高二数学人教A版选择性必修第二册第四章数列章末复习课

2021 年高中数学人教 A 版（新教材）选择性必修第二册第四章 章末复习课 (满分：150 分 时间：120 分钟) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．已知数列 1，3，5，7，3，11，…， 2n－1，…，则 21是这个数列的( ) A．第 10 项 B．第 11 项 C．第 12 项 D．第 21 项 2．已知等差数列{an}满足 3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为( ) A．a6 B．a7 C．a8 D．a9 3．等比数列{an}中，a2，a6 是方程 x2－34x＋64＝0 的两根，则 a4 等于( ) A．8 B．－8 C．±8 D．以上选项都不对 4．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10＝( ) A．1 B．9 C．10 D．55 5．设{an}是公差不为 0 的等差数列，a1＝2，且 a1，a3，a6 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn＝( ) A．n2 4 ＋7n 4 B．n2 3 ＋5n 3 C．n2 2 ＋3n 4 D．n2＋n 6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统 文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量 总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第 18 项为( ) A．200 B．162 C．144 D．128 7．已知数列{an}，若 a1＝2，an＋1＋an＝2n＋1，则 a2 020＝( ) A．2 017 B．2 018 C．2 019 D．2 020 8．已知等差数列{an}的公差不为零，其前 n 项和为 Sn，若 S3，S9，S27 成等比数列，则S9 S3 ＝( ) A．3 B．6 C．9 D．12 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，下列数列中一定是等比数列的有( ) A．{a2 n} B．{anan＋1} C．{lg an} D．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 10．设{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项的和，且 S5S8，则下列结论正确的是( ) A．dS5 D．S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 11．已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且Sn Tn ＝3n＋39 n＋3 ，则使得an bn 为整 数的正整数 n 的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．14 12．在公比 q 为整数的等比数列{an}中，Sn 是数列{an}的前 n 项和，若 a1·a4＝32，a2＋a3＝ 12，则下列说法正确的是( ) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{lg an}是公差为 2 的等差数列 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上) 13．已知各项均不为 0 的等差数列{an}，满足 2a3－a2 7＋2a11＝0，数列{bn}为等比数列，且 b7＝a7，则 b1·b13＝________. 14．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则 a6＝________. 15．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善 织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟” 的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________． 16．已知数列{an}满足 a1＝21，an＋ 1＝an＋2n，则 a4＝________，数列 an n 的最小值为 ________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知数列{an}为等差数列，且 a3＝5，a7＝13. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 an＝log4bn，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 18．(本小题满分 12 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝1 4 (an＋1)2(n∈N*). (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等差数列． 19．(本小题满分 12 分)已知数列{an}，{bn}满足 an＋1－an＝bn，{bn＋2}为等比数列，且 a1＝ 2，a2＝4，a3＝10. (1)试判断列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (2)求 an. 20．(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2n2＋kn＋k. (1)求{an}的通项公式； (2)若 bn＝ 1 anan＋1 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 21．(本小题满分 12 分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且 a1＝b1＝ 1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设 cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和． 22．(本小题满分 12 分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初 有资金 2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长 率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金 全部投入下一年生产．设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元． (1)用 d 表示 a1，a2，并写出 an＋1 与 an 的关系式； (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)． 参考答案 (满分：150 分 时间：120 分钟) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．答案：B 解析：观察可知该数列的通项公式为 an＝ 2n－1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为 1，公差为 2)，令 21＝2n－1，解得 n＝11，故选 B. 2．答案：B 解析：∵3a3＝4a4，∴3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，∴a3＝－4d， ∴an＝a3＋(n－3)·d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，∴a7＝0，故选 B. 3．答案：A 解析：∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a2 4＝64，且 a2>0，a6>0， ∴a4＝a2q2>0(q 为公比)，∴a4＝8. 4．答案：A 解析：a10＝S10－S9.由条件知 S1＋S9＝S10. ∴a10＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选 A. 5．答案：A 解析：设公差为 d，则 a1(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，把 a1＝2 代入可解得 d＝1 2. ∴an＝2＋(n－1)×1 2 ＝1 2n＋3 2.∴Sn＝n 2＋1 2n＋3 2 2 ＝1 4n2＋7n 4 .故选 A. 6．答案：B 解析：偶数项分别为 2，8，18，32，50，即 2×1，2×4，2×9，2×16，2×25， 即偶数项对应的通项公式为 a2n＝2n2， 则数列的第 18 项为第 9 个偶数， 即 a18＝a2×9＝2×92＝2×81＝162，故选 B. 7．答案：C 解析：∵an＋1＋an＝2n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝－(an－n)， 即数列{an－n}是以 1 为首项，－1 为公比的等比数列， ∴an－n＝(－1)n－1，∴an＝n＋(－1)n－1，∴a2 020＝2 020－1＝2 019. 8．答案：C 解析：由题意，知 S3，S9，S27 成等比数列，所以 S2 9 ＝ S3 ×S27 ， 即 9a1＋a9 2 2 ＝3a1＋a3 2 ×27a1＋a27 2 ， 整理得 81a2 5＝ 3a2 ×27a14 ，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，解得 d＝2a1， 所以S9 S3 ＝9a1＋a9 2 ÷3a1＋a3 2 ＝9a5 3a2 ＝3a1＋4d a1＋d ＝27a1 3a1 ＝9，故选 C. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9．答案：AB 解析：由数列{an}为等比数列可知， an an－1 ＝q，(q≠0)， 对于 A， a2 n a2 n－1 ＝ q2，故 A 正确；对于 B，anan＋1 an－1an ＝an＋1 an－1 ＝q2≠0，故 B 正确；对于 C，lg an －lg an－1＝lg an an－1 ＝lg q，为等差数列，但是 lg an lg an－1 不一定为常数，即{lg an}不一定为等比数列， 故 C 错误；对于 D，若 an＝(－1)n 为等比数列，公比为－1，则 Sn 有可能为 0，不一定成等 比数列，故 D 错误．故选 AB. 10 答案：ABD 解析：由{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项的和，且 S5S8， 则 a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6＝0，a8＝S8－S7a8>a9>…，可得 S6 与 S7 均为 Sn 的最大值，即选项 D 正确，故选 ABD. 11.答案：ACD 解析：由题意可得S2n－1 T2n－1 ＝ (2n－1)(a1＋a2n－1) 2 (2n－1)(b1＋b2n－1) 2 ＝(2n－1)an (2n－1)bn ＝an bn ， 则an bn ＝S2n－1 T2n－1 ＝3(2n－1)＋39 (2n－1)＋3 ＝3n＋18 n＋1 ＝3＋ 15 n＋1 ， 由于an bn 为整数，则 n＋1 为 15 的正约数，则 n＋1 的可能取值有 3，5，15， 因此，正整数 n 的可能取值有 2，4，14.故选 ACD. 12．答案：ABC 解析：因为数列{an}为等比数列，又 a1·a4＝32，所以 a2·a3＝32， 又 a2＋a3＝12，所以 a2＝4， a3＝8， q＝2 或 a2＝8， a3＝4， q＝1 2 ， 又公比 q 为整数，则 a2＝4， a3＝8， q＝2， 即 an＝2n，Sn＝2×1－2n 1－2 ＝2n＋1－2， 对于选项 A，由上可得 q＝2，即选项 A 正确； 对于选项 B，Sn＋2＝2n＋1，Sn＋1＋2 Sn＋2 ＝2n＋2 2n＋1 ＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，即选项 B 正确； 对于选项 C，S8＝29－2＝510，即选项 C 正确； 对于选项 D，lg an＋1－lg an＝(n＋1)lg2－nlg2＝lg2，即数列{lg an}是公差为 lg2 的等差数列， 即选项 D 错误．故选 ABC. 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上) 13．答案：16 解析：各项均不为 0 的等差数列{an}，2a3－a2 7＋2a11＝0，∴4a7－a2 7＝0， ∴a7＝4，b1 ·b13 ＝ b2 7 ＝ a2 7 ＝ 16. 14.答案：768 解析：由 an＋1＝3Sn，得 Sn＋1－Sn＝3Sn，即 Sn＋1＝4Sn，所以数列{Sn}是首项为 1，公比为 4 的等比数列，所以 Sn＝4n－1，所以 a6＝S6－S5＝45－44＝3×44＝768. 15．答案： 4 29 解析：设第 n 天织布的尺数为 an，可知数列{an}为等差数列， 设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 a1＝5，an＝1，Sn＝90， 则 Sn＝n(a1＋an) 2 ＝3n＝90，解得 n＝30，∴a30＝a1＋29d＝5＋29d＝1，解得 d＝－ 4 29 ， 因此，每天比前一天少织布的尺数为 4 29. 16．答案：33 41 5 解析：因为 an＋1＝an＋2n，所以 an＋1－an＝2n，从而 an－an－1＝2(n－1)(n≥2)．所以 a4－a3＝2×3＝6，a3－a2＝2×2＝4，a2－a1＝2×1＝2，a1＝21，∴a4＝6＋4＋2＋21＝33. an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＝2×[1＋2＋…＋(n－1)]＝2×n－1n 2 ＝n2－n. 而 a1＝21，所以 an＝n2－n＋21，则an n ＝n2－n＋21 n ＝n＋21 n －1， 因为 f (n)＝n＋21 n －1 在(0，4]递减，在[5，＋∞)递增， 当 n＝4 时，an n ＝33 4 ＝8.25，当 n＝5 时，an n ＝41 5 ＝8.2， 所以 n＝5 时an n 取得最小值，最小值为41 5 . 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解： (1)设 an＝a1＋(n－1)d， 则 a1＋2d＝5， a1＋6d＝13， 解得 a1＝1，d＝2. 所以{an}的通项公式为 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)依题意得 bn＝4an＝42n－1，因为bn＋1 bn ＝42n＋1 42n－1 ＝16， 所以{bn}是首项为 b1＝41＝4，公比为 16 的等比数列， 所以{bn}的前 n 项和 Tn＝4×1－16n 1－16 ＝ 4 15(16n－1)． 18．解： (1)由已知条件得：a1＝1 4 (a1＋1)2，∴a1＝1. 又有 a1＋a2＝1 4 (a2＋1)2，即 a22－2a2－3＝0，解得 a2＝－1(舍)或 a2＝3. (2)由 Sn＝1 4 (an＋1)2 得 n≥2 时，Sn－1＝1 4 (an－1＋1)2， ∴Sn－Sn－1＝1 4 [(an＋1)2－(an－1＋1)2]＝1 4 [a2 n－a2 n－1＋2(an－an－1)]， 即 4an＝a2 n－a2 n－1＋2an－2an－1，∴a2 n－a2 n－1－2an－2an－1＝0， ∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，∴an－an－1－2＝0，即 an－an－1＝2(n≥2)， 经过验证 n＝1 也成立，所以数列{an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列． 19．解： (1)数列{bn}不是等比数列． 理由如下： 由 an＋1－an＝bn，且 a1＝2，a2＝4，a3＝10 得： b1＝a2－a1＝2，b2＝a3－a2＝6， 又因为数列{bn＋2}为等比数列，所以可知其首项为 4，公比为 2. 所以 b3＋2＝4×22＝16，∴b3＝14，显然 b2 2＝36≠b1b3＝28， 故数列{bn}不是等比数列． (2)结合(1)知，等比数列{bn＋2}的首项为 4，公比为 2， 故 bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以 bn＝2n＋1－2， 因为 an＋1－an＝bn，∴an－an－1＝2n－2(n≥2)． 令 n＝2，…，(n－1)，累加得 an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)， ∴an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2＝2(2n－1) 2－1 －2n＋2＝2n＋1－2n， 又 a1＝2 满足上式，∴an＝2n＋1－2n. 20．解：(1)当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝2n2＋kn＋k－2(n－1)2－k(n－1)－k＝4n＋k－2， 当 n＝1 时，a1＝S1＝2k＋2， 又数列为等差数列，故当 n＝1 时，a1＝2k＋2＝2＋k， 解得 k＝0，故 an＝4n－2. (2)由(1)可知，bn＝ 1 4(2n－1)(2n＋1) ＝1 8 1 2n－1 － 1 2n＋1 ， 故 Tn＝1 8 1－1 3 ＋1 3 －1 5 ＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n＋1 ＝1 8 1－ 1 2n＋1 ＝ n 8n＋4 . 故数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ n 8n＋4 . 21．解： (1)设数列{an}的公比为 q，数列{bn}的公差为 d， 由题意知 q＞0.由已知，得 2q2－3d＝2， q4－3d＝10， 消去 d，整理得 q4－2q2－8＝0. 因为 q＞0，解得 q＝2，所以 d＝2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1，n∈N*； 数列{bn}的通项公式为 bn＝2n－1，n∈N*. (2)由(1)有 cn＝(2n－1)·2n－1，设{cn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1， 2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n， 上述两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n ＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3， 所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*. 22．解：(1)由题意得 a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， a2＝a1(1＋50%)－d＝3 2a1－d＝4 500－5 2d， an＋1＝an(1＋50%)－d＝3 2an－d. (2)由(1)得 an＝3 2an－1－d＝3 2 3 2an－2－d －d ＝ 3 2 2 ·an－2－3 2d－d ＝… ＝ 3 2 n－1 a1－d 1＋3 2 ＋ 3 2 2 ＋…＋ 3 2 n－2 . 整理得 an＝ 3 2 n－1 (3 000－d)－2d 3 2 n－1 －1 ＝ 3 2 n－1 ·(3 000－3d)＋2d. 由题意知 am＝4 000，所以 3 2 m－1 (3 000－3d)＋2d＝4 000， 解得 d＝ 3 2 m －2 ×1 000 3 2 m －1 ＝1 0003m－2m＋1 3m－2m . 故该企业每年上缴资金 d 的值为1 0003m－2m＋1 3m－2m 万元时，经过 m(m≥3)年企业的剩余资金为 4 000 万元．