高二数学下学期期末联考试题

高二数学下学期期末联考试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试用时 120 分钟．祝各位同学考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．若 ),0(, ba ，则“ 122  ba ”是“ baab 1 ”的（ ）． （A）必要非充分条件； （B）充分非必要条件； （C）充要条件； （D）既不充分也不必要条件． 2．经过点（0，0），且与以（2，－1）为方向向量的直线垂直的直线方程为（ ）． （A） 02  yx ； （B） 02  yx ； （C） 02  yx ； （D） 02  yx ． 3．已知动点 P（ x ， y ）满足 yxyx  22)1( ，则点 P 的轨迹是（ ）． （A）椭圆； （B）双曲线； （C）抛物线； （D）两相交直线． 4．（文科）给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条 直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行． 其中真命题的个数是（ ）． （A）4； （B）3； （C）2； （D）1． （理科）对于任意的直线l 与平面 ，在平面 内必有直线 m ，使 m 与l （ ）． （A）平行； （B）相交； （C）垂直； （D）互为异面直线． 5．若关于 x 的不等式 axx  11 的解集为 ，则实数 a 的取值范围为（ ）． （A） )2,( ； （B） ]2,( ； （C） ),2(  ； （D） ),2[  ． 6．已知直线l ： 2 axy 与以 A（1，4）、B（3，1）为端点的线段相交，则实数 a 的取值范围是（ ）． （A） 3 1a ； （B） 23 1  a ； （C） 2a ； （D） 3 1a 或 2a ． 7．已知圆 C： 4)2()( 22  yax )0( a 及直线l ： 03  yx ．当直线l B CA P 被圆 C 截得的弦长为 32 时，则 a （ ）． （A） 2 ； （B） 22  ； （C） 12  ； （D） 12  ． 8．已知点 A（3，2），F 为抛物线 xy 22  的焦点，点 P 在抛物线上移动，当 PFPA  取得最小值时，点 P 的坐标是（ ）． （A）（0，0）； （B）（2，2）； （C）（－2，－2） （D）（2，0）． 9．（文科）已知 0a ， 0b ， 121  ba ，则 ba  的最小值是（ ）． （A） 24 ； （B） 223  ； （C） 22 ； （D）5． （理科）已知 4x ，则 42 542   x xxy 有（ ）． （A）最大值 4 5 ； （B）最小值 4 5 ； （C）最大值 1； （D）最小值 1． 10．点 P 是双曲线 1124 22  yx 上的一点， 1F 和 2F 分别是双曲线的左、右焦点， 021  PFPF ，则 21PFF 的面积是（ ）． （A）24； （B）16； （C）8； （D）12． 11．如图 1，PA⊥平面 ABC，∠ACB＝ 90 ，且 PA ＝AC＝BC＝ a ，则异面直线 PB 与 AC 所成的角是（ ）． （A） 2 1arctan ； （B） 2arctan ； （C） 3 2arctan ； （D） 3arctan ． 图 1 12．（文科）已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的左，右焦点分别为 1F 、 2F ，点 P 在椭圆上，且 21 3 PFPF  ，则此椭圆的离心率的最小值为（ ）． （A） 3 2 ； （B） 2 1 ； （C） 3 1 ； （D） 4 1 ． （理科）已知 E、F 是椭圆 124 22  yx 的左、右焦点， l 是椭圆的一条准线，点 P P M N A B C D 在l 上，则∠EPF 的最大值是（ ）． （A） 15 ； （B） 30 ； （C） 45 ； （D） 60 ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上． 13． m ， n 是空间两条不同直线， ,  是两个不同平面，下面有四个命题： ①若 m ， //n ，  // ，则 nm  ； ②若 nm  ，  // ， m ，则 //n ； ③若 nm  ，  // ， //m ，则 n ； ④若 m ， nm // ，  // ，则 n ． 其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号） 14．对于圆 1)1( 22  yx 上任一点 ),( yxP ，不等式 0 myx 恒成立，则实 数 m 的取值范围 ． 15．设 yx, 满足约束条件：       ,02 ,02 ,1 yx yx yx 则目标函数 yxz  2 的最大值是 ． 16．已知抛物线 0882 22  yxyxyx 的对称轴为 0 yx ，焦点为（1，1）， 则此抛物线的准线方程是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 17．（12 分）设 0a ，解关于 x 的不等式： 11 )2(   x xa ． 18．（12 分）过抛物线 pxy 22  的焦点的一条直线和此抛物线相交于两个点 A、B， 经过点 A 和抛物线顶点的直线交准线于点 M． 求证：（Ⅰ） 2pyy BA  ； （Ⅱ）直线 MB 平行于抛物线的对称轴． 19．（12 分）如图 2，已知四边形 ABCD 为矩 形，PA⊥平面 ABCD，M、N 分别为 AB、PC 的中点． （Ⅰ）求证：MN⊥CD． x P B A O N M （Ⅱ）在棱 PD 上是否存在一点 E，使得 图 2 AE∥平面 PMC？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由． 20．（12 分）如图 3，过圆 222 Ryx  上的动 点 P 向圆 222 ryx  （ 0 rR ）引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于 M、N 两点，求△MON 面积的最小值． 21．（12 分）已知 Rba , ， 1x ， 求证： 22222 )()1( babx xax  ． 22．（14 分）文科做（Ⅰ）、（Ⅱ）；理科做（Ⅰ）、（Ⅲ）． 图 3 已知点 B（2，0）， )22,0(OA ，O 为坐标原点，动点 P 满足 34 OAOPOAOP ． （Ⅰ）求点 P 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当 m 为何值时，直线l ： mxy  3 与轨迹C 相交于不同的两点 M、N，且 满足 BNBM  ？ （Ⅲ）是否存在直线l ： )0(  kmkxy 与轨迹C 相交于不同的两点 M、N，且满 足 BNBM  ？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案与提示: 一、选择题 1—5 BDBCB； 6—12 BCBBD BB． 提示： 1．由 0)1)(1(10,10122  bababa baab  1 ； 反之由 0)1)(1(  ba 不能推得 10,10  ba ． 故“ 122  ba ”是“ baab 1 ”的充分非必要条件．选（B）． 2．由题设知已知直线的斜率为 2 1 ，∴所求直线的斜率为 2； 又所求直线过原点，故 02  yx 为所求．选（D）． 3．由题设知动点 P 到定点（1，0）的距离和它到定直线 0 yx 的距离的比是常 数 2 ，根据双曲线的第二定义可得点 P 的轨迹为双曲线．选（B）． 4．（文科）①、④正确，选（C）． （理科）对于任意的直线l 与平面 ，若l 在平面 内，则存在直线 m⊥l ； 若l 不在平面 内，且l ⊥ ，则平面 内任意一条直线都垂直于l ； 若l 不在平面 内，且l 与 不垂直，则它的射影在平面 内为一条直线，在平面 内必有直线 m 垂直于它的射影，则 m ⊥l ．故选（C）． 5．由 2)1()1(11  xxxx 知 2a ．选（B）． 6．由 A（1，4）、B（3，1）在直线l 上或其异侧得 0)13)(2(  aa ． 解得 23 1  a ．选（B）． 7．设截得的弦为AB，圆心为 )2,(aC ，作 ABCH  于H，则由平几知识得 1CH ． 由此得 1 2 32  aCH ，解得 12 a ．选（C）． 8．点 A 在抛物线含焦点区域，过 A 作 AP 垂直于抛物线的准线交抛物线于点 P，则 由抛物线的定义知点 P（2，2）为所求点．选（B）． D P A C B 9．（文科） 22323)21)((  a b b a bababa ，选（B）． （理科）令 )2(2  txt ，则 )1(2 1 42 54)( 2 ttx xxtf   ． )(tf 在 ),2[  上是单调递增函数，故 y 的最小值是 4 5)2( f ．选（B）． 10．由 021  PFPF 得 644 22 2 2 1  cPFPF ， 4221  aPFPF ． ∴ 2 1 21  PFFS 21 PFPF  ＝12．选（D）． 11．如图，过 B 作 BD∥CA，且满足 BD＝CA， 则∠PBD 为 PB 与 AC 所成的角． 易得四边形 ADBC 为正方形， 由 PA⊥平面 ABC 得 BD  PD． 在 Rt△PDB 中， aPD 2 ， aDB  ， 2tan  DB PDPBD ．选（B）． 12．（文科）由题设和焦半径公式得 )(442 221 PexaPFPFPFa  ． axP 0 ．∴ eaexa P 22  ．即 2 1e ．选（B）． （理科）不妨设右准线l 交 x 轴于点 A，由平几知识知过 E、F 的圆且与l 相切于点 P 时，∠EPF 最大．由圆幂定理得 62232  AFAEAP ． 易得∠FPA＝ 30 ，∠EPA＝ 60 ，从而∠EPF＝ 30 为所求最大值，故选（B）． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上． 13．①、④； 14．  ,12[ ）； 15． 3 5 ； 16． 02  yx ． 提示：13．②、③为假命题；①、④为真命题． 14．设点 )sin1,(cos  P ，由题设得 0sin1cos  m ． 即  sin1cos  um 恒成立．而 211)4sin(2  xu ， ∴ 21 m ．故 m 的取值范围为  ,12[ ）． 15．如图，作出不等式表示的可行域（阴影部分） 和直线l ： 02  yx ，将l 向右上方平行移动，使其经过可 行域内的点Ａ )3 1,3 2( 时， yxz  2 取得最大值． 故当 3 2x ， 3 1y 时， 3 5 max z ． 16．对称轴 0 yx 与抛物线的交点（0，0）为抛物线的顶点，且抛物线的准线垂 直于对称轴，焦点（1，1）关于顶点（0，0）的对称点（－1，－1）在准线上，故所求 准线方程为 02  yx ． 三、解答题 17．不等式整理得 01 )12()1(   x axa ． 当 1a 时，不等式为 01 )1 12)(1(    x a axa ．……………（3 分） ①当 10  a 时， 11 12   a a ，原不等式解集为 ),1()1 12,(   a a ；……………（6 分） ②当 1a 时，不等式解集为 ),1(  ；……………（9 分） ③当 1a 时， 11 12   a a ，原不等式解集为 )1 12,1(   a a ．……………（12 分） 18．（Ⅰ）AB 方程为 2 pmyx  ，代入抛物线 pxy 22  方程得 02 22  ppmyy ．……………（3 分） 由韦达定理得 2pyy BA  ．……………（5 分） （Ⅱ）OA 方程为 xx yy A A ，与准线方程联立解得 M )2,2( A A x pyp  ．………（8 分） ∴ B B AA A A A M y y p p y p y yp x pyy    2 22 2 2 2 ．……………（11 分） 故直线 MB 平行于抛物线的对称轴．……………（12 分） 19．（Ⅰ）取 AC 的中点 O，连结 NO，MO， 由 N 为 PC 的中点得 NO∥PA．……………（2 分） 又 PA⊥平面 ABCD，∴NO⊥平面 ABCD．……………（4 分） O E D CB A N M P 又∵OM⊥AB，由三垂线定理得 AB⊥MN． 又∵CD∥AB，∴MN⊥CD．……………（6 分） （Ⅱ）存在点 E，使得 AE∥平面 PMC． 此时点 E 为 PD 的中点．……………（8 分） 证明如下：取 PD 的中点 E，连结 NE， 由 N 是 PC 的中点得 NE∥CD， CDNE 2 1 ． 又 MA ∥CD， CDMA 2 1 ， ∴MA∥NE，MA＝NE． 由此可知四边形 MNEA 是平行四边形， ∴AE∥MN． 由 MN 平面 PMC， AE 平面 PMC， ∴AE∥平面 PMC．……………（12 分） 20．设 ),( 00 yxP 为圆 222 Ryx  上任一点，则 cos0 Rx  ， sin0 Ry  ． 由题设知 O、A、P、B 在以 OP 为直径的圆上，该方程为 2 2 0 2 02020 )2()2()2( yxyyxx  ．……………（4 分） 而 AB 是圆 222 ryx  和以 OP 为直径的圆的公共弦，将这两圆方程相减得 直线 AB 的方程为 2 00 ryyxx  ． ∴ )0,( 0 2 x rM ， ),0( 0 2 y rN ．……………（8 分） 2 4 2 44 00 4 2sinsincos222 1 R r R r RR r yx rONOMS MON   ． 故△MON 面积的最小值为 2 4 R r ．……………（12 分） 21．∵ 22222 )()1( babx xax  abb x xax 2 )1( 12)1( 2 2 22    ，……（3 分） ∵ 1x ，∴ 1 1 )1( 12 22     xx x 0 )1)(1( 2 2 2    xx x ， 即 1 1 )1( 12 22     xx x ．……………（6 分） ∴ abb x xax 2 )1( 12)1( 2 2 22    abb x ax 2 1 1)1( 2 2 22    0222 1 1)12 2 2 22    abababb x ax ，……………（11 分） 故 22222 )()1( babx xax  ．……………（12 分） 22．（Ⅰ）设点 ),( yxP ，则 )22,(  yxOAOP ， )22,(  yxOAOP ． 由题设得 34)22()22( 2222  yxyx ．………（3 分） 即点 P 到两定点（0， 22 ）、（0，－ 22 ）的距离之和为定值 34 ，故轨迹C 是 以（0， 22 ）为焦点，长轴长为 34 的椭圆，其方程为 1124 22  yx ．……（6 分） （Ⅱ）设点 M ),( 11 yx 、N ),( 22 yx ，线段 MN 的中点为 ),( 000 yxM ， 由 BNBM  得 0BM 垂直平分 MN ． 联立      .123 ,3 22 yx mxy 消去 y 得 012326 22  mmxx ． 由 0)12(24)32( 22  mm 得 6262  m ．………（10 分） ∴ 322 21 0 mxxx  ， 2) 32 (30 mmmy  ．即 )2, 32 (0 mmM  ． 由 0BM ⊥ MN 得 13 2 32 2 0    m m kk MNBM ． 故 32m 为所求．………（14 分） （Ⅲ）若存在直线l 与椭圆C 相交于不同的两点 M ),( 11 yx 、N ),( 22 yx ，且满足 BNBM  ，令线段 MN 的中点为 ),( 000 yxM ，则 0BM 垂直平分 MN ． 联立      .123 ,123 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 两式相减得 ))(())((3 21212121 yyyyxxxx  ． ∴ ky x yy xx xx yykMN    0 0 21 21 21 21 3)(3 ． 又由 0BM ⊥ MN 得 kx yk BM 1 20 0 0  ．∴ 10 x ， ky 3 0  ． 即 )3,1(0 kM  ．………（10 分） 又点 0M 在椭圆C 的内部，故 123 2 0 2 0  yx ．即 12)3()1(3 22  k ． 解得 1k .又点 )3,1(0 kM  在直线l 上，∴ mkk 3 ． ∴ 3233  kkkkm （当且仅当 3k 时取等号）． 故存在直线l 满足题设条件，此时 m 的取值范围为 ），  32[]32,( ．………（14 分）