沪科版数学八年级下册-18.2勾股定理的逆定理-学案(1)教案

勾股定理的逆定理 教学目标: 知识与技能：探索并掌握直角三角形判别思想，掌握勾股定理逆定理的探究方法。 过程与方法：经历直角三角 形判别条件的探究过程，用三边的数量关系来判断一个三 角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想。 情感态度与价值观：培养数学思维以及合情推理意识，感 悟勾股定理和逆定理的应用 价值。 教学重难点： 重点：理解并掌握勾股定理的逆定理，并会 应用。 难点：理解勾股定理的逆定理的推导证明。 教学过程: 教学设计 与 师生互动 备 注 一、创设问题情境，导入课题 播放相声《反正话》，数学中也有很多定理也可以反过来说，比如我们 刚学过的勾股定理。勾股定理的逆命题是什么？ 提问：我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直 角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做? 通过动手实 践、介绍数学 史，在对学生 进行动手能 力培养和数 学史教育的 同时，体验数 与形的内在 联系，自然地 得出勾股定 理的逆定理． 二、研究新知、应用举例 1、猜想 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：古埃及人把一根绳子打 上等距离的 13 个结，然后把第 1 个结和第 13 个结用木桩钉在一起，再 分 别 用 木 桩 把 第 ４ 个 结 和 第 ８ 个 结 钉 牢 （ 拉 直 绳 子 ） 。 将在下一节 给出证明．本 活动教师应 重点关注学 生：①对猜想 出的结论是 否还有疑 虑．②能否积 极主动的操 作。 如 果 围 成 的 三角形的三边分别为 3、4、5，它们有怎样的数量关系呢？ 2、操作 用圆规、直尺作△ABC，使 AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如图，量一 量，∠C，它是 90°吗？ 如果三角形的三边长度分别为 2.5cm、6cm、6.5cm，这三边长度的 大小关系是什么？围成的三角形的形状是什么？ 如果三角形三边的长度分别为 a、b、c，且 a2+b2=c2，问：这个三角 形的形状是什么？ 归纳结论： 勾股定理 的逆命题：如果三角形的三边长 a、b、c，且满足 a2+b2=c2，那 么这个三角形是直角三角形。 已知：在△ABC 中，AB= c ，BC= a ，AC=b ，并且 222 cba  ，如图（1）。 求证：∠C=90°。 证明 : 作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=b ， B’C’= a ， 如图（2）。 那么 A’B’ 2 = 22 ba  （勾股定理） 又∵ 222 cba  （已知） ∴A’B’ 2 = 2c ，A’B’=c (A’B’＞0) B A C 10 6 8 A B C bc a （1） A′ B′ C′ b a （2） 勾股定理：由 形到数； 勾股定理逆 定理：由数到 形。 即：数形结合 学生板书，教 师巡视。 在△ABC 和△A’B’C’中， BC= a =B’C’ CA=b =C’A’ AB= c =A’B’ ∴△ABC≌△A’B’C’(SSS) ∴∠C=∠C’=90°， ∴△ABC 是直角三角形 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 那么这个三角形是直角三角形。且边 C 所对的角为直角。 提问：既然学过了勾股定理，还学习勾股定理逆定理干什么呢？ 总结：用于根据三角形三边关系判断一个三角形是否是直角三角形， 它可作为直角三角形的判定依据． 3、例题教学 例 1 根据下列三角形的三边 a、b、c 的值，判断三角形是不是直角三 角形。如果是，指出哪条边所对的角是直角？ （1）a=7，b=24，c=25；（2）a=7，b=8，c=11. 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两 条较小边的平方和是否等于最大边的平方。 解（1）∵最大边是 c=25，c2=625， a2+b2=72+242=625，∴a2+b2=c2， ∴△ABC 是直角三角形，最大边 c 所对的角是直角. （2）∵最大边是 c=11，c2121， a2+b2=72+82=113，∴a2+b2≠c2， ∴△ABC 不是是直角三角形 练习： （1）a=2,b=3,c=4（2）a=1,b=2,c= 3 （3）a＝25, b ＝20 , c＝15 像 25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 思考：除 25、20、15 外，再写出三组勾股数.想想看，可以怎样找？ 2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么? 例：已知 ABCΔ 的三边分别 a、b、c，a= 12 n ,b=2n, c= 12 n (n>1,n 是正整数)， ABCΔ 是直角三角形吗？说明理由。 分析：先来判断 a,b,c 三边哪条最长，可以代 n 为满足条件的特殊值来 试，n=2.则 a=3,b=4,c=5,c 最大。 解：   2 22 24 224 222 22 1 12 412 )2()1( c n nn nnn nn ba       ABCΔ 是直角三角形(勾股定理的逆定理) 练习：已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝ 12，AD＝13,求四边形 ABCD 的面积? 三、课堂总结，发展潜能 1．和我们分享你的体会吧！ 2.勾股定理的逆定性：如果三角 形 的三条边长 a，b ，c 有下列关系： a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（问：勾股 定理是什么呢？） 3．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 4.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主 要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 四、作业布置：课本练习题第 3 题；习题第 2、3 题。 A B C D