《一元二次方程复习》教学设计
一、教学内容分析
《一元二次方程》是初三数学下册第八章的内容，是在学习《一元一次方程》、《二元一
次方程》、《分式方程》等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程
是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的
重点内容．
本节是全章复习的第一课，即一元二次方程的概念及其解法，根的判别式，根与系数关系
几部分内容，重点是复习一元二次方程的解法以及梳理全章知识，形成系统认识。它既是对学
完全章后的一次小结、提高，同时又为第二节复习课（一元二次方程的应用）做准备。
二、学生学习情况分析
学生学完本章知识后，对全章还没有一个整体的、系统的认识，只知道在这一章中学习了的
一些零散的知识点，并不很清楚这些知识之间的联系。能解一些简单的一元二次方程，以及运用
一元二次方程的知识解决一些问题，但综合运用知识的能力不强，还需要在原有的基础上进行提
高、拓展。
三、设计思想
数学教学应培养学生自主探究学习的能力，自主探究不仅是知识的构建与运用、技能的形
成与巩固，也包含了生活经验的激活丰富与提升，学习策略的完善，情感的丰富和价值观的形成，
复习课更应该注重。教学中通过多媒体直观地展示了生活中的实例，从而引出生活中的数学问题。
上课伊始，就充分调动了他们的数学思维，跟随老师进入本节课的内容，整个教学过程中，选用
能激发学生的最大潜力的攻关式。让他们一直保持积极的心态面对本节课的复习任务，在学习兴
趣快要消退时，又选用了一组学生们喜欢的水果为代表进行的做题比赛，将他们的注意力又转移
到本节课的复习内容。教师在教学过程中真正做一个组织者、引导者、合作者，对学生交流过程
中有意义的结论要适时地进行拓展，对积极参与活动和认真思考的学生进行鼓舞，帮助他们树立
学习数学的信心，充分拓宽学生在数学活动中的空间。
四、教学目标
1.会辨别一元二次方程，知道解一元二次方程的方法和步骤，会利用根的判别式判断方程
根的情况，能借助根与系数的关系解决有关的类型题.
2. 能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，体会数学建模、转化的数学思想方法.
3. 能自主发现问题和提出问题，进而顺利地分析问题和解决问题，提升自身数学核心素养能力.
五、教学重点和难点
重点：1、会灵活运用不同方法解一元二次方程。
2、根的判别式的应用。
难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
解决措施：由于本节课的知识点主要以运算为主，如果只是停留在“做题”的基调上，课堂上难
以长时间调动学生的积极性。因此，对本节课的设计，主要采用攻关、比赛的模式循序渐进，还
增设了“课堂检测，提升素养”等环节，形成“问题情境——合作探究——应用与拓展——反馈”
的设计框架，以期取得较好的教学效果。
六、教学过程设计
（一）创设情境，提出问题
1．出示多媒体：利用课件播放“中国诗词大会”的电视栏目。并提出本节课的教学任务---
一元二次方程的复习
[学情预设]学生对诗词大会都很关注，很容易调动他们的学习积极性。
[设计意图] 上课伊始，利用学生熟悉的电视节目引入，充分吸引了学生的注意力，又能使
学生深刻体会到数学课堂的趣味性，意在培养学生善于联系、勤于思考的学习习惯。
（二）知识梳理，补全网络
一元二次方程的定义：
一般形式
配方法：
一
元
二 一元二次方程的解法
次
方 公式法：求根公式是
程
分解因式法：通过因式分解的途径，把方程转.
一元二次方程的应用
根的判别式：
1、变二次项系数为
2、把常数项移到等号
3、方程两边同时加上
4、转化为（x - k）² =h（h>0）型的形式
5、然后
（把一元二次方程转化为两个一元一次方程）求解
一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由 来判定：为了简便
常用“△”来表示，即△= 。
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根。
根与系数的关系：
设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为 x1,x2 那么 x1+x2= x1x2=
一元二次方程根与系数的关系常用的几种变形：
2 2
1 2x x =
1 2
1 1
x x
=
1 21 1x x =
[教师活动]学生前一天晚上作业是独立搜集、复习本章 知识点，课堂上利用提前构建的网络，
小组交流回顾本章的知识点，多媒体投放答案，给订正答案有问题的小组解惑。师和学生一起回
顾：利用根的判别式解题时，最需要注意的地方在哪里？在利用根与系数关系求一些字母值的问
题时，最容易被同学们忽略的地方在哪里？
[设计意图] 温故而知新，为了使学生在做题时，能正确、灵活运用有关概念、公式，设置了此
活动，此环节的设置既激发了学生的兴趣，又培养了学生的发散性思维，为后面的解题扫清了障
碍，铺平了道路。意在培养学生愿意回答问题、愿意总结问题、愿意倾听的习惯。
（三）巩固网络，基础过关
1、判断下面哪些方程是一元二次方程，是打“√”，不是打“×”.
2(1) 3 2 2 3 6 4x x x x （ ）（2） 822 xx （ ） （3） 112
xx （ ）
（4） 12 yx （ ） （5） 12 23 xx （ ） （6）ax2＋bx＋c = 1( )
2.若关于 x 的方程 02)1()2( 22
xmxm m 是一元二次方程，则 m= .
3.用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )
（A） 09922 xx 化为 100)1( 2 x （B） 0472 2 tt 化为
16
81)4
7( 2 t
（C） 0982 xx 化为 25)4( 2 x （D） 0243 2 xx 化为
9
10)3
2( 2 x
4.已知 1x 是方程 2 6 0x ax 的一个根，则 a=____________，另一个根为_________；
5.如果关于 x 的一元二次方程 kx2-6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
（A） k﹤1 （B）k≠0 （C）k﹤1 且 k≠0 （D）k＞1
6.快手园地：当 _________m 时，方程 032)1( 2 mmxxm 有两个实数根。
化成只含有 2121 xxxx 和 的形式
回思：1. 通过上面的基础练习你收获的解题经验有哪些？
2.结合上面所做题目反思自己的错点在哪？需要注意什么问题？
[学情预设]学生在完成了知识梳理，补全网络后，应该能比较顺利完成巩固网络。
[教师活动]
1. 教师在学生自主完成巩固网络中巡视课堂，并给学生指导。
2.集体订正，指出学生做题过程中出现的问题及今后做题中尽量注意步骤的规范性和选用简捷的
方法从而提高解题的效率。
[设计意图]
让同学们乘胜追击，在学生学习兴趣正高昂的时候，完成巩固网络，既提高了做题效率，又及时
巩固了本节复习的主要知识点，在订正题目的过程中让学生回思：还有没有其他的解题方法？通
过不同做法的比较，帮助学生形成方法的优化，对提高学生的计算能力有潜移默化的影响，同时
有利于培养学生善于观察、勤于思考的好习惯。
（四）典例示范，巩固提升
例题 1：用适当方法解方程：
(1) (x＋1)(2－x)=1 (2) 22 )52()2( xx
[学情预设]由于是复习课，大部分学生能求出方程的解，但方法的选择可能不太简洁，步骤也不
太规范。
[教师活动] 抽 2 名同学板演，其他学生在学案上独立完成．教学中让学生充分交流遇到要求解
的方程的做题思路，两题做完后我设计了回顾反思的环节让学生回思：（1）当方程中等式左边已
经是 A.B 的形式，而右侧不为 0 时，不可以直接用因式法来做，而要先化成一般形式，再具体选
用方法.
（2）解一元二次方程时,一定要先从整体上分析,选择适当的解法,若不能观察直接用分解因式法
解,可重新整理,对学过的知识要灵活应用.
（3）解一元二次方程常用因式分解法。当因式分解有困难时，就用公式法。配方法一般不用。
[设计意图]此环节的设置及时鼓舞了士气，保证了面向全体，争取后来居上。让学生在亲自体
验和探索中发现问题，总结解题方法的优劣，有助于提高学生思维的敏捷性和灵活性。
例题 2：已知关于 x 的方程 x2-2(m+1)x+m2=0.
(1)当 m 取什么值时,原方程没有实数根.
(2)对 m 选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和.
回思：（1）方程没有实数根需满足： 有实数根需满足
（2）一元二次方程根与系数的关系是; .
（3） 求两个实数根的平方和，应将其转化为含有两根和与两根积的 形式，而不提倡解方程。
[学情预设]第一问比较简单，由学生独立完成，第二问的条件比较复杂，部分学生审题存在一定
问题，可由小组讨论后完成。
[教师活动] 引导学生分析例题，看清题目有几个条件限制：(1)非零整数（2）两实数根的平方
和，最后引导学生及时进行回思。
[设计意图] 例题 2 的设置，进一步提升了学生的运算能力，通过例题学习及小组讨论获得解题
的基本思路及基本步骤，引发了学生的认知冲突，构建自己的知识体系。意在培养学生愿说、善
于思考、善于审题的学习习惯。
巩固提升
（一）将适合解下列一元二次方程的方法，填在后面的括号中.并选出一道快速解答。
（1） 22 1 64x ( 法） 解：
（2） 2 22 4 1 0x x ( 法）
（3） 25 4 4 5 0x x ( 法）
（4） 2 6 1 0x x ( 法）
（二）例题 2 变形
1.延用第（2）小题所取的 m 的值，试求下列代数式的值：
（1） 2 2
21
1 1
x x
； （2）快手园地： 2
1 2x x
2.若将例题 2 中的第（2）小题改为：已知两实数根的平方和是 28，求 m 的值。
回思：（1）遇到求含有 x1 和 x2 的代数式时，应想法将其转化为 x1+ x2 和 x1 x2 的形式，再进行计
算(2)利用根与系数关系求字母值时，需利用“△”进行检验。
拓展训练题：
3.已知关于 x 的方程 kx2+(k+1)x+
4
k =0 有两个不相等的实数根。
（1）：求 k 的取值范围
（2）是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数之和等于 0？若存在，求出 k 的值；若不存在，
请说明理由。
4.已知一个直角三角形的两直角边的长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两个根，求这个三角形的斜边
长。
回思：如何变形，才能充分利用根与系数的关系解题？
5.已知关于 x 的方程(c-b)x2+a-b=2(b-a)x 有两个相等的实数根。求证：以 a、b、c 为边所组成的
三角形是等腰三角形
[学情预设] 巩固提升（一）学生能顺利完成
[教师活动]巡视，了解学生的学习情况，并对学困生进行点拨指导
[设计意图]此练习的设置，及时巩固了例题，同时又发散了学生的思维，提高了学生解题过程中
计算的简捷性。使学生能够对所学知识达到熟练应用，体验解决问题的乐趣，同时精心选择练习
题，分层作业，使不同水平的学生都能获得不同的发展和提高。
（五）课堂检测，提升素养
1.已知方程 x2+kx =- 3 的一个根是-1，则 k= , 另一根为______
2.若 a 为方程 x2 +x-5=0 的解，则 a2 +a+1 的值为
3.一元二次方程 ax² +bx +c =0，若 x=1 是它的一个根，则 a+b+c= ，若 a -b+c=0，则
方程必有一根为 。
4.解方程：3x(x+2)=(x+2)
5.已知关于 x 的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，
当 m= 时是一元二次方程，
当 m= 时是一元一次方程，
当 m= 时，x=0。
6.m 取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
7.解方程：（y+2）2=(3y-1)2
8.已知 m 为非负整数，且关于 x 的一元二次方程 ：（m-2）x²-(2m-3)x+m+2=0 有两个实数根，
求 m 的值。
[学情预设]选用同学们喜欢的水果作为编号来选题，极大的调动了他们的兴趣，使注意力高度集
中。
[教师活动] 根据学生选择的水果出示相应的题目
[设计意图] 吸引学生的注意力，培养学生的数感能力，达到巩固本节知识的目的，同时也可锻
炼学生的做题速度和寻找解题的简捷方法。
（六）交流评价，总结反思
我们相信，没有回顾反思，学生是不可能获得本质上的进步的，因此，我让学生反思总结，
畅谈收获：通过本节课的学习，我发现了什么？学会了什么？我还有哪些困惑？我能解决些什么
问题？自己和他人的表现如何等等．这样有助于学生理清思路，梳理知识，加深对知识的理解和
巩固，锻炼归纳总结能力．
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