18.2 勾股定理的逆定理
学习目标:
(1)通过具体情境,能够猜想出勾股定理逆定理的成立。
(2)会用勾股定理逆定理解决简单的实际问题。
教学重点:用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
教学难点:理解运用勾股定理及其逆定理在推理格式上的区别。
教学准备:多媒体课件,三角板等。
教学过程:
(一)复习提问 引出课题
1. 直角三角形有哪些性质?
(1)有一个角是 90°;
(2)两个锐角的和是 90°;
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方;
(4)30°的角所对的直角边等于斜边的一半;
2. 一个三角形,满足什么条件是直角三角形?
有一个内角是 90°,那么这个三角形就为直角三角形.
如果一个三角形中,有两个角的和是 90°,那么这个三角形
也是直角三角形.
师:上面我们从角的方面验证了一个三角形是不是直角三角
形,那么我们能不能从边的关系上来验证一个三角形是直角三角
形呢?
引出并板书课题:勾股定理的逆定理
(二)共同探究 获取新知
动手画一画
用圆规、直尺作△ABC,使 AB=5,AC=4,BC=3,量一量
∠C,它是 90°吗?(让学生自己动手画图去验证,老师给以指
导)
B
A
C
想一想:
师:为什么用上面三条线段围成的三角形,就一定是直角三
角形呢?(学生思考讨论,老师加以引导)
其实早在几千年前聪明的古埃及人已经验证过了。
用 13 个等距的结,把一根绳子分成等长的 12 段,然后以 3 个
结,4 个结,5 个结的长度为边长,用钉子钉成一个三角形。
请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
生:32+42=52.
师:你看到这个式子想到了什么?
生:勾股定理。
师:它是勾股定理吗?勾股定理的内容是什么?
生:直角三角形两直角边的平方和,等于斜边的平方。
师:在这个定理中,已知和结论分别是什么?
生:已知的是一个三角形是直角三角形,结论是两直角边的
平方和,等于斜边的平方。
师:它的逆命题是什么?
生:如果三角形两边长的平方和等于第三边的平方,那么这
个三角形是直角三角形。
师:在前面我们已经验证了这个定理,而且我们的前人已经
证明了它是正确的,具体怎么证明的,有兴趣的学生在课后可以
去证明。我们知道一个定理的逆命题如果是真命题,那么它也是
也是一个定理。那么,勾股定理逆定理的逆命题就叫做什么?
生:勾股定理逆定理的逆定理。(老师板书勾股定理的逆定
理内容)
师:这是用文字语言叙述的,你能用数学符号表示出来吗?
(学生思考并进行回答)
生:∵a2+b2=c2. (已知),
∴△ABC 是直角三角形(勾股定理的逆定理).
师:可见:这是判定直角三角形的根据之一.
师:勾股定理如何用数学符号来表示?
生:∵△ABC 是直角三角形(已知)
∴a2+b2=c2(勾股定理)(老师板书)
(三)例题讲解 深化新知
例 1:根据下列三角形的三边 a,b,c 的值,判断△ABC 是不
是直角三角形,如果是,指出哪条边所对的角是直角.(学
生思考后,请学生板演)
(1)a=7,b=24,c=25 ;
(2)a=11,b=8,c=7;
解:(1) ∵最大边是 c=25,c2=625,
a2+b2=72+242=625,
∴a2+b2=c2,
∴ △ABC 是直角三角形,最大边 c 所对角是直角.
(2) ∵最大边是 a=11,a2=121,
b2+c2=72+82=113,
∴ b2+c2≠a2
∴ △ABC 不是直角三角形.
师:像上面的 7、24、25 这三个数,我们称之为勾股数.
师:能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数,称为勾
股数.(板书)
例 2 已知:在△ABC 中,三条边长分别为 a=n2-1,b=2n,
c=n2+1(n>1),求证:
△
ABC 为直角三角形.(学生思考讨论、
交流,老师加以引导)
证明:∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n2
=n4+2n2+1
=(n2+1)2=c2,
∴ △ABC 是直角三角形,(勾股定理的逆定理).
(四)巩固练习 定理应用
1.判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形:
(1)a=2,b=3,c=4.
(2)a=9,b=7,c=12.
(3)a=25,b=20,c=15.
2.三角形三边 a,b,c 满足条件: (a+b)2-c2=2ab,此三角
形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
3.除 3,4,5 外,再写出 3 组勾股数.
(五)课堂小结
1.勾股定理的逆定理的功能是什么?
2.截止到目前为止,你有哪些方法判定直角三角形?
3.若一个题目告诉你一个直角三角形的两边长,接下来你
会用什么?干什么?
4.若一个题目告诉你一个三角形的三边长,你会想到哪
些?
(六)布置作业
课本第 60 页:习题 18.2 第 1~4 题.
板书设计:
18.2 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理:如果三角
形两边长的平方和等于第三
边的平方,那么这个三角形是
直角三角形。数学符号表示
为:
∵a2+b2=c2. (已知)
∴△ABC 是直角三角形(勾股
定理的逆定理)
勾股定理:
板书例题 学生板演
∵△ABC 是直角三角形(已知)
∴a2+b2=c2(勾股定理)
勾股数:能够成为直角三角形
三条边长度的三个正整数,称
为勾股数.
教学反思: