2-1,∴f(x)=( 2-1)cos x+sin x,∴f
π
4 =1.
11.答案:2 2-1
解析:y′=- 1
2x-12
,则 y′|x=1 =-1,∴切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0,圆
心(-2,0)到直线的距离 d=2 2,圆的半径 r=1,∴所求最近距离为 2 2-1.
12.解:(1)y′=( x-ln x)′=( x)′-(ln x)′= 1
2 x
-1
x.
(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′
=(x3)′-(x2)′+(x)′-(1)′=3x2-2x+1.
(3)y′=x2′·sin x-x2·sin x′
sin2x
=2xsin x-x2cos x
sin2x
.
(4)y′=1·x2+3-x+3·2x
x2+32
=-x2-6x+3
x2+32 .
13.解:∵f(x)的图象过点 P(0,1),∴e=1.
又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).
故 ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0,d=0,∴f(x)=ax4+cx2+1.
∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,
∴切点为(1,-1).∴a+c+1=-1.
∵f′(1)=4a+2c,∴4a+2c=1,∴a=5
2
,c=-9
2.
∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=5
2x4-9
2x2+1.
14.解:(1)∵f(x)=x3+ax+b 的导数 f′(x)=3x2+a,
由题意可得 f′(2)=12+a=13,f(2)=8+2a+b=-6,
解得 a=1,b=-16.
(2)∵切线与直线 y=-1
4x+3 垂直,∴切线的斜率 k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3x20+1=4,∴x0=±1.
由 f(x)=x3+x-16,可得 y0=1+1-16=-14,或 y0=-1-1-16=-18.
则切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18.
即 4x-y-18=0 或 4x-y-14=0.
15.(1) 解:由题设 fn′(x)=1+2x+…+nxn-1.
所以 fn′(2)=1+2×2+…+(n-1)2n-2+n·2n-1,①
则 2fn′(2)=2+2×22+…+(n-1)2n-1+n·2n,②
①-②得,
-fn′(2)=1+2+22+…+2n-1-n·2n=1-2n
1-2
-n·2n=(1-n)·2n-1,
所以 fn′(2)=(n-1)·2n+1.
(2)证明:因为 f(0)=-1<0,x≥0,n≥2.
fn
2
3 =
2
3
1-
2
3 n
1-2
3
-1=1-2×
2
3 n≥1-2×
2
3 2>0,
所以 fn(x)=x+x2+…+xn-1 为增函数,
所以 fn(x)在 0, 2
3 内单调递增,
因此 fn(x)在 0, 2
3 内有且仅有一个零点 an.
由于 fn(x)=x-xn+1
1-x
-1,所以 0=fn(an)=an-an+1n
1-an
-1,
由此可得 an=1
2
+1
2an+1n >1
2
,故1
2
<an<2
3.
所以 0<an-1
2
=1
2an+1n <1
2×
2
3 n+1= 2n
3n+1.