18.1.2 平行四边形的判定(二)
A 组基础训练
1.如图,为测量池塘边 A、B 两点的距离,小明在池塘的一侧选取一点 O,测得 OA、OB
的中点分别是点 D、E,且 DE=14 米,则 A、B 间的距离是( )
A.18 米 B.24 米 C.28 米 D.30 米
2.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠
C 的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.如图,在四边形 ABCD 中,点 P 是对角线 BD 的中点,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,
AD=BC,∠PEF=30°,则∠PFE 的度数是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
4.如图,D 是△ABC 内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H 分别是
AB、AC、CD、BD 的中点,则四边形 EFGH 的周长是( )
A.7 B.9 C.10 D.11
5.如图所示,DE 是△ABC 的中位线,若 BC=8,则 DE= .
6.如图,点 D、E、F 分别是△ABC 各边的中点,连接 DE、EF、DF.若△ABC 的周长为
10,则△DEF 的周长为 .
7.如图,▱ ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,点 E 是 AD 的中点,△BCD 的周长为 18,
则△DEO 的周长是 .
8.如图,在△ABC 中,BC=1,点 P1,M1 分别是 AB,AC 边的中点,点 P2,M2 分别是 AP1,
AM1 的中点,点 P3,M3分别是 AP2,AM2的中点,按这样的规律下去,PnMn的长为 (n
为正整数).
9.如图,D,E,F 分别是 BC,AC,AB 的中点.
(1)若 DE=10cm,则 AB= .
(2)求证:AD 与 EF 互相平分.
10.我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.
如图,在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点,依次连接
各边中点得到的中点四边形 EFGH.
(1)这个中点四边形 EFGH 的形状是 ;
(2)请证明你的结论.
B 组自主提高
11.如图所示,已知△ABC 的周长为 1,连接△ABC 三边的中点构成第二个三角形,再连接
第二个三角形三边中点构成第三个三角形,依此类推,第 2021 个三角形的周长为( )
A. B. C. D.
12.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,M、N 分别是 AB、AC 的中点,延长 BC 至点 D,
使 CD= BD,连接 DM、DN、MN.若 AB=6,则 DN= .
13.如图,四边形 ABCD 中,∠A=90°,AB=3 ,AD=3,点 M,N 分别为线段 BC,
AB 上的动点(含端点,但点 M 不与点 B 重合),点 E,F 分别为 DM,MN 的中点,则
EF 长度的最大值为 .
14.如图,在▱ ABCD 中,AE=BF,AF,BE 相交于点 G,CE,DF 相交于点 H.求证:GH
∥BC 且 GH= BC.
C 组综合运用
15.如图,在△ABC 中,AE 平分∠BAC,BE⊥AE 于点 E,点 F 是 BC 的中点.
(1)如图 1,BE 的延长线与 AC 边相交于点 D,求证:EF= (AC﹣AB);
(2)如图 2,请直接写出线段 AB、AC、EF 的数量关系.
参考答案与试题解析
A 组基础训练
1.如图,为测量池塘边 A、B 两点的距离,小明在池塘的一侧选取一点 O,测得 OA、OB
的中点分别是点 D、E,且 DE=14 米,则 A、B 间的距离是( )
A.18 米 B.24 米 C.28 米 D.30 米
【分析】根据 D、E 是 OA、OB 的中点,即 DE 是△OAB 的中位线,根据三角形的中位
线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半,即可求解.
【解答】解:∵D、E 是 OA、OB 的中点,即 DE 是△OAB 的中位线,
∴DE= AB,
∴AB=2DE=2×14=28 米.
故选:C.
2.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠
C 的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
【分析】在△ADE 中利用内角和定理求出∠AED,然后判断 DE∥BC,利用平行线的性
质可得出∠C.
【解答】解:由题意得,∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°,
∵点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线,
∴DE∥BC,
∴∠C=∠AED=70°.
故选:C.
3.如图,在四边形 ABCD 中,点 P 是对角线 BD 的中点,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,
AD=BC,∠PEF=30°,则∠PFE 的度数是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
【分析】根据中位线定理和已知,易证明△EPF 是等腰三角形.
【解答】解:∵在四边形 ABCD 中,P 是对角线 BD 的中点,E,F 分别是 AB,CD 的中
点,
∴FP,PE 分别是△CDB 与△DAB 的中位线,
∴PF= BC,PE= AD,
∵AD=BC,
∴PF=PE,
故△EPF 是等腰三角形.
∵∠PEF=30°,
∴∠PEF=∠PFE=30°.
故选:D.
4.如图,D 是△ABC 内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H 分别是
AB、AC、CD、BD 的中点,则四边形 EFGH 的周长是( )
A.7 B.9 C.10 D.11
【分析】根据勾股定理求出 BC 的长,根据三角形的中位线定理得到 HG= BC=EF,
EH=FG= AD,求出 EF、HG、EH、FG 的长,代入即可求出四边形 EFGH 的周长.
【解答】解:∵BD⊥DC,BD=4,CD=3,由勾股定理得:BC= =5,
∵E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点,
∴HG= BC=EF,EH=FG= AD,
∵AD=6,
∴EF=HG=2.5,EH=GF=3,
∴四边形 EFGH 的周长是 EF+FG+HG+EH=2×(2.5+3)=11.
故选:D.
5.如图所示,DE 是△ABC 的中位线,若 BC=8,则 DE= 4 .
【分析】易得 DE 是△ABC 的中位线,那么 DE 应等于 BC 长的一半.
【解答】解:根据三角形的中位线定理,得:DE= BC=4.
故答案为 4.
6.如图,点 D、E、F 分别是△ABC 各边的中点,连接 DE、EF、DF.若△ABC 的周长为
10,则△DEF 的周长为 5 .
【分析】由于 D、E 分别是 AB、BC 的中点,则 DE 是△ABC 的中位线,那么 DE= AC,
同理有 EF= AB,DF= BC,于是易求△DEF 的周长.
【解答】解:如上图所示,
∵D、E 分别是 AB、BC 的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线,
∴DE= AC,
同理有 EF= AB,DF= BC,
∴△DEF 的周长= (AC+BC+AB)= ×10=5.
故答案为 5.
7.如图,▱ ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,点 E 是 AD 的中点,△BCD 的周长为 18,
则△DEO 的周长是 9 .
【分析】根据平行四边形的性质得出 DE= AD= BC,DO= BD,AO=CO,求出
OE= CD,求出△DEO 的周长是 DE+OE+DO= (BC+DC+BD),代入求出即可.
【解答】解:∵E 为 AD 中点,四边形 ABCD 是平行四边形,
∴DE= AD= BC,DO= BD,AO=CO,
∴OE= CD,
∵△BCD 的周长为 18,
∴BD+DC+BC=18,
∴△DEO 的周长是 DE+OE+DO= (BC+DC+BD)= ×18=9,
故答案为:9.
8.如图,在△ABC 中,BC=1,点 P1,M1 分别是 AB,AC 边的中点,点 P2,M2 分别是 AP1,
AM1 的中点,点 P3,M3 分别是 AP2,AM2 的中点,按这样的规律下去,PnMn 的长为
(n 为正整数).
【分析】根据中位线的定理得出规律解答即可.
【解答】解:在△ABC 中,BC=1,点 P1,M1 分别是 AB,AC 边的中点,点 P2,M2 分
别是 AP1,AM1 的中点,点 P3,M3 分别是 AP2,AM2 的中点,
可得:P1M1= ,P2M2= ,故 PnMn= ,
故答案为:
9.如图,D,E,F 分别是 BC,AC,AB 的中点.
(1)若 DE=10cm,则 AB= 20cm .
(2)求证:AD 与 EF 互相平分.
【分析】(1)根据三角形的中位线定理即可得到结论;
(2)根据三角形的中位线定理可以得到 DF∥AE,DF=AE,则四边形 AFDE 是平行四
边形,根据平行四边形的性质即可得到结论.
【解答】解:(1)∵D,E 分别是 BC,AC 的中点,
∴DE= AB,
∵DE=10cm,
∴AB=20(cm),
故答案为:20cm;
(2)∵D、E、F 分别是 BC、AC、AB 的中点,
∴DF∥AE,DF=AE= AC,
∴四边形 AFDE 是平行四边形,
∴AD 与 EF 互相平分.
10.我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.
如图,在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点,依次连接
各边中点得到的中点四边形 EFGH.
(1)这个中点四边形 EFGH 的形状是 平行四边形 ;
(2)请证明你的结论.
【分析】(1)根据四边形的形状,及三角形中位线的性质可判断出四边形 EFGH 是平行
四边形;
(2)连接 AC、利用三角形的中位线定理可得出 HG=EF、EF∥GH,继而可判断出四边
形 EFGH 的形状;
【解答】解:(1)平行四边形.
(2)证明:连接 AC,
∵E 是 AB 的中点,F 是 BC 的中点,
∴EF∥AC,EF= AC,
同理 HG∥AC,HG= AC,
综上可得:EF∥HG,EF=HG,
故四边形 EFGH 是平行四边形.
B 组自主提高
11.如图所示,已知△ABC 的周长为 1,连接△ABC 三边的中点构成第二个三角形,再连接
第二个三角形三边中点构成第三个三角形,依此类推,第 2021 个三角形的周长为( )
A. B. C. D.
【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长,总结规律,根据规律解答即
可.
【解答】解:如图,
∵D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点,
∴DE、EF、DF 分别为△ABC 的中位线,
∴DE= AC,DF= BC,EF= AB,
∴△DEF 的周长=DE+EF+DF= (AC+BC+AB)= ,
∴第二个三角形的周长是 ,
同理可得,第三个三角形是 ,
……
∴第 2021 个三角形的周长是 ,
故选:D.
12.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,M、N 分别是 AB、AC 的中点,延长 BC 至点 D,
使 CD= BD,连接 DM、DN、MN.若 AB=6,则 DN= 3 .
【分析】连接 CM,根据三角形中位线定理得到 NM= CB,MN∥BC,证明四边形 DCMN
是平行四边形,得到 DN=CM,根据直角三角形的性质得到 CM= AB=3,等量代换即
可.
【解答】解:连接 CM,
∵M、N 分别是 AB、AC 的中点,
∴NM= CB,MN∥BC,又 CD= BD,
∴MN=CD,又 MN∥BC,
∴四边形 DCMN 是平行四边形,
∴DN=CM,
∵∠ACB=90°,M 是 AB 的中点,
∴CM= AB=3,
∴DN=3,
故答案为:3.
13.如图,四边形 ABCD 中,∠A=90°,AB=3 ,AD=3,点 M,N 分别为线段 BC,
AB 上的动点(含端点,但点 M 不与点 B 重合),点 E,F 分别为 DM,MN 的中点,则
EF 长度的最大值为 3 .
【分析】根据三角形的中位线定理得出 EF= DN,从而可知 DN 最大时,EF 最大,因
为 N 与 B 重合时 DN 最大,此时根据勾股定理求得 DN=DB=6,从而求得 EF 的最大值
为 3.
【解答】解:∵ED=EM,MF=FN,
∴EF= DN,
∴DN 最大时,EF 最大,
∵N 与 B 重合时 DN 最大,
此时 DN=DB= =6,
∴EF 的最大值为 3.
故答案为 3.
14.如图,在▱ ABCD 中,AE=BF,AF,BE 相交于点 G,CE,DF 相交于点 H.求证:GH
∥BC 且 GH= BC.
【分析】可先证明四边形 ABFE 是平行四边形,四边形 EFCD 是平行四边形,进而利用
平行四边形的性质得出 GH 是△BEC 的中位线,根据中位线的定理即可得出结论.
【解答】证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AE=BF,
∴四边形 ABFE 是平行四边形,
∴AF 与 BE 互相平分,
∴G 点是 BE 的中点,
同理可证:DE∥CF,DE=CF,
∴四边形 EFCD 是平行四边形,
∴DF 与 CE 互相平分,
∴H 点是 CE 的中点,
∴GH 是△BEC 的中位线,
∴GH∥BC,
∴GH= BC.
C 组综合运用
15.如图,在△ABC 中,AE 平分∠BAC,BE⊥AE 于点 E,点 F 是 BC 的中点.
(1)如图 1,BE 的延长线与 AC 边相交于点 D,求证:EF= (AC﹣AB);
(2)如图 2,请直接写出线段 AB、AC、EF 的数量关系.
【分析】(1)先证明 AB=AD,根据等腰三角形的三线合一,推出 BE=ED,根据三角形
的中位线定理即可解决问题.
(2)结论:EF= (AB﹣AC),先证明 AB=AP,根据等腰三角形的三线合一,推出 BE
=ED,根据三角形的中位线定理即可解决问题.
【解答】(1)证明:如图 1 中,
∵AE 平分∠BAC,BE⊥AE 于点 E,
∴△ABD 是等腰三角形,
∴BE=DE,
∵BF=FC,
∴EF= DC= = (AC﹣AB).
(2)结论:EF= (AB﹣AC),
理由:如图 2 中,延长 AC 交 BE 的延长线于 P.
∵AE⊥BP,
∴∠AEP=∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠PAE+∠APE=90°,
∵∠BAE=∠PAE,
∴∠ABE=∠ADE,
∴AB=AP,
∵AE⊥BD,
∵E 为 BP 的中点,
∴BE=PE,
∵点 F 为 BC 的中点,
∴BF=FC,
∴EF= PC= (AP﹣AC)= (AB﹣AC).