高二数学人教A版选择性必修第二册第四章4.2.2第2课时等差数列前n项和的性质及应用同步练习

2021 年高中数学人教 A 版（新教材）选择性必修第二册 第 课时 等差数列前 项和的性质及应用 一、选择题 1．数列{an}为等差数列，它的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝10，S20＝60，则 S40＝( ) A．110 B．150 C．210 D．280 3．在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前 n 项和为 Sn，若S12 12 －S10 10 ＝2，则 S2 018 的值等于 ( ) A．－2 018 B．－2 016 C．－2 019 D．－2 017 4．两个等差数列{an}和{bn}，其前 n 项和分别为 Sn，Tn，且Sn Tn ＝7n＋2 n＋3 ，则a2＋a20 b7＋b15 ＝( ) A．4 9 B．37 8 C．79 14 D．149 24 5. 1 1×3 ＋ 1 2×4 ＋ 1 3×5 ＋ 1 4×6 ＋…＋ 1 nn＋2 等于( ) A． 1 nn＋2 B．1 2 1－ 1 n＋2 C．1 2 3 2 － 1 n＋1 － 1 n＋2 D．1 2 1－ 1 n＋1 6．(多选题)已知数列{an}为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 Sn＝S13－n(n∈N*且 n＜13)，有以 下结论，则正确的结论为( ) A．S13＝0 B．a7＝0 C．{an}为递增数列 D．a13＝0 7．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则 n＝( ) A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 8．已知等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，已知 S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则 S9－S6＝________. 9．在数列{an}中，a1＝ 1 2 019 ，an＋1＝an＋ 1 nn＋1(n∈N*)，则 a2 019 的值为________． 10．数列{an}满足 a1＝3，且对于任意的 n∈N*都有 an＋1－an＝n＋2，则 a39＝________. 11．(一题两空)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，则这个数 列的中间项的值是________，项数是________． 12．一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32∶27， 则该数列的公差 d 为________． 三、解答题 13．已知两个等差数列{an}与{bn}的前 n(n＞1)项和分别是 Sn 和 Tn，且 Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n －2)，求a9 b9 的值． 14．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝10，a2 为整数，且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝ 1 anan＋1 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 15．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，且 a2＝15，S5＝65. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，且 Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前 n 项和 Rn. 参考答案 一、选择题 1．答案：B 解析：等差数列前 n 项和 Sn 的形式为 Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1. 2．答案：D 解析：∵等差数列{an}前 n 项和为 Sn， ∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30 也成等差数列， 故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，∴S30＝150. 又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，∴S40＝280.故选 D. 3．答案：A 解析：由题意知，数列 Sn n 为等差数列，其公差为 1，所以S2 018 2 018 ＝S1 1 ＋(2 018－1)×1＝－2 018 ＋2 017＝－1.所以 S2 018＝－2 018. 4．答案：D 解析：因为等差数列{an}和{bn}，所以a2＋a20 b7＋b15 ＝2a11 2b11 ＝a11 b11 ，又 S21＝21a11，T21＝21b11， 故令 n＝21 有S21 T21 ＝7×21＋2 21＋3 ＝149 24 ，即21a11 21b11 ＝149 24 ，所以a11 b11 ＝149 24 ，故选 D. 5．答案：C 解析：通项 an＝ 1 nn＋2 ＝1 2 1 n － 1 n＋2 ， ∴原式＝1 2 1－1 3 ＋ 1 2 －1 4 ＋ 1 3 －1 5 ＋…＋ 1 n－1 － 1 n＋1 ＋ 1 n － 1 n＋2 ＝1 2 1＋1 2 － 1 n＋1 － 1 n＋2 ＝1 2 3 2 － 1 n＋1 － 1 n＋2 . 6．答案：AB 解析：对 B，由题意，Sn＝S13－n，令 n＝7 有 S7＝S6 ⇒ S7－S6＝0 ⇒ a7＝0，故 B 正确． 对 A，S13＝13a1＋a13 2 ＝13a7＝0.故 A 正确． 对 C，当 an＝0 时满足 Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确．故 C 错误． 对 D，由 A，B 项，可设当 an＝7－n 时满足 Sn＝S13－n，但 a13＝－6.故 D 错误． 故 AB 正确． 7．答案：B 解析：Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40， 所以 4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由 Sn＝na1＋an 2 ＝210，得 n＝14. 二、填空题 8．答案：5 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列，而 S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5. 9.答案：1 解析：因为 an＋1＝an＋ 1 nn＋1(n∈N*)，所以 an＋1－an＝ 1 nn＋1 ＝1 n － 1 n＋1 ， a2－a1＝1－1 2 ， a3－a2＝1 2 －1 3 ， … a2 019－a2 018＝ 1 2 018 － 1 2 019 ， 各式相加，可得 a2 019－a1＝1－ 1 2 019 ，a2 019－ 1 2 019 ＝1－ 1 2 019 ， 所以 a2 019＝1，故答案为 1. 10．答案：820 解析：因为 an＋1－an＝n＋2，所以 a2－a1＝3， a3－a2＝4， a4－a3＝5， …， an－an－1＝n＋1(n≥2)， 上面 n－1 个式子左右两边分别相加得 an－a1＝n＋4n－1 2 ， 即 an＝n＋1n＋2 2 ，所以 a39＝40×41 2 ＝820. 11．答案：11 7 解析：设等差数列{an}的项数为 2n＋1， S 奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝n＋1a1＋a2n＋1 2 ＝(n＋1)an＋1， S 偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝na2＋a2n 2 ＝nan＋1， 所以S 奇 S 偶 ＝n＋1 n ＝44 33 ，解得 n＝3，所以项数为 2n＋1＝7， S 奇－S 偶＝an＋1，即 a4＝44－33＝11 为所求中间项． 12．答案：5 解析：设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇， 偶数项的和为 S 偶，等差数列的公差为 d. 由已知条件，得 S 奇＋S 偶＝354， S 偶∶S 奇＝32∶27， 解得 S 偶＝192， S 奇＝162. 又 S 偶－S 奇＝6d，所以 d＝192－162 6 ＝5.] 三、解答题 13．解：法一：a9 b9 ＝2a9 2b9 ＝a1＋a17 b1＋b17 ＝ a1＋a17 2 ×17 b1＋b17 2 ×17 ＝S17 T17 ＝2×17＋1 3×17－2 ＝35 49 ＝5 7. 法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列， ∴设 Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n. 又Sn Tn ＝2n＋1 3n－2 ，∴令 Sn＝tn(2n＋1)， Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且 t∈R. ∴an＝Sn－Sn－1＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1) ＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1) ＝t(4n－1)(n≥2)， bn＝Tn－Tn－1＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5) ＝t(6n－5)(n≥2)． ∴an bn ＝t4n－1 t6n－5 ＝4n－1 6n－5 (n≥2)， ∴a9 b9 ＝4×9－1 6×9－5 ＝35 49 ＝5 7. 14．解：(1)由 a1＝10，a2 为整数知，等差数列{an}的公差 d 为整数． 因为 Sn≤S4，故 a4≥0，a5≤0，于是 10＋3d≥0，10＋4d≤0. 解得－10 3 ≤d≤－5 2 ，因此 d＝－3. 所以数列{an}的通项公式为 an＝13－3n. (2)bn＝ 1 (13－3n)(10－3n) ＝1 3 1 10－3n － 1 13－3n . 于是 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1 3 1 7 － 1 10 ＋ 1 4 －1 7 ＋…＋ 1 10－3n － 1 13－3n 于是 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1 3 1 7 － 1 10 ＋ 1 4 －1 7 ＋…＋ 1 10－3n － 1 13－3n ＝1 3 1 10－3n － 1 10 ＝ n 10(10－3n) . 15 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d， 则 a2＝a1＋d＝15， S5＝5a1＋5×4 2 d＝65， 解得 a1＝17， d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝17－2(n－1)＝－2n＋19. (2)由(1)得 Sn＝na1＋an 2 ＝－n2＋18n， ∴Tn＝－n2＋18n－10. 当 n＝1 时，b1＝T1＝7； 当 n≥2 且 n∈N*时，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋19. 经验证 b1≠17，∴bn＝ 7，n＝1， －2n＋19，n≥2. 当 1≤n≤9 时，bn＞0；当 n≥10 时，bn＜0. ∴当 1≤n≤9 时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝－n2＋18n－10； 当 n≥10 时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn| ＝b1＋b2＋…＋b9－(b10＋b11＋…＋bn) ＝2(b1＋b2＋…＋b9)－(b1＋b2＋…＋b9＋b10＋b11＋…＋bn) ＝－Tn＋2T9＝n2－18n＋152， 综上所述：Rn＝ －n2＋18n－10，1≤n≤9， n2－18n＋152，n≥10.