中考数学高分突破相似三角形专题一遍过强化卷

2021 届初三中考数学高分突破相似三角形专题一遍过强化卷 一、单选题 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，放置边长分别为 3，4，x 的三个正方形，则 x 的 值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点O ，E 是 BC 的中点，DE 交 AC 于点 F ，若 12DE  ，则 DF 等于 ( ) A．3 B．4 C．6 D．8 3．如图，△ABO 的顶点 A 在函数 y＝ k x （x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过 AO 边的三 等分点 M、N 分别作 x 轴的平行线交 AB 于点 P、Q．若△ANQ 的面积为 1，则 k 的值为 （ ） A．9 B．12 C．15 D．18 4．如图，△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 边上一点，F 是 AD、BE 的交点，CE=2AE，BF=EF， EN∥BC 交 AD 于 N，若 BD=2，则 CD 长度为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 6．如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别在边 CD，AD 上， BE CF 于点 G，若 BC=4， AF=1，则 CE 的长为（ ） A．3 B．12 5 C．19 5 D． 16 5 7．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CE 平分∠DCB 交 BD 于点 F， 且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接 OE，下列结论：①∠ACD＝30°；②S 平行四边形 ABCD＝ AC BC ； ③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，E 为 AB 上一点，以 AE 为直径作⊙O 与 BC 相 切于点 D，若 AE＝5，AC＝4，则 BE 的长为 A． 5 3 B．10 3 C．3 D．1 9．如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=8，E 是边 CD 上一点，连接 AE．折叠该纸片， 使点 A 落在 AE 上的 G 点，并使折痕经过点 B，得到折痕 BF，点 F 在 AD 上．若 DE=4， 则 AF 的长为（ ） A． 16 3 B．4 C．3 D．2 10．如图，将正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，折痕为 EF，点 A 的对应点是点 A′，点 B 的 对应点是点 B′，点 B′落在边 CD 上，若 CB′:CD=1:3，且 BF＝10，则 EF 的长为（ ） A． 2 10 B． 6 5 C． 6 10 D．12 2 二、填空题 11．如图，光源 P 在水平横杆 AB 的上方，照射横杆 AB 得到它在平地上的影子为 CD （点 P 、A 、C 在一条直线上，点 P 、B 、D 在一条直线上），不难发现 //AB CD ．已 知 1.5AB m ， 4.5CD m ，点 P 到横杆 AB 的距离是1m ，则点 P 到地面的距离等于 ______ m ． 12．已知 ABC 是等边三角形， 6AB  ，点 D，E，F 点分别在边 , ,AB BC AC 上， : 2 : 3BD BE  ， DE 同时平分 BEF 和 BDF ，则 BD 的长为_____． 13．如图，在 Rt ABC 中， 90 , 3, 4A AB AC     ，正方形 DEFG 的顶点 ,D G 分 别在 ,AB AC 的边上， ,E F 在 BC 边上，则正方形 DEFG 的边长等于_______． 14．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点O ， 5 2AB  ， E 为OC 上 一点， 2OE  ，连接 BE ，过点 A 作 AF BE⊥ 于点 F ，与 BD 交于点G ，则 EF 的长 是______． 15．如图，在 ABC 中， ,AB AC BD 平分 ,ABC E 在 BA 延长线上，且 DE BD ， 若 8BC  ， 2AE  ，则 CD 的长为_____． 三、解答题 16．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，DF AE 于点 F ，设  0AD AE    ． （1）若 1  ，求证：CE FE ； （2）若 3, 4AB AD  ，且 D B F、 、 在同一直线上时，求  的值． 17．如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，且 AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若 AE＝1，EC＝3，求 AB 的长． 18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣ 1 2 x2+bx+c 与 x 轴正半轴交于点 A （4，0），与 y 轴交于点 B（0，2），点 C 在该抛物线上且在第一象限． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移 m 个单位，使得点 C 落在线段 AB 上的点 D 处，当 AD＝3BD 时，求 m 的值； （3）联结 BC，当∠CBA＝2∠BAO 时，求点 C 的坐标． 19．如图 1，四边形 ABCD 内接于 ,O AC 是 O 的直径， AD BD ．延长 AD 交 BC 的延长线于点 E ． （1）证明： ACD ECD   ． （2）当 8, 5AB CD  时， ①求 AD 的长度． ②如图 2，作 BF 平分 ABC 交 O 于点 F ，连结 ,DF AF ，求 ADF 的面积． 20．如图： ABC 中，AB AC ，以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E ， 点 F 在 AC 的延长线上， 1 2CBF BAC   ． （1）求证：直线 BF 是 O 的切线； （2）若 2FC  ， 6BF  ，求 CE 的长． 21．如图，已知边长为 10 的正方形 ABCD，E 是 BC 边上一动点（与 B、C 不重合），连 结 AE，G 是 BC 延长线上的点，过点 E 作 AE 的垂线交∠DCG 的角平分线于点 F，若 FG⊥BG． （1）求证：△ABE∽△EGF； （2）若 EC＝2，求△CEF 的面积； （3）当△CEF 的面积最大时，求 EC． 22．如图，抛物线 2y x bx c   与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C ， 3OA OC  ，顶点为 D ． （1）求此函数的关系式； （2）在 AC 下方的抛物线上有一点 N ，过点 N 作直线 / /l y 轴，交 AC 与点 M ，当 点 N 坐标为多少时，线段 MN 的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点 K ，在抛物线上有一点 L ，若使 A ， B ， K ， L 为顶点形成 平行四边形，求出 K ， L 点的坐标． （4）在 y 轴上是否存在一点 E ，使 ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点 E 的坐 标；若不存在，说明理由． 参考答案 1．C 解：如图，标注字母， ∵在 Rt△ABC 中（∠C=90°），放置边长分别 3，4，x 的三个正方形， 90C FPN    ， 由正方形可得： // ,EF PN ,CFE FNP   ,CEF PFN ∽ 同理： ,CEF OME ∽ ∴△CEF∽△OME∽△PFN， ∴OE：PN=OM：PF， ∵EF=x，MO=3，PN=4， 结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4， ∴（x-3）：4=3：（x-4）， ∴（x-3）（x-4）=12， 即 2 7 0x x  ，  7 0,x x   ∴x=0（不符合题意，舍去）或 x=7． 2．D 解：∵四边形 ABCD 是正方形，E 是 BC 中点， ∴CE= 1 2 AD， ∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC， ∴△CEF∽△ADF， ∴ 1 2 EF CE DF AD   ∴ 12 1 2 DF DF   解得 DF=8， 3．D 解：∵NQ∥MP∥OB， ∴△ANQ∽△AMP∽△AOB， ∵M、N 是 OA 的三等分点， ∴ 1 2 AN AM  ， 1 3 AN AO  ， ∴ 1 4 ANQ AMP S S   ， ∵四边形 MNQP 的面积为 3， ∴ 3 1 4 ANQ ANQ S S    ， ∴S△ANQ=1， ∵ 21 1 9AOB AN S AO      ， ∴S△AOB=9， ∴k=2S△AOB=18， 4．A 解：∵NE∥BC， ∴∠NEF=∠DBF，∠ENF=∠BDF， 又∵BF=EF， ∴△NEF≌△DBF， ∴NE=BD=2． ∵NE∥BC， ∴△ANE∽△ADC， ∴ NE AE CD AC  ， ∵CE=2AE， ∴ 1 3 NE AE CD AC   ， ∴CD=6． 5．C ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形， 6．A 如下图，过 D 做 DH FC 于点 H ∴ 90DHF   ∵正方形 ABCD ∴ 90FDC   且 4AD CD BC   ∵ 1AF  ∴ 4 1 3FD AD AF     ∴ 2 2 2 23 4 5FC FD CD     又∵ 90DHF FDC     ∴ FDC FHD△ ∽△ ∴ 3 5 FH FD FD FC   ∵ 3FD  ∴ 9 5FH  又∵正方形 ABCD ∴ //AD BC ∴ DFH BCG   ∵ BE CF 于点 G ∴ 90BGC CGE     ∴ FDH CBG△ ∽△ ∴ 4 3 GC BC FH FD   ∵ 9 5FH  ∴ 12 5GC  ∵ =FCD ECG  且 90FDC CGE     ∴ ECG CDF△ ∽△ ∴ 12 35= 4 5 EC GC FC CD   ∴ 3 3= 5=35 5EC FC  7．C 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°， ∵CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E， ∴∠DCE=∠BCE=60° ∴△CBE 是等边三角形， ∴BE=BC=CE， ∵AB=2BC， ∴AE=BC=CE， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确； ∵AC⊥BC， ∴S▱ ABCD=AC•BC，故②正确， 在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴AC= 3 BC， ∵AO=OC，AE=BE， ∴OE= 1 2 BC， ∴OE：AC= 3 ：6；故③错误； ∵AO=OC，AE=BE， ∴OE∥BC， ∴△OEF∽△BCF， ∴ CF BC EF OE  =2 ∴S△OCF：S△OEF= CF EF =2， ∴S△OCF=2S△OEF；故④正确． 8．A 连接 ED 并延长交 AC 的延长线于点 F，连接 OD，如图， ∵⊙O 与 BC 相切于点 D， ∴OD⊥BC， ∵∠ACB＝90°， ∴OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴ BO OD BA AC  ，即 5 5 2 2 5 4 BE BE   ， ∴BE＝ 5 3 ． 9．C 解：∵矩形 ABCD， ∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8 ∴∠BAG+∠DAE=90° ∵折叠该纸片，使点 A 落在 AE 上的 G 点，并使折痕经过点 B，得到折痕 BF， ∴BF 垂直平分 AG ∴∠ABF+∠BAG=90° ∴∠DAE=∠ABF， ∴△ABF∽△DAE ∴ AF AB DE AD  即 6 4 8 AF  10．C 设CB x  ，则 CD=3x， 2DB x  ， 由折叠得 10B F BF   ， ∴CF=3x-10， ∵ 2 2 2B F CF CB   ∴100= 2 2(3 10)x x  ， 解得 x=6 或 x=0（舍去）， ∴CD=18，CF=8， DB =12， ∵∠C=∠D=∠ 90A B F    , ∴∠ DB M CFB  , ∴△ DB M ∽△ CFB , ∴ DB DM MB CF CB FB      ， ∴ 12 8 6 10 DM MB  ， ∴DM=9， 15MB  ， ∴ 3A M  ，AM=9， 在 Rt△ A ME 中， 2 2 2EM A M A E   ， ∴ 2 2 23 (9 )EM EM   , 解得 EM=5， ∴AE=4， 过点 E 作 EH⊥BC 于 H，则四边形 ABHE 是矩形， ∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18， ∴FH=10-4=6， ∴EF= 2 2 2 218 6EH FH    6 10 , 故选：C. 11．3 解：如图，作 PF⊥CD 于点 F， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB， ∴△PAB∽△PCD， ∴ AB PE CD PF  ， 即： 1.5 1 4.5 PF  ， 12．14 5 解：如图， DE 同时平分 BEF 和 BDF ， BDE FDE   ， BED FED   ， 在 BDE 与 FDE 中， BDE FDE DE DE BED FED         ， ( )BDE FDE ASA   ， DBE DFE   ， BD DF ， BE EF ， ABC 是等边三角形， 60A ABC C       ， 60DFE   ， 120ADF AFD AFD CFE         ， ADF CFE   ， ADF CFE ∽ ，  AD DF AF CF EF CE   ， : 2 :3BD BE  ， 设 2BD DF x  ， 3BE EF x  ， 6 2AD x   ， 6 3CE x  ，  6 2 2 3 6 3 x x AF CF x x     ， 9 3CF x   ， 4 2AF x  ， 6AF CF  ， 9 3 4 2 6x x     ， 7 5x  ， 142 5BD x   ． 故答案为： 14 5 ． 13． 60 37 解：∵ 90 , 3, 4A AB AC     ， ∴ 2 2 2 24 3 5BC AC BA     ， ∵四边形 DEFG 是正方形， ∴∠DEB=∠A=90°， ∠B=∠B， ∴△ABC∽△EBD， ∴ AB AC BE DE  ， 即 3 4 BE DE  ， 同理， 3 4 FG FC  ， 设 BE 为 3x，则 DE 为 4x，FC 为16 3 x ， 163 4 53x x x   解得， 15 37x  ， DE=4× 15 37 = 60 37 ， 14．14 29 29 解： 四边形 ABCD 是正方形， 5 2AB  ， 90AOB  ∴ ，OA=OB=OC=OD， ∵ 2 22OA AB , ∴ 5AO BO CO   ， AF BE ， EBO EAF   ， EBO EAF ∽△ △ ，即 EF AE OE BE  2OE  ， 5OB OA  ， 29BE  ， 7AE  ， 7 2 29 EF  ，解得 14 29 29EF  15． 57 3 解：∵BD 平分∠ABC， DE=BD ∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD ∴∠DBC=∠AED 如图，在 BC 上取点，使 BF=AE 则在 AED 与 FBD 中， AE FB AED DBC DE BD       ∴  AED FBD SAS△ ≌△ ∴AE=BF=2， DAE DFB = ， AD DF ∴CF=BC-BF=8-2=6 ∵∠BAD=180 DAE ，∠DFC=180 DFB ∴∠BAD=∠DFC 又∵∠C=∠C ∴ CFD∽ CAB ∴ CF CD CA BC  ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∠BAD=∠DFC ∴ 180 - 180 -FDC DFC C BAD ABC         ∵ 180 -C BAD ABC     ∴ FDC C   ∴DF=FC=6，则 AD=DF =6 ∴CA=6+CD 又∵CF=6，BC=8 ∴ 6 6+ 8 CD CD  解得 57 3CD   ． 16． （1）∵ 1  ， ∴ 1AD AE  ， ∴ AD AE ， 又∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ 90 //B AD BC AB CD AD BC    ， ， ， ， ∴ DAF AEB   ， ∵ DF AE ， ∴ 90DFA B     ， ∴在 DFA 和 ABE△ 中， DFA B DAF AEB AD AE         ∴ DFA ≌ ABE△ ， ∴ AF BE ， ∵ =AE AD BC ， ∴ AE AF BC BE   ， ∴CE FE ； （2）如图， D B F、 、 三点共线， ∵ 3, 4AB AD  ， ∴ 2 2 2 24 53BD AB AD     ， ∵ DF AE ， ∴ 1 1 2 2ABDS AB AD BD AF   △ ， ∴ 3 4 12 5 5 AB ADAF BD     ， ∴ 2 2 2 212 164 ( )5 5DF AD AF     ， ∴ 16 95 5 5BF BD DF     ， ∵ //AD BE ， ∴在 ADF 和 EBF△ 中， FAD FEB ADF EBF AFD EFB        ， ， ， ∴ ADF ∽ EBF△ ， ∴ AD DF EB BF  ， 即 16 4 5 9 5 EB  ， ∴ 9 4EB  ， ∴ 2 2 2 29 153 ( )4 4AE AB EB     ， ∴ 1 4 16 155 4 AD AE     ． 17． 解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB， ∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD， ∴△AED∽△ADC． （2）∵△AED∽△ADC， ∴ AD AE AC AD  ，即 1 1 3 AD AD  ， ∴AD＝2 或 AD＝﹣2（舍去）． 又∵AD＝AB， ∴AB＝2 18． 解：（1）把点 A（4，0）和点 B（0，2）代入抛物线 y＝﹣ 1 2 x2+bx+c 中得： 1 16 4 02 2 b c c        ， 解得： 3 2 2 b c     ， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣ 1 2 x2+ 3 2 x+2； （2）如图 1，过点 D 作 DG⊥x 轴于 G， ∴DG∥OB， ∴△ADG∽△ABO， ∴ AD DG AG AB OB OA   ， ∵AD＝3BD， ∴AG＝3OG， ∵A（4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， ∴OG＝1，DG＝ 3 2 ， ∵D（1， 3 2 ）， 由平移得：点 C 的横坐标为 1， 当 x＝1 时，y＝﹣ 1 2 ×1+ 3 2 ×1+2＝3， ∴m＝3﹣ 3 2 ＝ 3 2 ； （3）∵∠CBA＝2∠BAO，点 C 在该抛物线上且在第一象限， ∴点 C 在 AB 的上方， 如图 2，过 A 作 AF⊥x 轴于 A，交 BC 的延长线于点 F，过 B 作 BE⊥AF 于点 E， ∴BE∥OA， ∴∠BAO＝∠ABE， ∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF， ∴∠FBE＝∠ABE， ∵∠BEF＝∠AEB＝90°， ∴∠F＝∠BAF， ∴AB＝BF， ∴AE＝EF＝OB＝2， ∴F（4，4）， 设 BF 的解析式为：y＝kx+n， 则 4 4 2 k n n     ， 解得： 1 2 2 k n     ， ∴BF 的解析式为：y＝ 1 2 x+2， ∴ 2 1 22 1 3 22 2 y x y x x         ， 解得 0 2 x y    或 2 3 x y    ， ∴C（2，3）． 19． （1）证明：∵  AD BD ， ∴∠BAD=∠ACD， ∵四边形 ABCD 内接于 O ， ∴∠ECD=∠BAD， ∴ ACD ECD   ； （2）解：①由（1）得： ACD ECD   ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC=∠CDE=90°， ∵CD=CD， ∴△ADC≌△EDC（ASA）， ∴AD=DE，AC=CE， ∵∠E=∠E， ∴△CDE∽△ABE， ∵ 8, 5AB CD  ， ∴ 5 8 CD CE AB AE   ， ∴ 5 2 8 CD CE AB DE   ， ∴ 5 4 CE DE  ， 设 5 , 4CE x DE x  ，在 Rt△CDE 中， 2 2 2CE DE CD  ， ∴ 2 225 16 25x x  ，解得： 5 3x  ， ∴ 20 3AD DE  ； ②连接 CF，过点 F 作 FH⊥AE 于点 H，如图所示： 由①得： 20 3AD DE  ， 25 3AC CE  ， ∵ BF 平分 ABC ，∠ABC=90°， ∴∠ABF=45°， ∴∠ACF=∠ADF=45°， ∵AC 是是⊙O 的直径， ∴∠AFC=90°， ∴△AFC 和△FHD 是等腰直角三角形， ∴AF=FC，FH=DH， ∴ 2 25 2 2 6AF AC  ， 设 DH=FH=x，则 20 3AH x  ， ∴在 Rt△AHF 中， 22 220 25 2 3 6x x              ， 解得： 1 2 5 35,6 6x x  （不符合题意，舍去） ∴ 5 6FH  ， ∴ 1 1 20 5 25 2 2 3 6 9AFDS AD FH      ． 20． （1）证明：连接 AD ， ∵ AB 是 O 的直径， ∴ 90ADB   ， ∴ 90BAD ABD     ， ∵ AB AC ， ∴ 1 2BAD BAC   ， ∵ 1 2CBF BAC   ， ∴ CBF BAD   ， ∴ 90CBF ABD    ， ∴ 90ABF  ，即 BF OB ， ∵OB 是 O 的半径， ∴ BF 是 O 的切线． （2）设 AB AC m  ，则 2AF AC CF m    ， 在 Rt ABF 中， ∵ 2 2 2BF AB AF  ， ∴  22 26 2m m   ，解得 8m  ， ∴ 8AB AC  ， 8 2 10AF    ， 连接 BE ， ∵ AB 是 O 的直径， ∴ 90AEB  ∠ ， ∴ 90AEB ABF     ， 又∵ BAE FAB   ， ∴ ABE AFB  ， ∴ AB AE AF AB  ， ∴ 2 28 6.410 ABAE AF    ∴ 8 6.4 1.6CE AC AE     ． 21． 解：（1） 四边形 ABCD 是正方形， EF AE ， 90B G AEF       ， 90BAE AEB    ， 90AEB FEG     ， BAE FEG   ， 90B G     ， BAE GEF ∽ ； （2） 10AB BC  ， 2CE  ， 8BE  ， FG CG  ， 2EG CE CG FG     ， 由（1）知， BAE GEF ∽ ，  AB BE EG FG  ，  10 8 2 FG FG  ， 8FG  ， 1 1 2 8 82 2ECFS CE FG      ； （3）设 CE x ，则 10BE x  ， EG CE CG x FG     ， 由（1）知， BAE GEF ∽ ，  AB BE EG FG  ，  10 10 x x FG FG  ， 10FG x   ， 2 21 1 1 1 25(10 ) ( 10 ) ( 5)2 2 2 2 2ECFS CE FG x x x x x              ， 当 5x  时， 25 2ECFS 最大 ． 22． 解：（1）∵ 3OA OC  ∴点 A 的坐标为（-3，0），点 C 的坐标为（0，-3） 把点 A，点 C 的坐标代入 2y x bx c   得， 2 3 ( 3) 3 0 c b c        解得， 3 2 c b     所以，此函数关系式为： 2 2 3y x x   （2）如图， 设直线 AC 的函数解析式为： y kx b   ， 将 ( 3,0)A  ， (0, 3)C  代入 y kx b   ，得 3 3 0 b k b      ， 解得， 3b   ， 1k   ∴直线 AC 的解析式为 3y x    ∵点 N 在直线 AC 下方的抛物线上， / /MN y 轴 ∴ 2 2 2( 3) ( 2 3) 3 ( 3 )MN y y x x x x x x x              为了使 MN 最大，就要使 2( 3 )x x  取最大值， ∴ 2 3x x 取最小值 ∵ 2 23 93 ( )2 4x x x    ∴当 3 2x   时，MN 有最大值，最大值为 9 4 ， 将 3 2x   代入 2 2 3y x x   中，得 y= 15 4  ， ∴N 的坐标为 3 15( , )2 4   （3）抛物线对称轴为 12 bx a     令 y=0 得， 2 2 3=0 x x ， 解得， 1 3x   ， 2 1x  ， ∴点 B 的坐标为（1，0） ①当 AB 和 KL 是平行四边形的对角线时，点 1K 和 1L 都在对称轴 1x   上时， ∴ 1( 1, 4)L   ， 1( 1,4)K  ②当 AB 和 KL 是平行四边形的两条对边，且 KL 在 y 轴右侧时， ∵ 3 1 4AB OA OB     ∴ 2 2 4K L  ∴ 2L 的横坐标为 3， ∴ 2 (3,12)L ， 2 ( 1,12)K  ③当 AB 和 KL 是平行四边形的两条对边，且 KL 在 y 轴左侧时， ∵ 3 3 4K L AB  ∴ 3L 的横坐标为-5 ∴ 3 ( 5,12)L  ， 3 ( 1,12)K  综上所述， K ， L 点的坐标为  1,12K  ，  3,12L ，或  1,12K  ，  5,12L  或  1,4K  ，  1, 4L   ； （4）如图， 设直线 AD 的函数解析式为 ADy kx b  将 ( 3,0)A  ， ( 1, 4)D   代入 ADy kx b  得 3 0 4 k b k b        ，解得 2 6 k b     ∴ 2 6ADy x   ①当 AE AD ，A 为垂足时， ∵ 1 1 90E AO AE O     , 1 90E AO DAP     ∴ 1AE O DAP   ∴ 1AE O DAP  ∴ 1OE AP AO PD  ∵AO=3，AP=2，PD=4 ∴ 1 2 3 4 OE  ∴ 1 3 2OE  ∴ 1 30, 2E      ②当 AD DE ，D 为垂足时， 同理可证 2DE O DAP  ∴ 2 DQ DP QE PA  ，即 2 1 4 2QE  , ∴ 2 1 2QE  ∴ 2 1 74 2 2OE    ∴ 2 7(0, )2E  ③当 AE⊥DE,E 为垂足时， 2 2 2AE DE AD  设 OE=x，则 QE=4-x ∴ 2 2 2 23 9AE x x    ， 2 2 2 21 (4 ) 8 17DE x x x      ， 2 2 2[ 1 ( 3)] ( 4 0) 20AD         ∴ 2 29 8 17 20x x x     解得： 1 1x  ， 2 3x  ∴ 3 1OE  ， 4 3OE  ∴  3 0, 1E  ，  4 0, 3E  ． 综上，点 E 的坐标为： 30, 2E      ， 70, 2E     ，  0, 1E  ，  0, 3E  ．