中考九年级数学第三轮冲刺训练：二次函数综合练习试题

2021 年中考九年级数学第三轮冲刺训练：二次函数 综合练习试题 1、如图，抛物线 y＝x2+bx+c 经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交 点分别为 A，B，C，它的对称轴为直线 l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D，E 是 l 上的点．要使 以 P、D、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E 的坐标． 2、如图，已知点 A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线 y=ax2+bx+c 上． （1）求抛物线解析式； （2）在直线 BC 上方的抛物线上求一点 P，使△PBC 面积为 1； （3）在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 Q，使∠BQC=∠BAC？若存 在，求出 Q 点坐标；若不存在，说明理由． 3、如图，抛物线 y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与 x 轴交于 A、B 两点，抛物线上 另有一点 C 在 x 轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段 OC 的长度； （2）设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的解 析式； （3）在（2）的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图，已知二次函数 ⸸ 㔴 ൅ ܿ㔴 ሺ ܽ 的图象抛物线与 x 轴相交于 不同的两点 ܿܽ ， ܿܽ ，且 ， ܿܽ 若抛物线的对称轴为 ⸸ 求的 a 值； ܿܽ 若 㔴 ⸸ ，求 c 的取值范围； ܿܽ 若该抛物线与 y 轴相交于点 D，连接 BD，且∠ h ⸸ ，抛物线的对称轴 l 与 x 轴相交点 E，点 F 是直线 l 上的一点，点 F 的纵坐标为 ൅ 㔴 ，连接 AF，满 足∠ h ⸸ ∠ th ，求该二次函数的解析式． 5、如图，已知抛物线交 轴于 、 两点，交 轴于 点， 点坐标为 ， ， ，点 为抛物线的顶点. （1）求抛物线的解析式； （2） 为坐标平面内一点，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形， 求 点坐标； （3）若抛物线上有且仅有三个点 、 、 使得 、 、 的面积均为定值 ，求出定值 及 、 、 这三个点的坐标. 6、如图，已知直线 y=﹣2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线过 A，B 两点， 点 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交抛物线于点 D． （1）若抛物线的解析式为 y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N． ①求点 M、N 的坐标； ②是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由； （2）当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为顶点 的三角形与△AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在， 请说明理由． 7、如图，已知抛物线 y=ax2+bx﹣3 与 x 轴交于点 A（﹣3，0）和点 B（1，0）， 交 y 轴于点 C，过点 C 作 CD∥x 轴，交抛物线于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 y=m（﹣3＜m＜0）与线段 AD、BD 分别交于 G、H 两点，过 G 点作 EG ⊥x 轴于点 E，过点 H 作 HF⊥x 轴于点 F，求矩形 GEFH 的最大面积； （3）若直线 y=kx+1 将四边形 ABCD 分成左、右两个部分，面积分别为 S1，S2， 且 S1：S2=4：5，求 k 的值． 8、如图，直线 y=﹣3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与直线 y=c 分别交 y 轴的正半轴于点 C 和第一象限的点 P，连接 PB，得△PCB≌ △BOA（O 为坐标原点）．若抛物线与 x 轴正半轴交点为点 F，设 M 是点 C，F 间抛 物线上的一点（包括端点），其横坐标为 m． （1）直接写出点 P 的坐标和抛物线的解析式； （2）当 m 为何值时，△MAB 面积 S 取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足∠MPO=∠POA 的点 M 的坐标． 9、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 21 23y x x= - 经过坐标原点，与 x 轴正 半轴交于点 A，该抛物线的顶点为 M，直线 1 2y x b   经过点 A，与 y 轴交于点 B，连接 OM ． （1）求 b 的值及点 M 的坐标； （2）将直线 AB 向下平移，得到过点 M 的直线 y mx n  ，且与 x 轴负半轴交于 点 C，取点  2,0D ，连接 DM ，求证： 45ADM ACM     ： （3）点 E 是线段 AB 上一动点，点 F 是线段OA上一动点，连接 EF ，线段 EF 的 延长线与线段 OM 交于点 G．当 2BEF BAO   时，是否存在点 E，使得 3 4GF EF ？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 10、如图，已知抛物线 y=ax2+ x+4 的对称轴是直线 x=3，且与 x 轴相交于 A，B 两点（B 点在 A 点右侧）与 y 轴交于 C 点． （1）求抛物线的解折式和 A、B 两点的坐标； （2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合），则是否存 在一点 P，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在， 试说明理由； （3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN=3 时，求 M 点的坐标． 11、如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 和直线 y=x+1 交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上， 点 B 在直线 x=3 上，直线 x=3 与 x 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从点 A 出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段 AB 向点 B 运动，点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 CA 向点 A 运动，点 P，Q 同时 出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒（t ＞0）．以 PQ 为边作矩形 PQNM，使点 N 在直线 x=3 上． ①当 t 为何值时，矩形 PQNM 的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当 t 为何值时，恰好有矩形 PQNM 的顶点落在抛物线上 12、如图，已知二次函数 y=ax2+2x+c 的图象经过点 C（0，3），与 x 轴分别交于 点 A，点 B（3，0）．点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点． （1）求二次函数 y=ax2+2x+c 的表达式； （2）连接 PO，PC，并把△POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POP′C．若四边形 POP′ C 为菱形，请求出此时点 P 的坐标； （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 点的坐标 和四边形 ACPB 的最大面积． 13、如图，抛物线 ⸸ 㔴 ൅ ܾ 过 ܿܽ 、 ܿ ܽ ，直线 AD 交抛物线于 点 D，点 D 的横坐标为 ，点 ܿ䁬耀ܽ 是线段 AD 上的动点． ܿܽ 求直线 AD 及抛物线的解析式； ܿܽ 过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系 式，m 为何值时，PQ 最长？ ܿܽ 在平面内是否存在整点 ܿ 横、纵坐标都为整数 ܽ ，使得 P、Q、D、R 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由． 14、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 2y ax bx c   交 x 轴于点 ( 4,0)A  、 (2,0)B ，交 y 轴于点 (0,6)C ，在 y 轴上有一点 (0, 2)E  ，连接 AE . （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求 ADE 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 P ，使 AEP 为等腰三角形，若存在，请直接 写出所有 P 点的坐标，若不存在请说明理由. 15、抛物线 L：y＝－x2＋bx＋c 经过点 A(0，1)，与它的对称轴直线 x＝1 交于点 B (1) 直接写出抛物线 L 的解析式 (2) 如图 1，过定点的直线 y＝kx－k＋4（k＜0）与抛物线 L 交于点 M、N．若△ BMN 的面积等于 1，求 k 的值 (3) 如图 2，将抛物线 L 向上平移 m（m＞0）个单位长度得到抛物线 L1，抛物线 L1 与 y 轴交于点 C，过点 C 作 y 轴的垂线交抛物线 L1 于另一点 D．F 为抛物线 L1 的对称轴与 x 轴的交点，P 为线段 OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合 条件的点 P 恰有 2 个，求 m 的值及相应点 P 的坐标 16、抛物线 6x3 32x6 6y 2  与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边)， 与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点。 (1)如图 1，连接 CD，求线段 CD 的长； (2)如图 2，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一点，PF⊥x 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于点 E；将如图 1，图形 ABCD 是由两个二次函数 y1=kx2+m（k＜0）与 y2=ax2+b （a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知 A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）． （1）直接写出这两个二次函数的表达式； （2）判断图形 ABCD 是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形 ABCD 上）， 并说明理由； （3）如图 2，连接 BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC 与△ADE 相似（其 中点 C 与点 E 是对应顶点）的点 E 的坐标 17、如图，已知 A（﹣2，0），B（4，0），抛物线 y=ax2+bx﹣1 过 A、B 两点，并 与过 A 点的直线 y=﹣ x﹣1 交于点 C． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使四边形 ACPO 的周长最小？若存在， 求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点 M 为 y 轴右侧抛物线上一点，过点 M 作直线 AC 的垂线，垂足为 N． 问：是否存在这样的点 N，使以点 M、N、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存 在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18、在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ 1 2 x2+bx+c 经过点 A（﹣4，0），点 M 为抛 物线的顶点，点 B 在 y 轴上，且 OA＝OB，直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C （2，6），如图①． （1）求抛物线的解析式； （2）直线 AB 的函数解析式为 ，点 M 的坐标为 ，cos∠ABO ＝ ； 连接 OC，若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P，将△AOC 的面积分成 1：2 的两部分， 则点 P 的坐标为 ； （3）在 y 轴上找一点 Q，使得△AMQ 的周长最小．具体作法如图②，作点 A 关于 y 轴的对称点 A'，连接 MA'交 y 轴于点 Q，连接 AM、AQ，此时△AMQ 的周长最小．请 求出点 Q 的坐标； （4）在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 19、线段 OB 沿 x 轴左右平移，线段 OB 的对应线段是 O1B1，当 EC2 1PE  的值最 大时，求四边形 PO1B1C 周长的最小值，并求出对应的点 O1 的坐标； (3)如图 3,点 H 是线段 AB 的中点，连接 CH.将△OBC 沿直线 CH 翻折至△O2B2C 的 位置，再将△O2B2C 绕点 B2 旋转一周，在旋转过程中，点 O2,C 的对应点分别是点 O3，C1.直线 O3C1 分别与直线 AC,x 轴交于点 M,N.那么,在△O2B2C 的整个旋转过程 中，是否存在恰当的位置，使△AMN 是以 MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直 接写出所有符合条件的线段 O2M 的长；若不存在，请说明理由。