2020-2021 学年度高二下学期数学周练试卷（三）（理）
一、单选题
1．已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足 1z 2i 1 i
，则复数 z 在复平面内的点到原点的距离为（ ）
A．13
2 B． 26
2
C． 10
2
D． 5
2
2．已知 1a ， 2a ， 3a ， 4a 均为正数，且 1 2 3 4 10a a a a ，以下有两个命题：
命题一： 1a ， 2a ， 3a ， 4a 中至少有一个数小于 3；
命题二：若 1 2 3 4 7a a a a ，则 1a ， 2a ， 3a ， 4a 中至少有一个数不大于 1
关于这两个命题正误的判断正确的是（ ）
A．命题一错误､命题二错误 B．命题一错误､命题二正确
C．命题一正确､命题二错误 D．命题一正确､命题二正确
3．观察右图：则第（ ）行之和为 22011
A．2010 B．2009 C．1006 D．1005
4．已知(1＋2x)8 展开式的二项式系数的最大值为 a，系数的最大值为 b，则 b
a
的值为（ ）
A．128
5 B． 256
7 C． 512
5 D． 128
7
5．已知 *1 2 3 2,f x x x x x n n n N ，其导函数是 f x ，若
1
0n
fa f
，
则 50a （ ）
A． 1
50! B． 1
50 C．50 D．50!
6．已知 10 2 10
0 1 2 10(1 2 ) ...x a a x a x a x ，则 1 2 3 102 3 ... 10a a a a （ ）
A． 20 B． 15 C．15 D．20
7．函数 1 2 1
1
1 1 1( ) , ( ) , , ( ) , ,( ) ( )n
n
f x f x f xx x f x x f x 则函数 2014 ( )f x 是
A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
8．在如图算法框图中，若 3
3
(2 1 sin )a x x dx
，程序运行的结果 S 为二项式
5(2 )x 的展开式中 3x 的系数的 3 倍，那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件
是（ ）
A． 3k B． 3k C． 4k D． 4k
9．如右图，已知点 P 沿着半径为1的半圆弧按逆时针方向从 B 点行进到 A 点（不含 ,A B ），由弧 BP，
线段 ,AP AB 围成的平面图形 PAB 的面积记为S ，设 xBP 弧 ， S f x .则 f x 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14 名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班 4
人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）
A． 12 4 4
14 12 8C A A B． 12 4 4
14 12 8C C C C．
12 4 4
14 12
3
3
8C C C
A D． 12 4 4
14 12
3
88C C C A
11．在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品.已知某药店有 4 种不同类型的口罩 A ，B ，C ，
D ，其中 D 型口罩仅剩 1 只（其余 3 种库存足够）.今甲、乙等 5 人先后在该药店各购买了 1 只口罩，
统计发现他们恰好购买了 3 种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（ ）
A．330 种 B．345 种 C．360 种 D．375 种
12．已知函数 ( ) 1( )xf x ae x a R 有两个零点 1x ， 2x ，且 1 2x x 则下列结论中正确的是（ ）
A． 1a B． 1 > 0x C． 1 21 0x x D． 1 2 1 2ln 1 ln 1x x x x
二、填空题
13．观察下列式子： 2
1 31 2 2
， 2 2
1 1 51 2 3 3
， 2 2 2
1 1 1 71 2 3 4 4
，...，根据以上式子可以猜想
第 2019 个式子是______.
14．设复数 1
1
iz i
（i 为虚数单位），则
1 2 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7
8 8 8 8 8 8 8 8C c z C z C z C z C z C z C z ______.
15．现有 3 位男学生 3 位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3 位女学生中有且只有两位相邻，则
不同的排法种数是_____．（用数字作答）
16．已知函数 ( ) ln( 3) 2f x x x ，若不等式 ( ) 2 0f x a 有解，则整数 a 的最小值为________.
三、解答题
17．已知 i 是虚数单位，设复数 z 满足 2 2z .
（1）求 1 4z i 的最小值与最大值；
（2）若 4z z
为实数，求 z 的值.
18．请认真阅读下列材料：
“杨辉三角” (1261 年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653 年)早了 300 多年(如表
1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为 1,分母
为正整数的分数）,称为莱布尼兹三角形(如表 2)
请回答下列问题:
（I）记 为表 1 中第 n 行各个数字之和,求 4 7,S S ，并归纳出 nS ；
（II）根据表 2 前 5 行的规律依次写出第 6 行的数.
19．已知二次函数 2f x ax bx c ，直线 1 : 2l x ，直线 2
2 : 8l y t t
（其中 0 2,t t 为常数，若直线 1 2,l l 与函数 f x 的图象以及 2 ,l y 轴与函
数 f x 的图象所围成的封闭图形（阴影部分），如图所示.
（1）求 , ,a b c 的值；
（2）求阴影面积 S 关于 y 的函数 S t 的解析式.
20．某兴趣小组有 9 名学生.若从 9 名学生中选取 3 人，则选取的 3 人中恰好有一个女生的概率是 15
28 .
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9 个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后．．顺序保持不变）重新站队，问
有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9 名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
21．某居民小区内建有一块矩形草坪 ABCD，AB＝50 米， 25 3BC ，为了便于居民平时休闲散步，
该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路 OE，EF 和 OF，考虑到小区整体规划，要求 O 是
AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且 EOF 90 ＝ ,如图所示.
（Ⅰ）设 BOE ＝ ，试将 OEF 的周长 l 表示成 的函数关系式，并求出
此函数的定义域；
（Ⅱ）经核算，三条路每米铺设费用均为 400 元，试问如何设计才能使铺路的
总费用最低？并求出最低总费用．
22．设函数 lnf x ax x ，其中 a R ，曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线经过点 3,2 .
（1）求 a 的值；
（2）求函数 f x 的极值；
（3）证明: 2
x
xf x e e
.
答案第 1页，总 15页
参考答案
1．B 2．D
3．C
【分析】
根据图形中数据，归纳可得第 n 行各数之和 22 1n ，从而可得结果.
【详解】
由图形知，第一行有 1 个数，其和为1；
第二行有 3 个数，其和为 22 3 4 9 3 ；
第三行有 5 个数，其和为 23 4 5 6 7 25 5+ + + + = = ；
第四行有 7 个数，其和为 24 5 6 7 8 9 10 49 7 ,... ，
LLL
所以第 n 行有 2 1n 个数，其和为 22 1 2 22 1 2 12
n nn n n
，
令 2 22 1 2011 2 1 2011n n ，
解得 1006n .
故选：C
【点睛】
方法点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.
二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的
归纳和形的归纳两类：
(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及
项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
4．A
【分析】
根据二项式系数的性质求得 a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得 b
a
的值．
【详解】
由题意可得 4
8 70a C ，又展开式的通项公式为 1 8 2r r
r
rT C x ，
答案第 2页，总 15页
设第 1r 项的系数最大，则
1 1
8 8
1 1
8 8
·2 2
·2 2
r r r r
r r r r
C C
C C
，即 5
6
r
r
，
求得 = 5r 或 6，此时， 87 2b ， 128
5
b
a
，
故选：A．
【点睛】
方法点睛：求最大二项式系数时：如果 n 是奇数，最大的就是最中间一个，如果 n 是偶数,
最大的就是最中间两个；
求系数的最大项时：设第 r+1 项为系数最大项，需列出不等式组 +1 +2
+1
r r
r r
T T
T T
，解之求得 r .
5．B
【分析】
求出 1f 和 0f ，可得出 na 的表达式，进而可计算得出 50a 的值.
【详解】
1 2 3f x x x x x n ，其中 2n 且 n N ，
2 3 1 3f x x x x n x x x n
1 2 1x x x n ，
1 1 2 3 1f n ， 0 1 2 3 1f n n ，则
1 1
0n
fa f n
，
因此， 50
1
50a .
故选：B.
【点睛】
本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.
6．D
【分析】
观察所求系数的和，可知原式两边求导，再赋值求解.
【详解】
原式两边求导数，得 99 2
1 2 3 1020 1 2 2 3 ... 10x a a x a x a x
答案第 3页，总 15页
当 1x 时， 1 2 3 1020 2 3 ... 10a a a a .
故选：D
【点睛】
本题考查二项式定理系数和，导数计算，重点考查转化的思想，属于中档题型.
7．A
【详解】
试题分析：当 0x 时， 1
1( ) 0f x x
， 2
1
1( ) 0( )f x x f x
， 3
2
1( ) 0( )f x x f x
，…，
当 1( ) 0kf x 时，
1
1( ) 0( )k
k
f x x f x
，由数学归纳法知对任意的 *n N ，有 ( ) 0nf x ，
同理当 0x 时， ( ) 0nf x ( *)k N ，因此 ( )nf x 的定义域是{ | 0}x x 且不可能是偶函数，
由于 1
1( )f x x
是奇函数，，假设 ( )kf x 是奇函数，则
1 1
1 1( ) ( )( ) ( )k k
k k
f x f xx f x x f x ，即 1( )kf x 也是奇函数，因此对任意的
*n N ，有 ( )nf x 是奇函数，本题选 A.
考点：数学归纳法，函数的奇偶性.
8．C
【分析】
根据积分和二项式定理的内容求出 a ， S ，结合程序框图进行模拟运算即可．
【详解】
解： 3 32
33
(2 1 sin ) cosa x x dx x x x
9 3 cos3 9 3 cos3 6 ，
二项式 5(2 )x 的展开式中 3x 的系数为 3 2
5 2 40C ，即 3 40 120S ，
根据程序图
6k a ， 1S ，若此时输出 S ，不满足题意，则继续运行得 6S ， 5k
6S ， 5k ，若此时输出 S ，不满足题意，则继续运行得 30S ， 4k
30S ， 4k ，若此时输出 S ，不满足题意，则继续运行得 120S ， 3k
120S ， 3k ，若此时输出 S ，满足题意，
所以判断语句应填写 4k
答案第 4页，总 15页
故选 C 项.
【点睛】
本题主要考查程序框图的识别和判断，求出 a ，S 的值，利用模拟运算法是解决本题的关键．
9．A
【分析】
由 BP x ， 1OB ，可得 POB x ，进一步可得 sin
2 2
x xS ，通过分析S 的导函数 'S
即可得到答案.
【详解】
取 AB 的中点 O，连接 PO ，因为 BP x ， 1OB OP OA ，
所以 POB x ，则 POA x ，
所以 21 1 sinsin( )2 2 2 2
x xS OB x OA OP x ， (0, )x ，
' 1 cos 02 2
xS ， ' ' 1( ) sin 02S x ，这说明 'S 在 (0, ) 上是递减的，即
S 的图象上点的切线的斜率大于 0 且随 x 增大越来越小，故选项 A 中的图象符合.
故选：A
【点睛】
本题考查由解析式选择函数图象的问题，涉及到导数的几何意义，考查学生逻辑推理能力，
数形结合的思想，是一道中档题.
10．B
【分析】
首先从14 人中选出12 人平均分为3组，根据先分组再排序的原则结合分步乘法计数原理可
得出结果.
【详解】
答案第 5页，总 15页
首先从14 人中选出12 人共 12
14C 种，然后将12 人平均分为 3组共
4 4 4
12
3
8 4
3
C C C
A
种，然后这两
步相乘，得
12 4 4
14 12 8
3
3
C C C
A
.将三组分配下去共 12 4 4
14 12 8C C C 种.
故选：B.
【点睛】
本题考查分组分配问题，涉及平均分组问题，考查计算能力，属于中等题.
11．C
【分析】
根据 5 人中是否有人购买 D 型口罩分类，再按照平均分组和不平均分组计算求值.
【详解】
若这 5 人没人购买 D 型口罩，则 5 人构造剩下 4 种口罩中的三种，则可以按照 2，2，1 的
分组，共有
2 2
35 3
32
2
90C C AA
种方法，或是按照 3，1，1 的分组，则有 3 3
5 3 60C A 种方法，
若这 5 人有 1 人购买了 D 型口罩，则剩下的 4 人购买其他 2 个类型的口罩，可以按照 2，2
分组，有 1 2 2
5 3 4 90C C C 种方法，或是按照 3，1 分组，共有 1 2 3 2
5 3 4 2 120C C C A 种
方法，
综上可知，一共有 90 60 90 120 360 种方法.
故选：C
【点睛】
本题考查排列组合的应用，重点考查分步分类计数原理的应用，属于中档题型，本题的关键
是分类准确，区分平均分组和不平均分组.
12．C
【分析】
先求导，讨论函数的单调性，再对四个选项一一验证：
对于 A：直接利用两个零点的判断方法验证；
对于 B 和 C：利用两个零点 1x ， 2x 的范围判断；
对于 D：利用零点定义计算出 1 2 1 2ln 1 ln 1x x x x ，进行判断.
【详解】
答案第 6页，总 15页
( ) 1xf x ae ， 0a 时， 0f x 在 Rx 恒成立，
此时 f x 在 R 上单调递减，不合题意；
当 0a 时，由 ( ) 0f x ，解得 lnx a ，
当 lnx a 时， ( ) 0f x ， ( )f x 单调递增，
当 lnx a 时， 0f x ， f x 单调递增，
∴当 0a 时， f x 单调减区间为 ( , ln )a ，单调增区间为 ( ln , )a ，
可知当 lnx a 时，函数取得极小值为 ln( ln ) ln 1 lnaf a ae a a ，
又当 x 时， ( )f x ， x 时， ( )f x ，
∴要使函数 f x 有两个零点，则 0
ln 0
a
a
，
得 0 1a ，故 A 错误；
由 (0) 1 0f a ，极小值点 ln 0x a ，可得 1 20x x ，
∵ 1x ， 2x 是 f x 的两个零点，
∴ 1
1 1xx ae ， 2
2 1xx ae ．
可得 1 1ln 1 lnx a x ， 2 2ln 1 lnx a x ．
故 1 2 1 2ln 1 ln 1x x x x ，故 D 错误；
由 1 1 2 2ln 1 ln 1 lnx x x x a ，
设 ( ) ln( 1) lng x x x a ，则 1x ， 2x 为 g x 的两个零点，
得 g x 在 1,0 上单调增，在 (0, ) 上单调减，
∴ 1 21 0x x ，故 B 错误；C 正确．
综上，故选:C．
【点睛】
利用导数研究函数的零点问题，首先要判断函数的极值点，再判断函数的单调性，如果只存
在一个极小值点，则当极小值小于零时函数存在两个零点；如果只存在一个极大值点，则当
答案第 7页，总 15页
极大值大于零时函数存在两个零点．特别提醒：1．函数必须是连续的；2．函数在极值点左
右两侧必须是单调性相反．
13． 2 2 2
1 1 1 40391 2 3 2020 2020
【分析】
由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后
一个数的分母是不等式序号 1n 的平方,右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2 1n + ,
分母是不等式的序号 1n ,由上述分析即可得到第 2019 个不等式,即可得到结论.
【详解】
解：由已知中的不等式
2
1 31 2 2
2 2
1 1 51 2 3 3
2 2 2
1 1 1 71 2 3 4 4
.…
得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号 1n 的平方,右
边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2 1n + ,分母是不等式的序号 1n ,由上述分析即可
得到第 2019 个不等式为: 2 2 2
1 1 1 40391 2 3 2020 2020
.
故答案为: 2 2 2
1 1 1 40391 2 3 2020 2020
.
【点睛】
本题主要考查了按规律写出不等式,解题的关键是归纳推理其规律.
14． 15i
【分析】
首先化简可得 z i= ,然后观察多项式,如果加上 0
8C 各项乘以 z 后,恰好是二项式 8(1 )z ，所以
原式 8(1 z) 1 z ,化简即可,由二项式定理代值计算可得.
【详解】
答案第 8页，总 15页
解：化简可得
21 (1 )
1 (1 )(1 )
i iz ii i i
,
原式 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8= C z C z C z C z C z C z C z C z z
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8C C z C z C z C z C z C z C z C z 1 z
48 2(1 z) 1 z (1 i) 1 z 15 i 15i
故答案为: 15i .
【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算,涉及二项式定理的灵活应用,难度一般.
15．72
【分析】
对 6 个位置进行1 6～ 编号，第一步，两端排男生；第二步，2，3 或 4，5 排两名女生，则剩
下位置的排法是固定的.
【详解】
第一步：两端排男生共 2
3 6A ，
第二步：2，3 或 4，5 排两名女生共 2 2
3 2 2 12C A ，
由乘法分步原理得：不同的排法种数是 6 12 72 .
【点睛】
本题若没有注意 2 位相邻女生的顺序，易出现错误答案 36.
16． 1
【分析】
由函数 ( )f x 解析式及不等式 ( ) 2 0f x a ，分离参数并构造函数 ln( 3)g x x x ，经过两
次求导，可判断 g x 的单调性，结合零点存在定理可知存在 0 2, 1x 使得 0 0g x ，
再求出 0g x 的范围，进而由不等式有解，即可求得整数 a 的最小值.
【详解】
函数 ( ) ln( 3) 2f x x x ， 3,x ，
且不等式 ( ) 2 0f x a 有解，
所以 ln( 3) 2 2 0x x a ，即 ln( 3) 2 2x x a 有解，
答案第 9页，总 15页
只需 minln( 3) 2 2x x a ，
令 ln( 3)g x x x ， 3,x ，
则 ln( 3) 3
xg x x x
，设 ( ) ln( 3) 3
xh x x x
则 2 2
1 3 6 03 3 3
x x xh x x x x
，
即 ln( 3) 3
xg x x x
在 3,x 内单调递增，
而
3
3 3 2ln( 3) ln2 1 032 2 32
g
，
1 1
2 21 11 ln( 1 3) ln 2 ln 4 ln 01 3 2g e
，
所以存在 0
3, 12x
使得 0 0g x ，
而当 0 03,x x 时 g x 单调递减，当 0 0 ,x x 时 g x 单调递增，
所以 g x 在 0x 处取得极小值，即为最小值.
此时 0
0
0
ln( 3) 3
xx x
，
2
0
0 0 0 0min
0
3( ) ln( 3) , ( , 1)3 2
xg x g x x x xx
，
设
2 3, ( , 1)( ) 3 2u xx xx
，
2
( 6) 3( ) 0, ( , 1)( 3) 2
x xu x xx
恒成立，
2 3, ( , 1)( ) 3 2u xx xx
单调递增，
0
3( ) ( ) ( 1)2g g x g ，即 0
3 1( )2 2g x ，
又因为 minln( 3) 2 2x x a ，即 0 0
1( ) 2 2 , ( ) 12g x a a g x
答案第 10页，总 15页
而 0
7 1 5( ) 14 2 4g x ，所以整数 a 的最小值为 1 .
故答案为： 1 .
【点睛】
本题考查了导数与函数单调性、极值与最值的综合应用，零点存在定理的应用，由不等式有
解求参数的值，属于中档题.
17．（1）最大值为 7，最小值为 3.（2）见解析
【分析】
（1）根据题意 2 2z ，可知 z 的轨迹为以 (2,0) 为圆心，以 2 为半径的圆， 1 4z i 表
示点 ( , )x y 到 ( 1,4) 的距离，结合几何意义求得结果；
（2）根据 4z z
为实数，列出等量关系式，求得结果.
【详解】
（1）设 z x yi ，根据 2 2z ，
所以有 2 2( 2) 4x y ，
所以 z 的轨迹为以 (2,0) 为圆心，以 2 为半径的圆，
所以 2 21 4 ( 1) ( 4) ( 1) ( 4)z i x y i x y ，
其表示点 ( , )x y 到 ( 1,4) 的距离，
所以其最大值为圆心 (2,0) 到 ( 1,4) 的距离加半径，
最小值为圆心 (2,0) 到 ( 1,4) 的距离减半径，
所以最大值为 2 2(2 1) 4 2 7 ，最小值为 2 2(2 1) 4 2 3 ；
（2） 2 2 2 2 2 2
4 4 4( ) 4 4( ) ( )x yi x yz x yi x yi x y iz x yi x y x y x y
，
因为 4z z
为实数，所以 2 2
4 0yy x y
，
答案第 11页，总 15页
即 2 2
4(1 ) 0y x y
，所以 0y 或 2 2 4x y ，
又因为 2 2( 2) 4x y ，
所以 0
0
x
y
（舍去）， 4
0
x
y
，
1
3
x
y
，
1
3
x
y
，
所以 4z 或 1 3z i 或 1 3z i .
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实
数求复数的值，属于简单题目.
18．(1) 4S =8， 1
7 32 2n
nS S ， ;(2)见解析.
【解析】
试题分析：根据第 4 行和第 7 行的和可以归纳出前 n 项和的公式；根据前 5 行的规律得：由
已知得相邻的两个数相加等于它们所夹得上一层的数，由此能求出第 6 行的数．
详解：(1)第四行的和为 8,第 7 行的和为 32,则归纳第 n 行的和为 n 12 ；
(2)根据前 5 行的规律得：
由已知得相邻的两个数相加等于它们所夹得上一层的数，
∴第 6 行的数依次是：
， ， ， ， ， ．
故答案为 ， ， ， ， ， ．
点睛：本题考查数列的第 6 行的数的求法，是基础题，解题时要注意归纳总结规律．这类题
目和数列通项问题类似，常用方法：归纳推理求通项，根据相邻两项的关系找通项，根据前
n 项和与通项的关系解出通项公式.
19．(1) 1, 8, 0a b c ；(2) 2 24 4010 163 3t t .
【解析】
试题分析：（1）由图可知二次函数的图象过点 0,0 , 8,0 ，并且 f x 的最大值为 16，可
求得二次函数的解析式．（2）由（1）知，函数 f x 的解析式为 f x 2 8x x ，求出
二次函数与 2 8y t t （其中 0 2,t t 为常数）的交点，所以阴影部分面积要分两段积
答案第 12页，总 15页
分，分[0,1]和[1,2]积分可求得面积．
试题解析：（1）由图可知二次函数的图象过点 0,0 , 8,0 ，并且 f x 的最大值为 16，
则 2
2
0 1
8 8 0 8
04 164
c a
a b c b
cac b
a
.
（2）由（1）知，函数 f x 的解析式为 f x 2 8x x ，
由
2
2
2
8 8 8 0
8
y t t x x t t
y x x
，所以 1 2, 8x t x t ，
因为 0 2t ，所以直线 2l 与 f x 的图象位于 1l 左侧的交点坐标为 2, 8t t t ，
由定积分的几何意义知：
1 2
2 2 2 2
0 1
8 8 8 8S t t t x x dx x x t t dx
3 3
2 2 1 2 2 2 2 2
0 1
4 408 4 | 4 8 | 10 163 3 3 3
x xt t x x x t t x t t
.
20．（1）男生有 6 人，女生有 3 人.（2） 60480 （3）17280
【分析】
（1）设男生有 x 人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法
分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对 9 人全排，然后对 3 名女生除序；（3）先
对 6 名男生分成 3 组，再对 3 名女生全排后，将 3 组男生插空，每组男生全排，得到答案.
【详解】
解：（1）设男生有 x 人，则
2 1
9
3
9
15
28
x xC C
C
，
即 ( 1)(9 ) 90x x x ，解之得， 6x
故男生有 6 人，女生有 3 人.
（2）方法一：按坐座位的方法，
第一步：让 6 名男生先从 9 个位置中选 6 个位置坐，共有 6
9 60480A 种；
答案第 13页，总 15页
第二步：余下的座位让 3 个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有 1 种选择；
故，一共有 60480 1 1 60479 种重新站队方法.
方法二：除序法
第一步：9 名学生站队共有 9
9A 种站队方法；
第二步：3 名女生有 3
3A 种站队顺序；
故一共有
9
9
3
3
60480A
A
种站队方法，
所以重新站队方法有 60480 1 60479
（3）第一步：将 6 名男生分成 3 组，共有
2 2 2
6 4 2
3
3
15C C C
A
种；
第二步：三名女生站好队，然后将 3 组男生插入其中，共有 3 3
3 4 144A A 种
第三步：3 组男生中每组男生站队方法共有 32
2 8A 种
故一共有：15 144 8 17280 种站队方法.
【点睛】
本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.
21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【分析】
（Ⅰ）根据三角函数定义及勾股定理，即可表示出 EF 长度，进而用α表示出周长．根据点 E、
F 的极限位置，判断出角的大小范围得到定义域．
（Ⅱ）利用三角函数换元sin cos t ，将周长转化为关于 t 的函数，结合角α的范围求
得 t 的范围，进而得到 l 的范围，即为费用最低时的长度．
【详解】
（Ⅰ）∵在 Rt BOE 中， OB 25 B=90 BOE ＝ ， ， ＝ ,∴ 25
cosOE
在 Rt AOF 中， OA 25 A 90 AFO ＝ ， ＝ ， ＝ ，∴ 25
sinOF
又
2 2
2 2 25 25 25EOF=90 EF== cos sin cos sinOE OF
， ，
∴ 25 25 25
cos sin cos sinl OE OF EF 即 25 sin cos 1
cos sinl
.
答案第 14页，总 15页
当点 F 在点 D 时，这时角 最小，求得此时
6
；
点 E 在 C 点时，这时角 最大，求得此时
3
.故此函数的定义域为 ,6 3
（Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求 OEF 的周长 l 最小值即可.
由（Ⅰ）得， 25 sin cos 1
cos sinl
， ,6 3
设sin cos t ，则
2 1sin cos 2
t ，
∴
2
25 sin cos 1 25 1 50
1cos sin 1
2
tl t t
由 5 7
12 4 12
，得 3 1 22 t ，∴ 3 1 1 2 12 t ，
从而 12 1 3 11t
，当
4
，即 BE＝25 时， min 50 2 1l
所以当 BE AE 25＝ ＝ 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 20000 2 1 元
【点睛】
本题考查了三角函数的化简求值及在实际问题中的简单应用，属于基础题．
22．（1） 1a ；（2）极小值 1 1
e ef
，没有极大值；（3）证明见解析.
【分析】
（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐
标可求 a ；
（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；
（3）由于 2
x
xf x e e
等价于 2ln 0x
xx x e e
，结合（2）可得 1lnf x x x e
，
故只要证明 1 0x
x
e e
即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证.
【详解】
解：（1） lnf x a x a ，
则 1 0, 1f f a ，
答案第 15页，总 15页
故 y f x 在 1, 1f 处的切线方程 1y a x ，
把点 3,2 代入切线方程可得， 1a ，
（2）由（1）可得 ln 1, 0f x x x ，
易得，当 10 x e
时， 0f x ，函数单调递减，当 1x e
时, 0f x ，函数单调递增，
故当 1x e
时，函数取得极小值 1 1
e ef
，没有极大值，
证明：（3） 2
x
xf x e e
等价于 2ln 0x
xx x e e
，
由（2）可得 1lnf x x x e
（当且仅当 1x e
时等号成立）①，
所以 2 1ln x x
x xx x e e e e
，
故只要证明 1 0x
x
e e
即可，（需验证等号不同时成立）
设 1
x
xg x e e
， 0x 则 1
x
xg x e
，
当 0 1x 时， 0g x ，函数单调递减，当 1x 时， 0g x ，函数单调递增，
所以 1 0g x g ，当且仅当 1x 时等号成立，②
因为①②等号不同时成立，
所以当 0x 时， 2
x
xf x e e
.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现
了转化思想的应用．
微信/支付宝扫码支付