苏科版九年级中考第二轮复习分类——四边形提优练习
一、基础练习:
1、如图,在矩形 ABCD 中, BF CE ,求证: AE DF .
2、如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD,相交于点 O,EF 过点 O 且与 AB、CD 分
别相交于点 E、F,求证:AE=CF.
3、如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AC、BD 相交于点 O,且 O 是 BD 的中点.
求证:四边形 ABCD 是平行四边形.
4、如图,BD 为□ABCD 的对角线,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为 E、F.
求证:BE=DF.
5、如图,在□ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,
经过点 O 的直线交 AB 于 E,交 CD 于 F.求证:OE=OF.
A
B C
D
E
F
6、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 为 AB 边上的中线,过点 C 作 CE//AB,过点 B 作
BE//CD,CE、BE 相交于点 E.求证:四边形 BECD 为菱形.
7、如图,平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、AD 的中点,求证:∠ABF=∠CDE.
8、如图,在平行四边形 ABCD 中,已知点 E 在 AB 上,点 F 在 CD 上,且 AE=CF.求证:
DE=BF.
9、如图,在□ABCD 中,点 E、F 分别在 AD、BC 边上,且 AE=CF,
求证:BE∥FD.
能力提优:
1、如图,已知四边形 ABDE 是平行四边形,C 为边 BD 延长线上一点,连结 AC、CE,使
AB=AC.
(1)求证:△BAD≌△AEC;
A
B C
DE
F
E
AC
B
D
(2)若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10.
求平行四边形 ABDE 的面积.
2、如图,在△ABC 中,CD 是 AB 边上的中线,E 是 CD 的中点,过点 C 作 AB 的平行线交
AE 的延长线于点 F,连接 BF.
(1)求证:CF=AD;
(2)若 CA=CB,试判断四边形 CDBF 的形状,并说明理由.
3、已知:平行四边形 ABCD 中,延长 DA 到点 E,延长 BC 到点 F,使得 AE=CF,连接
EF,分别交 AB、CD 于点 M、N,连接 DM、BN.
(1)求证:△AEM≌△CFN;
(2)求证:四边形 BMDN 是平行四边形.
4、如图,已知△ABC,请用直尺(不带刻度),和圆规,按下列要求作图(不要求写作法,
但要保留作图痕迹).
(1)作菱形 AMNP,使点 M,N、P 在边 AB、BC、CA 上;
(2)当∠A=60°,AB=8,AC=6 时,求菱形 AMNP 的面积.
5、如图,□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E,F 在 AC 上,且 AE = CF,EF= BD.求
证:四边形 EBFD 是矩形.
B
A D
C
O
E
F
6、如图,在□ABCD 中,点 E、F 分别在边 AD、BC 上,且 DE=BF,直线 EF 与 BA、DC
的延长线分别交于点 G,H.求证:
(1)△DEH≌△BFG;
(2)AG=CH.
7、如图,□ABCD 中,E 为 AD 的中点,直线 BE,CD 相交于点 F.连接 AF,BD.
(1)求证:AB=DF;
(2)若 AB=BD,求证:四边形 ABDF 是菱形.
A D
F
E
B C
8、如图,在□ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、BC 的中点,分别连接 BE、DF、BD.(1)
求证:△AEB≌△CFD;
(2)若四边形 EBFD 是菱形,求∠ABD 的度数.
9、如图,▱ABCD 中,点 E 是 AB 边的中点,DE 与 CB 的延长线交于点 F.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)若 DF 平分∠ADC,连接 CE.试判断 CE 和 DF 的位置关系,并说明理由.
10、如图,□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.E、F 是 AC 上的两点,并且 AE=CF,
连接 DE,BF.
(1)求证:△DOE≌△BOF;
(2)若 BD=EF,连接 DE,BF.判断四边形 EBFD 的形状,并说明理由.
A
B C
D
F
E
11、如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AC、BD 相交于点 O,且 O 是 BD 的中点.
(1)求证:四边形 ABCD 是平行四边形;
(2)若 AC=8,BD=12,且 AC⊥BD,求□ABCD 的面积.
12、如图,在□ABCD 中,AE、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC,交 CD 于点 E、F,AE、
BF 相交于点 M.
(1)试说明:AE⊥BF;
(2)判断线段 DF 与 CE 的大小关系,并予以说明.
13、如图,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,且 AC⊥BC,点 E 是 BC 延长
线上一点, AD
BE
=1
2
,连接 DE.求证:四边形 ACED 为矩形.
M
F
E
D
C
B
A
14、如图,已知矩形 ABCD 中,E 是 AD 上的一点,F 是 AB 上的一点,EF⊥EC,且 EF=EC,
DE=4,矩形 ABCD 的周长为 32 cm,求 AE 的长.
15、如图,在□ABCD 中,E 是 AD 边上的中点,连接 BE,并延长 BE 交 CD 的延长线于点
F.
(1)证明:FD=AB;
(2)当□ABCD 的面积为 8 时,求△FED 的面积.
压轴题:
1、若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC 是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的 AC 的长;
(2)如图 1,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 BD 平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求
证:△ABC 是比例三角形.
(3)如图 2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求BD
AC
的值.
2、如图,矩形 ABCD 中,AB=4,AD=3,M 是边 CD 上一点,将△ADM 沿直线 AM 对
折,得到△ANM.
(1)当 AN 平分∠MAB 时,求 DM 的长;
(2)连接 BN ,当 DM=1 时,求△ABN 的面积;
(3)当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时,求 DF 的最大值.
3、(1)如图 1,将矩形 ABCD 折叠,使 BC 落在对角线 BD 上,折痕为 BE,点 C 落在点 C′
处,若∠ADB=42°,则∠DBE 的度数为________°.
(2)小明手中有一张矩形纸片 ABCD,AB=4,AD=9.
【画一画】如图 2,点 E 在这张矩形纸片的边 AD 上,将纸片折叠,使 AB 落在 CE 所在直
线上,折痕设为 MN(点 M,N 分别在边 AD,BC 上),利用直尺和圆规画出折
痕 MN(不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线段描清楚);
【算一算】如图 3,点 F 在这张矩形纸片的边 BC 上,将纸片折叠,使 FB 落在射线 FD 上,
折痕为 GF,点 A,B 分别落在点 A′,B′处,若 AG=7
3
,求 B′D 的长;
A
B C
D
〔问题提出〕
如图 1,四边形 ABCD 中,AD=CD,∠ABC=120°,∠ADC=60°,AB=2,BC=1,
求四边形 ABCD 的面积.
〔尝试解决〕
旋转是一种重要的图形变换,当图形中有一组邻边相等时,往往可以通过旋转解决问题.
(1)如图 2,连接 BD,由于 AD=CD,所以可将△BCD 绕点 D 顺时针方向旋转 60°,得
到△DAB',则△BDB'的形状是 ▲ .
(2)在(1)的基础上,求四边形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
A
B
C
D
B'
图 1 图 2 图 3
〔类比应用〕
如图 3,四边形 ABCD 中,AD=CD,∠ABC=75°,∠ADC=60°,AB=2,BC= 2,求
四边形 ABCD 的面积.
4、将一矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中,O 为原点,C 在 x 轴上,OA=9,OC=15.
(1)如图 1,在 OA 上取一点 E,将△EOC 沿 EC 折叠,使 O 点落至 AB 边上的 D 点,求
直线 EC 的解析式;
(2)如图 2,在 OA、OC 边上选取适当的点 M、F,将△MOF 沿 MF 折叠,使 O 点落在
AB 边上的 D′点,过 D′作 D′G⊥CO 于点 G 点,交 MF 于 T 点.
①求证:TG=AM;
②设 T(x,y),探求 y 与 x 满足的等量关系式,并将 y 用含 x 的代数式表示(指出变量 x
的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当 x=6 时,点 P 在直线 MF 上,问坐标轴上是否存在点 Q,使以
M、D′、Q、P 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出 Q 点坐标;若不存在,
请说明理由.
5、用如图①,②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出),完成以下
两个探究问题:
探究一:将以上两个三角形如图③拼接(BC 和 ED 重合),在 BC 边上有一动点 P.
(1)当点 P 运动到∠CFB 的角平分线上时,连接 AP,求线段 AP 的长;
(2)当点 P 在运动的过程中出现 PA=FC 时,求∠PAB 的度数.
探究二:如图④,将△DEF 的顶点 D 放在△ABC 的 BC 边上的中点处,并以点 D 为旋转中
心旋转△DEF,使△DEF 的两直角边与△ABC 的两直角边分别交于 M、N 两点,连接 MN.在
旋转△DEF 的过程中,△AMN 的周长是否存在有最小值?若存在,求出它的最小值;若不
x
Y
O
A B
C
F
M
备用图
D′
存在,请说明理由.
6、如图 1,□ABCD 中 AB=m,AD=n(n>m>0),∠ABC=60°,四边形 DBEF、DEGH
均为平行四边形,且点 C、F 分别落在 EF、GH 上.
(1)若□ABCD 的周长为 16,用含 m 的代数式来表示□DEGH 的面积 S,并求出 S 的
最大值;
(2)若四边形 BEFD、EGHD 均为矩形,且FH
FG
= 3
49
,求m
n
的值.
7、已知:如图①,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,AE⊥BD,垂足是 E.点 F 是点 E 关于
AB 的对称点,连接 AF、BF.
(1)求 AF 和 BE 的长;
(2)若将△ABF 沿着射线 BD 方向平移,设平移的距离为 m(平移距离指点 B 沿 BD 方向
所经过的线段长度).当点 F 分别平移到线段 AB、AD 上时,直接写出相应的 m 的值.
(3)如图②,将△ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△ABF
为△A′BF′,在旋转过程中,设 A′F′所在的直线与直线 AD 交于点 P,与直线 BD
交于点 Q.是否存在这样的 P、Q 两点,使△DPQ 为等腰三角形?若存在,求出此时
DQ 的长;若不存在,请说明理由.
(图 1)
A
B C
D
H
E
F
G
A
B C
D
E
F
H
G
(图 2)
8、在平面直角坐标系中,已知 A(1,4)、B(4,1)、C(m,0)、D(0,n).
(1)四边形 ABCD 的周长的最小值为 ,此时四边形 ABCD 的形状为 .
(2)在(1)的情况下,设 P 为 AB 的中点,E 为 AD 上一动点,连 PE,作 PF⊥PE 交
四边形的边于点 F.在点 E 从 D 运动到 A 的过程中,①求 tan∠PEF 的值;②若 EF 的
中点为 Q,在整个运动过程中,请直接写出点 Q 所经过的路线长.
y
A