《一元二次方程》聚焦导学
考点聚焦导学
1) 一元二次方程[来源:Z.Com]
1. 一元 二次方程:在整式方程中,只含________个未知数,并且未知数的最高次数是
______的方程叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般形式是____________.其中______叫做二次项的系数,______叫
做一次项的系数,______叫做常数项.
2) 一元二次方程的常用解法
3. 直接开平方法:形如 x2=a(a≥0)或(x-b)2=a(a≥0)的一元二次方程,就可用直接开平
方的方法.x2=a(a≥0),x=______;(x-b)2=a(a≥0),x=______.
4. 配方法:用配方法解一元二次方程,若 x2+px+q=0 且 p2-4p≥0,则(x+______)2=
-q+______,x1=________,x2=________.
5.公式法:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)且 b2-4ac≥0 的求根公式是 x=__________,
x1=__________,x2=__________ .
6. 因式分解法:如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)可通过因式分解化为(mx+p)(nx
+q)=0,则 x1=______,x2=______.
3) 一元二次方程根的判别式
7. 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=________.
(1)Δ>0⇔方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个______________的实数根;
(2)Δ=0⇔方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个______________的实数根;
(1)Δ<0⇔方程 ax2+bx+c=0(a≠0)________实数根;
4) 一元二次方程的根与系数的关系
8. 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个根分别为 x1 ,x2,则 x1+x2=________,
x1·x2=______.
重点难点突破
1. 会判断一个方程是否为一元二次方程
判断时应先化成一般形式,再根据定义进行判断.
2. 掌握解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法主要有两种:①直接开平方法,②配方法,③公式法,④因式分解
法.若没有特别说明,解法选择的一般顺序为:直接开平方法―→因式分解法―→公式法―→
配方法.任何一个(有解的)一元二次方程都可以用配方法和公式法求解,其中配方法较为复
杂,除指定外,一般不选用.
3. 理解根的判别式
根的判别式可用来判断一元二次方程根的个数,若 b2-4ac>0,则方程有两个不相等的
实根;若 b2-4ac=0,则方程有两个相等的实根,若 b2-4ac<0,则方程无实根.
知识归类探究)
1) 一元二次方程及相关概念
例 1 一元二次方程 3x2+2x-5=0 的一次项系数是________.
【思路点拨】 先确定一次项 ―→ 确定系数 ―→ 结果
活学活用
1. 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+1=0 B. x2+1
x
=1
C. (x+1)(x-1)=0 D. x2-2xy+y2=1
方法技巧:1. 确定一元二次方程系数时,先将原方程化为一般形式,再找对应的项,确
定该项的系数.
2. 要判断一个方程是否为一元二次方程可根据定义判断,也可根据一元二次方程的一般
形式判定,若经过恒等变形后,符合 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式就是,否则就不是.
2) 一元二次方程的解法[来源:Z#xx#k.Com]
例 2 用配方法解一元二次方程 x2-4x=5 时,此方程可变形为( )
A. (x+2)2=1 B. (x-2)2=1
C. (x+2)2=9 D. (x-2)2=9
【思路点拨】
方程两边同加上一次项系数一半 的平方 ―→ 写成完全平方式 ―→ 结果
活学活用
2. 解方程:x2-2x=2x+1.
方法技巧:熟练应用解一元二次方程的方法求解.
3) 一元二次方程根的判别
例 3 如果关于 x 的一元二次方程 x2-6x+c=0(c 是常数)没有实数根,那么 c 的取值范
围是________.
【思路点拨】 用含 c 的式子表示出根的判别式,再根据根的判别式的性质进行判断.
活学活用
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2 3x-k=0 有两个相等的实数根,则 k 的值为
________________.
方法技巧:1. 不解方程判断根的个数:将方程化为一般式后,利用 b2-4ac 的情况判断.2.
根据根的情况,求字母的取值范围:利用 b2-4ac 的情况解等式或不等式即可.
4) 根与系数的关系
例 4 已知:x1,x2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根,且 x1+x2=3,x1x2=1,则 a,
b 的值分别是( )
A. a=-3,b=1 B. a=3,b=1 C. a=-3
2
,b=-1 D. a=-3
2
,b=1
【思路点拨】 由一元二次方程 ax2+bx+c=0 根与系数关系 x1+x2=-b
a
,x1x2=c
a
可以
得到本题中关于 a、b 的两个方程,解得 a、b 的值.
活学活用
4. 下列一元二次方程中两实数根的和为-4 的是( )
A. x2+2x-4=0 B. x2-4x+4=0 C. x2+4x+10=0 D. x2+4x-5=0
方法技巧:判别各项系数,熟记公式,注意符号,由求根公式出发,有机地理解根与系
数的关系,切忌死记硬背.
课堂过关检测
1. 方程(x-2)2=9 的解为( )[来源:Z.Com]
A. x1=5,x2=1 B. x1=5,x2=-1 C. x1=11,x2=-1 D. x1=-11,x2=7
2. 已知 x=1 是方程 x2+bx-2=0 的一个根,则方程的另一个根是( )
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
3. 一元二次方程 x(x-2)=0 根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的 实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实根
4. 如果关于 x 的方程 x2-2x+m=0(m 为常数)有两个相等的实数根,则 m=______.
5. 一元二次方程 x2-4x-12=0 的解是__________.
6. 若 x=1 是 x2+mx-3=0 的一个根,则 m 的值为______.
7. 已知 x=1 是一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根,则 m2+2mn+n2 的值为______.
8. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-4x+m-1=0 有两个相等的实数根,求 m 的值及方
程的根.
[来源:Z|xx|k.Com]
参考答案
考点聚焦导学
1. 1 2 2. ax2+bx+c=0(a≠0) a b c 3. ± a b± a
4. p
2 (p
2)2 -p+ p2-4q
2
-p- p2-4q
2
5. -b± b2-4ac
2a
-b+ b2-4ac
2a
-b- b2-4ac
2a
6. -p
m
-q
n 7. b2-4ac (1)不相等 (2)相等 (3)没有
8. -b
a
c
a
知识归类探究
例 1 2 解析:一元二次方程 3x2+2x-5=0 的一次项为 2x,系数是 2.
例 2 D 解析:将方程两边同时加 4 得 x2-4x+4=5+4,即得(x-2)2=9.[来源:学.科.网 Z.X.X.K]
例 3 c>9 解析:由于一元二次方程无实根,则Δ=(-6)2-4×1×c<0,解得 c>9.
例 4 D 解析:由根与系数的关系可知 x1+x2=-2a,x1x2=b,得到-2a=3,b=1,
所以 a=-3
2
,b=1.
活学活用
1. C 2. 解:原方程可化为 x2-4x-1=0,
∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4± 20
2
=2± 5,
∴x1=2- 5,x2=2+ 5. 3. -3 4. D
课堂过关检测
1. B 2. D 3. A 4. 1 5. x1=6,x2=-2 6. 2 7. 1
8. 解:由题意可知Δ=0,
即(-4)2-4(m-1)=0 解得 m=5.
当 m=5 时,原方程化为 x2-4x+4=0,
解得 x1=x2=2 所以原方程的根为 x1=x2=2.