江西省南昌市新建区第二中学高二下学期理科数学周练（2）

1 新建二中 2020-2021 学年度下学期高二理科数学周练（2） 命题人：李勇 审题：高二数学备课组 范围：解几、导数、立几 时间：2021.3.9 时量：110 分钟 满分：150 分（其中卷面 10 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 A．异面 B．相交 C．相交或异面 D．平行或异面 2．下列说法正确的个数为：①有三个公共点的两平面必重合；②平面α和平面β只有一个公共点； ③三点确定一个平面． A．1 B．2 C．3 D．0 3．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A．6 B．9 C．12 D．18 第 3 题图 第 4 题图 4．一个几何体的主视图与左视图相同，均如图所示，则其俯视图可能是 5．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是 A．异面 B．平行 C．相交 D．可能相交、平行、也可能异面 6．如图是一个物体的三视图，则该物体对应的直观图为 7．若∠AOB＝∠A1O1B1，且 OA∥O1A1，射线 OA，O1A1 的方向相同，则下列结论中正确的是 A．OB∥O1B1，且射线 OB，O1B1 的方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB 与 O1B1 不平行 D．OB 与 O1B1 不一定平行 8．如图，在四面体 S－ABC 中，G1，G2 分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线 G1G2 与 BC 的位置 关系是 A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能 第 8 题图 第 9 题图 9．如图，若正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 6，则该棱锥的高等于 A. 3 3 B. 3 C．1 D. 3 2 10．某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是 A B C D 11．已知 )(xf  是函数 nxmmxxxf  )1(3 1)( 223 的导函数，若函数 )]([ xff  在区间 ]1,[ mm 上 单调递减，则实数 m 的取值范围是 A. ]0,1[ B. ]1,0[ C． ]1,1[ D. R 12．如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 2 2 2 1x y a b   (a,b>0)的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条 渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A． 2 3 3 B． 6 2 C． 2 D． 3 第 12 题图 第 14 题图 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡上） 13．在侧棱长为 2 3的正三棱锥 P－ABC 中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝20°，E、F 分别是 PB、 PC 上的点，过点 A、E、F 作截面 AEF，则△AEF 周长的最小值是______________． 14. 用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数 最多为________个． 15．过长方体一个顶点的三条棱长分别是 3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的 半径为________． 2 16．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下三个结论． ①AC⊥BD；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面 BCD 成 60°的角． 说法正确的命题序号是________． 三、解答题:本大题共 5 小题，60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）根据图中的三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图． 18．（本小题满分 12 分）如图，设 E，F，G，H 依次是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD ＝μ. (1)当λ＝μ时，求证：四边形 EFGH 是平行四边形； (2)当λ≠μ时，求证：①四边形 EFGH 是梯形；②三条直线 EF，HG，AC 交于一点． 第 18 题图 第 19 题图 19．（本小题满分 12 分）圆台的两底面半径分别为 5cm 和 10cm，高为 8cm，有一个过圆台的两母 线截面，且上、下底面中心到截面与两底面的交线距离分别是 3cm 和 6cm，求截面面积． 20．（本小题满分 12 分）如图，抛物线 )0(2: 2 1  ppxyC 与椭圆 )2(14: 2 2 2 2  ax a yC 交于 第一象限内一点 M ， F 为抛物线 1C 的焦点， 21,FF 分别为椭圆 2C 的上下 焦点，已知 10,1  OFMFOFMF . （1）求抛物线 1C 和椭圆 2C 的方程； （2）是否存在经过 M 的直线l ，与抛物线和椭圆分别交于 非 M 的两点 QP, ，使得 OMQFPF 221  ？若存在 请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 axxxxf  2ln)( ，其中 Ra . （1）当 1a 时，求函数的单调增区间； （2）l 为 )(xf 在 0xx  处的切线，且 )(xf 图像上的点都不在 l 的上方，求 0x 的取值范围. 3 新建二中 2020-2021 学年度下学期高二理科数学周练（2）参考答案 一、选择题：CDBBD CDBBC AB 二、填空题：13． 32 14. 7 15．5 2 2 16．①② 三、解答题:本大题共 5 小题，60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分） 解：由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由上面一个正四棱台和下面一个正方体组 合而成的，它的实物草图如图所示． 18．（本小题满分 12 分） 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AH AD ＝λ，故 EH λBD.同理 FG μBD. 由公理 4 得 EH∥FG，又可得 FG＝μ λEH. (1)若λ＝μ，则 FG＝EH，故 EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则 EH≠FG，故 EFGH 是梯形． ②在平面 EFGH 中 EF、HG 不平行，必然相交． 设 EF∩HG＝O，则由 O∈EF，EF 平面 ABC，得 O∈平面 ABC. 同理有 O∈HG 平面 ACD. 而平面 ABC∩平面 ACD＝AC，所以 O∈AC，即 EF、HG、AC 交于点 O. 19．（本小题满分 12 分） 解：如图，过圆台两母线的截面为等腰梯形 ABB1A1，OO1 为圆台的高，取 AB、A1B1 的中点 C、C1， 则 OC＝6cm，O1C1＝3cm. ∴AB＝2 AO2－OC2＝16(cm)， A1B1＝2 A1O21－O1C21＝8(cm)， CC1＝ O1O2＋OC－O1C12 ＝ 82＋6－32＝ 73(cm)． ∴S 截＝1 2(AB＋A1B1)CC1＝1 2 ×(16＋8)× 73＝12 73(cm2)． 20．（本小题满分 12 分） 解：（1）由题意得 3,1 10 122 22            MM MM M yx yx ppx ，分别代入抛物线和椭圆方程得： xyC 9: 2 1  ， 1412: 22 2  xyC . （2）斜率不存在时显然不合题意，由 )3,1(M 可设 3)1(:  xkyl ， 直线与抛物线联立得： 0)3()962( 2222  kxkkxk ， 由韦达定理及 1Mx 可得 2 2)3( k kxP  ； 直线与椭圆联立得： 0)36()3(2)3( 222  kkxkkxk ， 由韦达定理及 1Mx 可得 2 2 3 36 k kkxQ   . 由 OMQFPF 221  可得 09642 23  kkkxxx MQP 10)934)(1( 2  kkkk ，经检验符合题意. 存在符合题意的直线，其斜率为 1. 21．（本小题满分 12 分） 解：（1）定义域为 Rxxx  ,0 ，当  0x 121)(  xxxf ；当 0x  121)(  xxxf 。故 1,2 1012121)( 21 2  xxx xxxxxf ， 从而 )(xf 的单调递增区间为 )1,0(),2 1,(  . （2） x axxxf 12)( 2  ， )())((: 000 xfxxxfyl  令 )())(()()( 000 xfxxxfxfxg  ，由题意， 0)( xg 恒成立。 x xxxx xfxfxg )2 1)((2 )()()( 0 0 0   00 x 时：若 0x ，则 )()( 0max xgxg  ，若 0x ，则 )2 1()( 0 max xgxg  00 x 时：若 0x ，则 )2 1()( 0 max xgxg  ，若 0x ，则 )()( 0max xgxg  综上，原条件等价于 0)( 0 xg 且 0)2 1( 0  xg ，易得 0)( 0 xg 符合题意. 故 0 4 1)2ln(0)2 1( 2 0 2 0 2 0 0  x xxxg 。令 04 1)2ln(2 0  tttxt 设  )(04 )12()(4 1)2ln()( 2 2 tht tthtttth ，又 0)2 1( h ),2 2[]2 2,(2 1)2 1(0)( 0  xtgth .