泸县二中、二实 2021 年春期高 2020 级
第一次学月考试
理科数学试题
理科数学试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,满分 150 分。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置。
2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上,填涂在试卷上无效。
3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上,填写在试卷上无效。
第一部分 (选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,只有一项是符合题目要求.)
1. cos15 cos45 -sin15 sin 45 ( )
A. 1
2
B. 3
2
C. 1
2
D. 3
2
2. ABC 的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c ,且 1a , 3c ,
6B ,则 ABC 的
面积为( )
A. 3
2
B. 3
4
C. 3
2
D. 3
4
3.已知 ,2
,且 1sin cos 5
,则 s i n 2 ( )
A. 7
2 5
B.
5
24
2
C. 24
25
D. 7
25
4.已知等差数列 na 中, 10 155 15a a a ,则 102a ( )
A.8 B.16 C.32 D.64
5.已知a与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 3a b 等于( )
A. 7 B. 10 C. 13 D.4
6.若锐角 , 满足 4 3cos ,cos( )5 5
,则 sin 的值是( )
A. 17
25
B. 3
5
C. 7
25
D. 1
5
7. 若, 均为锐角,且 tan 2 , tan 3 ,则 等于( )
A.
4
B. 3
4
C. 5
4
D. 7
4
8.已知 1cos 4 3
,则cos 22
( )
A.7
9
B. 7
9
C. 4 2
9
D. 4 2
9
9.如图,在矩形 O A C B 中, ,E F 分别为 AC 和 BC 上的中点,若OC mOE nOF
uuur uuur uuur ,其
中 , ,m n R 则 m n 的值为( )
A. 3
4
B. 4
3
C.5
3
D. 3
5
10.把 100 个面包分给五个人,使每个人所得的面包个数成等差数列,最大的三份之和的 1
7
是最小的两份之和,则最小的一份的量是多少?这是世界上最古老的的数学著作之一《莱因
德纸草书》中一道题,则在该问题中的公差为( )
A.5
3
B. 5
2
C. 35
6
D. 55
6
11.若 0 ,函数 ( ) 3sin 4 cosf x x x ( 0 3x )的值域为 4,5 ,则 cos( )3
的取值范围是( )
A. 71, 25
B. 7 ,125
C. 7 3,25 5
D. 7 4,25 5
12.已知 xf 是定义在 R 上的奇函数,且 xfxf 2 ,当 1,0x 时,
121 xxf ,则函数 1sin xxfxg 在区间 3,1 内的所有零点之和为( )
A.3 B.5 C.4 D. 6
第二部分 (非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸的相应位置上.)
13.若数列 na 满足
1
2, 1
,11 , 1n
n
n
a na
则 3a ___________.
14.已知为第二象限的角, 3sin 5
,则 tan2 _____________
15.甲船在岛 A处南偏西 60°的处,且 AB 的距离为 10 海里,另有乙船正离开岛沿北偏西
60°的方向以每小时 8 海里的速度航行,若甲船要用 2 小时追上乙船,则速度大小为
__________海里.
16.在 ABC 中,
3B , M为 AC 边上的一点,且 2B M ,若 B M 为 ABC 的角平分
线,则 2 1
AM CM
的取值范围为 .
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算
步骤。)
17.记 nS 为等差数列 na 的前项和,已知 1 7a , 3 15S .
(1)求公差d及 na 的通项公式;
(2)求 nS ,并求 nS 的最小值.
18.设向量 (cos ,1), ( 3,4sin )a x b x
若 a b ,求 tan x 的值;
若 ( )//a b b ,且 [0, ]4x ,求向量a在b
上的投影。
19.已知 nS 是数列 na 的前项和,且 2 10nS n n .
(1)求 na ;
(2)求数列 na 的前 10 项和。
20.已知向量 3sin ,cosp x x
, cos , cosq x x ,函数 3
2f x p q , x R .
(1)当 5,12 12x
时,求函数 f x 的最小值和最大值;
(2)设 ABC 的内角 A , B , C 的对应边分别为,b,c,且 3c , 1f C ,
若sin 2sinB A ,求,b的值.
21. ABC 的内角 , ,A B C 所对边分别为 , ,a b c .已知 sin sin( )2
A Ca b B C .
(1) 求 B ;
(2) 若 ABC 为锐角三角形,且 2c ,求 ABC 面积的取值范围。
22.如图所示,某镇有一块空地 OAB ,其中
3km , 60 , 90OA OAM AOB .当地政府计划将这块空地改造
成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖 OMN ,其中 ,M N 都在边
AB 上,且 30MON ,挖出的泥土堆放在 OAM△ 地带上形成假山,剩下的 OBN△ 地
带开设儿童游乐场.为安全起见,需在 OAN 的周围安装防护网.设 AOM .
(1)当 3 km2AM 时,求的值,并求此时防护网的总长度;
(2)若 =15 ,问此时人工湖用地 OMN 的面积是堆假山用地 OAM△ 的面积的多少倍?
(3)为节省投入资金,人工湖 OMN 的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使 OMN
的面积最小?最小面积是多少?