高二数学人教A版选择性必修第二册第四章4.3.2第2课时等比数列前n项和公式的应用同步练习

2021 年高中数学人教 A 版（新教材）选择性必修第二册 第 课时 等比数列前 项和公式的应用 一、选择题 1．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a2，a3 成等差数列．若 a1＝1，则 S4 等于( ) A．7 B．8 C．15 D．16 2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和．已知 a2a4＝1，S3＝7，则 S5 等于( ) A．15 2 B．31 4 C．33 4 D．17 2 3．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn 为其前 n 项和，且 S10＝10，S30＝70，那么 S40 等于( ) A．150 B．－200 C．150 或－200 D．400 4．设数列{xn}满足 log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且 x1＋x2＋…＋x10＝10 ，记{xn}的前 n 项和 为 Sn，则 S20 等于( ) A．1 025 B．1 024 C．10 250 D．20 240 5．已知公差 d≠0 的等差数列{an} 满足 a1＝1，且 a2，a4－2，a6 成等比数列，若正整数 m， n 满足 m－n＝10，则 am－an＝( ) A．30 B．20 C．10 D．5 或 40 6．(多选题)已知 Sn 是公比为 q 的等比数列{an}的前 n 项和，若 q≠1，m∈N*，则下列说法 正确的是( ) A．S2m Sm ＝a2m am ＋1 B．若S6 S3 ＝9，则 q＝2 C．若S2m Sm ＝9，a2m am ＝5m＋1 m－1 ，则 m＝3，q＝2 D．若a6 a3 ＝9，则 q＝3 7．在各项都为正数的数列{an}中，首项 a1＝2，且点(a2 n，a2 n－1)在直线 x－9y＝0 上，则数列{an} 的前 n 项和 Sn 等于( ) A．3n－1 B．1－－3n 2 C．1＋3n 2 D．3n2＋n 2 二、填空题 8．在数列{an}中，an＋1＝can(c 为非零常数)，且前 n 项和为 Sn＝3n＋k，则实数 k＝________. 9．等比数列{an}共有 2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍，则公比 q＝________. 10．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和．已知 S1，S2，S4 成等比数列，且 a3 ＝5，则数列{an}的通项公式为 an＝________. 11．等比数列{an}的首项为 2，项数为奇数，其奇数项之和为85 32 ，偶数项之和为21 16 ，则这个 等比数列的公比 q＝________，又令该数列的前 n 项的积为 Tn，则 Tn 的最大值为________． 12．设数列 1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第 n 项为 an，前 n 项 和为 Sn，则 an＝________，Sn＝________. 三、解答题 13．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的 4 倍，前 3 项之积为 64，求 该等比数列的通项公式． 14．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an－2＋n，求 b1＋b2＋b3＋…＋b10 的值． 15．设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通项公式 an； (2)求数列{|an－n－2|}的前 n 项和． 参考答案 一、选择题 1．答案：C 解析：由题意得 4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2， ∴q＝2，∴S4＝1·1－24 1－2 ＝15.] 2．答案：B 解析：显然公比 q≠1，由题意得 a1q·a1q3＝1， a11－q3 1－q ＝7， 解得 a1＝4， q＝1 2 或 a1＝9， q＝－1 3 舍去， ∴S5＝a11－q5 1－q ＝4 1－ 1 25 1－1 2 ＝31 4 .] 3．答案：A 解析：依题意，数列 S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30 成等比数列， 因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)． 即(S20－10)2＝10(70－S20)，解得 S20＝－20 或 S20＝30， 又 S20＞0，因此 S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40， 故 S40－S30＝80，S40＝150.故选 A. 4．答案：C 解析：∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且 xn>0， ∴{xn}为等比数列，且公比 q＝2， ∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，故选 C.] 5．答案：A 解析：设等差数列的公差为 d， 因为 a2，a4－2，a6 成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6， 即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d) ， 解得 d＝0 或 d＝3，因为公差 d≠0，所以 d＝3， 所以 am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选 A.] 6．答案：ABC 解析：[∵q≠1，∴S2m Sm ＝ a11－q2m 1－q a11－qm 1－q ＝1＋qm.而a2m am ＝a1q2m－1 a1qm－1 ＝qm，∴A 正确； B 中，m＝3，∴S6 S3 ＝q3＋1＝9，解得 q＝2.故 B 正确； C 中，由S2m Sm ＝1＋qm＝9，得 qm＝8.又a2m am ＝qm＝8＝5m＋1 m－1 ，得 m＝3，q＝2，∴C 正确； D 中，a6 a3 ＝q3＝9，∴q＝3 9≠3，∴D 错误，故选 ABC.] 7．答案：A 解析：由点(a2 n，a2 n－1)在直线 x－9y＝0 上，得 a2 n－9a2 n－1＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又 数列{an}各项均为正数，且 a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即 an an－1 ＝3，∴数列{an} 是首项 a1＝2，公比 q＝3 的等比数列，其前 n 项和 Sn＝a11－qn 1－q ＝2×3n－1 3－1 ＝3n－1.] 二、填空题 8．答案：－1 解析：由 an＋1＝can 知数列{an}为等比数列．又∵Sn＝3n＋k， 由等比数列前 n 项和的特点 Sn＝Aqn－A 知 k＝－1.] 9.答案：2 解析：设{an}的公比为 q，则奇数项也构成等比数列，其公比为 q2，首项为 a1， S2n＝a11－q2n 1－q ，S 奇＝a1[1－q2n] 1－q2 . 由题意得a11－q2n 1－q ＝3a11－q2n 1－q2 ，∴1＋q＝3，∴q＝2. 10．答案：2n－1 解析：设等差数列{an}的公差为 d，(d≠0)， 则 S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d， 因为 S2 2＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)， 整理得 5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2， an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1.] 11．答案：1 2 2 解析：设数列{an}共有 2m＋1 项，由题意得 S 奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝85 32 ，S 偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝21 16 ， S 奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)＝2＋21 16q＝85 32 ， ∴q＝1 2 ，∴Tn＝a1·a2·…·an＝an 1q1＋2＋…＋n－1＝2 3 2n－n2 2 ，故当 n＝1 或 2 时，Tn 取最大值，为 2.] 12．答案：2n－1 2n＋1－n－2 解析：因为 an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝1－2n 1－2 ＝2n－1， 所以 Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝21－2n 1－2 －n＝2n＋1－n－2. 三、解答题 13．解：设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，全部奇数项、偶数项之和分别记为 S 奇，S 偶， 由题意，知 S 奇＋S 偶＝4S 偶，即 S 奇＝3S 偶． ∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝S 偶 S 奇 ＝1 3. 又 a1·a1q·a1q2＝64，∴a3 1·q3＝64，得 a1＝12. 故所求通项公式为 an＝12× 1 3 n－1 . 14．解：(1)设等差数列{an}的公差为 d. 由已知得 a1＋d＝4， a1＋3d＋a1＋6d＝15， 解得 a1＝3， d＝1. 所以 an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝21－210 1－2 ＋1＋10×10 2 ＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101. 15．解：(1)由题意得 a1＋a2＝4， a2＝2a1＋1， 则 a1＝1， a2＝3. 又当 n≥2 时，由 an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an， 得 an＋1＝3an，故 an＝3n－1(n≥2，n∈N*)，又当 n＝1 时也满足 an＝3n－1， 所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－1，n∈N*. (2)设 bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1. 当 n≥3 时，由于 3n－1＞n＋2，故 bn＝3n－1－n－2，n≥3. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 T1＝2，T2＝3. n≥3 时，Tn＝3＋91－3n－2 1－3 －n－23＋n＋4 2 ＝3n－n2－5n＋11 2 . ∴Tn＝ 2， n＝1， 3， n＝2， 3n－n2－5n＋11 2 ，n≥3.