上海市实验学校高二下学期数学第4周周测试卷

上海市实验学校高二数学周测试卷 一、判断题（每小题 2 分，共 20 分） 1．在本大题中， a b c、、 是三条互不重合的直线，  、 、 是三个互不重合的平面． （1）若 //a b ， //a c ，则 //b c ； （2）若 a b ， a c ，则 //b c ； （3）若 //a  ， //b  ，则 //a b ； （4）若 a  ， a  ，则 //  ； （5）若 //a  ， //a  ，则 //  ； （6）若 a  ， //a b ，则 b  ； （7）若  ，  ，则 //  ； （8）若 a  ， a b ，则 //b  ； （9）若 //  ， a   ， b   ，则 //a b ； （10）若 a   ， b   ， //a b ，则 //  ． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 2．空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 依次为 AB、BC、CD、DA 边的中点，且 AC＝2， BD＝4，则 2 2EG FH ＝ . 3．对于已知直线 a，如果直线 b 同时满足下列三个条件：①与 a 是异面直线；②与 a 所成 的角为定值；③与 a 的距离为定值. 那么，这样的直线有 条. 4．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，若 12, 1, 3AB BC AA   ，则 1BC 与平面 1 1BB D D 所成的角 可用反三角函数值表示为  ____________． 5．如图，在四棱锥 ABCDP  中，底面 ABCD是边长为 2 的 菱形， 060ABC ， PA 平面 ABCD， PC 与平面 ABCD 所成角的大小为 2arctan ， M 为 PA 的中点．则异面直线 BM 与 PC 所成角的大小为 ． 6．在菱形 ABCD 中， 6AB  ， 30B   ．P 为菱形 ABCD 所 在平面 外的一点，PA  ， 4PA  ． P 到直线 BC 的 距离为 ． 7．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 是 BC1 的 中 点 ． 则 直 线 DE 与 平 面 ABCD 所 成 角 的 大 小 为 ． 8．ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面 ABCD，且 PD＝ AD，则面 PAB 与面 PCD 所成的锐二面角的大小为 . 9．ABCD—A1B1C1D1 是一个边长为 1 的正方体，过顶点 A 作正方体的截面（该截面与正方 体的表面不重合），若截面的形状为四边形，则截面面积的取值范围是 ． M D CB A P 三、选择题（每小题 3 分，共 12 分） 10. “直线l 垂直于 ABC 的边 AB ， AC ”是“直线l 垂直于 ABC 的边 BC ”的（ ） (A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 11. 设 a,b,c 表示三条直线， ， 表示两个平面，下列命题中不正确的是（ ） A.      // a  a B. cb ac b a     内的射影在是 内在   b C.    // // c c b cb     内不在 内在 D.       bab a // 12．如图，P 为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的中心， △ PAC 在该正方体各个面上的射影可 能是（ ） A B CD A1 B1 C1D1 P (1) (2) (3) (4) A. (1)、(2)、(3)、(4) B.(1)、(3) C.(1)、(4) D.(2)、(4) 13．已知棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 E ， F 分别是棱 1BB ， 1DD 上的动 点，且 1BE D F   1(0 )2  ≤ ．设 EF 与 AB 所成的角为 ，与 BC 所成的角为  ， 则  的最小值( ) （A）不存在 （B）等于 60 （C）等于 90 （D）等于 120 四、解答题 14．（本题满分 6 分）如图，直线 a 不在平面 M 上，直线 b 在 M 上，且 //a b ．试用反证法 证明： //a M ． 证明：用反证法，若 a M P ，则 P M ． 因为 //a b ，所以直线 ,a b 确定一个平面  ． 由于直线 b 在 M 上，所以 M   ________． 因为 P a ，且______________，所以 P  ． 又因为 P M ，故 P b ，即 P a 且 P b ， 这样与已知中_______________矛盾， 所以 //a M ． M D C B A P 15．（本题满分 8 分）如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， //AB DC ，二面角 1A D D C  的平面角是直角，且 2AD DC  ， 3AB  ，求异面直线 1 1D C 与 DB 所成角的大小（结 果用反三角函数值表示）． 16．（本题 10 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点， M 为 PD 的中点． （1）试在 PC 上找一点 N ，使得 //MN AB ，并说明理 由； （ 2 ） 若 点 P 在 平 面 ABCD 上 的 射 影 是 点 D ， PD AB a  （ a 是正常数），求异面直线 MC 与 AB 所成角的大小； （3）若 PA AB a  （ a 是正常数），试判断 P 点在底面 ABCD 中的射影是否可能恰好落在点 C 上？说明你的理 由． 17．（本题 10 分）如图，在四棱锥 ABCDP  中，底面为直角梯形， // , 90AD BC BAD   ， PA 垂直于底面 ABCD， NMBCABADPA ,,22  分别为 PBPC , 的中点。 （1）求证： DMPB  ； （2）求 BD 与平面 ADMN 所成的角； A B CD 1A 1B 1C1D 18．（本题 10 分）如图，四棱锥 S＝ABCD 的底面是正方形，SD⊥平面 ABCD,SD＝AD＝a, 点 E 是 SD 上的点，且 DE＝  a(0<  ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的   （0、1），都有 AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角 C-AE-D 的大小为 600C，求  的值。 五、附加题 19．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 4AB  ， 3AC BC  ， D 为 AB 的中点。 （Ⅰ）求异面直线 1CC 和 AB 的距离； （Ⅱ）若 1 1AB AC ，求二面角 1 1A CD B  的平面角的余弦值。 20．从 O 点引三条射线 OA，OB， OC，其两两之间的夹角分别为 60 90 ,120  ， ，则这三 个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是多少？ 上海市实验学校高二数学周测试卷解答 一、判断题（每小题 2 分，共 20 分） 1．在本大题中， a b c、、 是三条互不重合的直线，  、 、 是三个互不重合的平面． （1）若 //a b ， //a c ，则 //b c ； （2）若 a b ， a c ，则 //b c ； （3）若 //a  ， //b  ，则 //a b ； （4）若 a  ， a  ，则 //  ； （5）若 //a  ， //a  ，则 //  ； （6）若 a  ， //a b ，则 b  ； （7）若  ，  ，则 //  ； （8）若 a  ， a b ，则 //b  ； （9）若 //  ， a   ， b   ，则 //a b ； （10）若 a   ， b   ， //a b ，则 //  ． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ × × √ × √ × × √ × 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 2．空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 依次为 AB、BC、CD、DA 边的中点，且 AC＝2， BD＝4，则 2 2EG FH ＝ . 10 3．对于已知直线 a，如果直线 b 同时满足下列三个条件：①与 a 是异面直线；②与 a 所成 的角为定值；③与 a 的距离为定值. 那么，这样的直线有 条. 无数条 4．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，若 12, 1, 3AB BC AA   ，则 1BC 与平面 1 1BB D D 所成的角 可用反三角函数值表示为  ____________． 答案： 2arcsin 5 5．如图，在四棱锥 ABCDP  中，底面 ABCD是边长为 2 的 菱形， 060ABC ， PA 平面 ABCD， PC 与平面 ABCD 所成角的大小为 2arctan ， M 为 PA 的中点．则异面直线 BM 与 PC 所成角的大小为 ． 解：连结 BD ，交 AC 于点O ，连结 MO ， 因为 M 、O 分别为 PA 、 AC 的中点，所以 MO ∥ PC ， 所以 BMO （或其补角）为异面直线 BM 与 PC 所成的角． 在△ BMO中， 3BO ， 22BM ， 5MO （以下由余弦定理，或说明△ BMO是直角三角形求得） 4 6arcsinBMO 或 4 10arccos 或 5 15arctan ． 所以，异面直线 BM 与 PC 所成角的大小为 4 6arcsin 6．在菱形 ABCD 中， 6AB  ， 30B   ．P 为菱形 ABCD 所在平面 外的一点，PA  ， 4PA  ． P 到直线 BC 的距离为 ．5 M D CB A P O 7．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 是 BC1 的中点．则直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小为 ． 解：过 E 作 EF⊥BC，交 BC 于 F，连接 DF. ∵ EF⊥平面 ABCD， ∴ ∠EDF 是直线 DE 与平面 ABCD 所成的角. 由题意，得 EF= 1 1 1.2 CC  ∵ 1 1, 5.2CF CB DF    ∵ EF⊥DF， ∴ 5tan .5 EFEDF DF    故直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小是 5arctan 5 8．ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面 ABCD，且 PD＝AD，则面 PAB 与面 PCD 所成 的锐二面角的大小为 . 3arctan 2 9．ABCD—A1B1C1D1 是一个边长为 1 的正方体，过顶点 A 作正方体的截面（该截面与正方 体的表面不重合），若截面的形状为四边形，则截面面积的取值范围是 ． 答案： 3 22      ， 三、选择题（每小题 3 分，共 12 分） 10. “直线l 垂直于 ABC 的边 AB ， AC ”是“直线l 垂直于 ABC 的边 BC ”的（ B ）. (A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 11. 设 a,b,c 表示三条直线， ， 表示两个平面，下列命题中不正确的是（ D ） A.      // a  a B. cb ac b a     内的射影在是 内在   b C.    // // c c b cb     内不在 内在 D.       bab a // 12．如图，P 为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的中心， △ PAC 在该正方体各个面上的射影可 能是（ C ） A B CD A1 B1 C1D1 P (1) (2) (3) (4) A. (1)、(2)、(3)、(4) B.(1)、(3) C.(1)、(4) D.(2)、(4) E D1 C1 A1 B1 A B C D F 13．已知棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 E ， F 分别是棱 1BB ， 1DD 上的动 点，且 1BE D F   1(0 )2  ≤ ．设 EF 与 AB 所成的角为 ，与 BC 所成的角为  ， 则  的最小值( C ) （A）不存在 （B）等于 60 （C）等于 90 （D）等于 120 三、解答题 14．（本题满分 6 分）如图，直线 a 不在平面 M 上，直线 b 在 M 上，且 //a b ．试用反证法 证明： //a M ． 证明：用反证法，若 a M P ，则 P M ． 因为 //a b ，所以直线 ,a b 确定一个平面  ． 由于直线 b 在 M 上，所以 M   ___b___． 因为 P a ，且_____ a   _____，所以 P  ． 又因为 P M ，故 P b ，即 P a 且 P b ， 这样与已知中_____ / /a b _____矛盾， 所以 //a M ． 15．（本题满分 8 分）如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， //AB DC ，二面角 1A D D C  的平面角是直角，且 2AD DC  ， 3AB  ，求异面直线 1 1D C 与 DB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 解： 直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1 // //D C DC AB ， ∴ ABD 的大小即为异面直线 1 1D C 与 DB 所成的角的大小， 又直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，侧棱 1DD  面 ABCD ， ∴ 1DD AD ， 1DD DC ， ∴ ADC 即 为 二 面 角 1A D D C  的 平 面 角 ， ∴ 90ADC   ． 在 Rt ABD 中， 2AD  ， 3AB  ∴ 2tan 3 ADABD AB    ∴ 2arctan 3BDC  ，即异面直线 1 1D C 与 DB 所成的角的大小为 2arctan 3 ． A B CD 1A 1B 1C1D M D C B A P 16．（本题 10 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点， M 为 PD 的中点． （1）试在 PC 上找一点 N ，使得 //MN AB ，并说明理 由； （ 2 ） 若 点 P 在 平 面 ABCD 上 的 射 影 是 点 D ， PD AB a  （ a 是正常数），求异面直线 MC 与 AB 所成角的大小； （3）若 PA AB a  （ a 是正常数），试判断 P 点在底面 ABCD 中的射影是否可能恰好落在点 C 上？说明你的理 由． 解：（1） N 为 PC 的中点． 在平面 PDC 中，过 M 作 MN DC∥ ， 又因为 AB DC∥ ，所以 //MN AB ． （2）因为 AB DC∥ ，所以 MCD 为异面直线 MC 与 AB 所成角． 因为点 P 在平面上的射影是点 D ，所以在直角 MDC 中， 1arctan 2MCD  ． 即异面直线 MC 与 AB 所成角的大小为 1arctan 2 ． （3）不可能． 若 P 点在底面 ABCD 中的射影是否可能恰好落在点C 上，即 PC  平面 ABCD ． 又因为正方形 ABCD 的边长为 a ，则对角线 2AC a ， 在直角 PAC 中， PA AC ，矛盾！ 17．（本题 10 分）如图，在四棱锥 ABCDP  中，底面为直角梯形， // , 90AD BC BAD   ， PA 垂直于底面 ABCD， NMBCABADPA ,,22  分别为 PBPC , 的中点。 (1)求证： DMPB  ；（2）求 BD 与平面 ADMN 所成的角； 解:（1）证明：因为 N 是 PB 的中点， ABPA  ， 所以 PBAN  。 由 PA  底面 ABCD，得 PA AD ， 又 90BAD   ，即 BA AD ，  AD 平面 PAB ，所以 PBAD  ，  PB 平面 ADMN ，  DMPB  。 （2）连结 DN ， 因为 BP 平面 ADMN ，即 BN 平面 ADMN ， 所以 BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角， 在 Rt ABD 中， 2 2 2 2BD BA AD   ， 在 Rt PAB 中， 2 2 2 2PB PA AB   ， 故 1 22BN PB  ， 在 Rt BDN 中, 2 1sin  BD BNBDN ， 又  BDN0 ，故 BD 与平面 ADMN 所成的角是 6  。 18．（本题 10 分）如图，四棱锥 S＝ABCD 的底面是正方形，SD⊥平面 ABCD,SD＝AD＝a, 点 E 是 SD 上的点，且 DE＝  a(0<  ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的   （0、1），都有 AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角 C-AE-D 的大小为 600C，求  的值。 解：（Ⅰ）证：连接 BD，由底面是正方形可得 AC  BD。  SD  平面ＡＢＣＤ， BD 是 BE 在平面 ABCD 上的 射影，由三垂线定理得 AC  BE. (II)解： SD  平面 ABCD，ＣＤ  平面ＡＢＣＤ， SD  CD. 又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD  ＡD，又ＳＤ  AD=D， CD  平面 SAD。 过点 D 在平面 SAD 内做 DF  AE 于 F，连接 CF，则 CF  AE， 故  CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角，即  CFD=60° 在 Rt △ ADE 中， AD= a , DE= a ， AE= a 12  。 于是，DF= 12    a AE DEAD 在 Rt △ CDF 中，由 cot60°= 12     CD DF 得 3 3 12    ， 即 33 2  =3  (0,1]  ， 解得  = 2 2 四、附加题 19．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 4AB  ， 3AC BC  ， D 为 AB 的中点。 （Ⅰ）求异面直线 1CC 和 AB 的距离； （Ⅱ）若 1 1AB AC ，求二面角 1 1A CD B  的平面角的余弦值。 解：（Ⅰ）如图，因 AC=BC， D 为 AB 的中点， 故 CD  AB。又直三棱柱中， 1CC  面 ABC ， 故 1 CDCC  ， 所以异面直线 1CC 和 AB 的距离为： 2 2CD= 5BC BD  （Ⅱ）：由 1CD ,CD ,AB BB  故 CD  面 1 1A ABB ， 从而 1CD DA ， 1CD DB 故 1 1A DB 为所求的二面角 1 1A CD B  的平面角。 因 1A D 是 1AC 在面 1 1A ABB 上的射影，又已知 1 1C,AB A 由三垂线定理的逆定理得 1 1D,AB A 从而 1 1A AB ， 1A DA 都与 1B AB 互余， 因此 1 1 1A AB A DA   ， 所以 1Rt A AD ≌ 1 1Rt B A A ，因此 1 1 1 1 AA A B AD AA  得 2 1 1 1 8AA AD A B   从而 2 2 1 1 1 1= 2 3, 2 3A D AA AD B D A D    所以在A1DB1中， 由余弦定理得 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1cos 2 3 A D DB A BA DB A D DB    20．从 O 点引三条射线 OA，OB， OC，其两两之间的夹角分别为 60 90 ,120  ， ，则这三 个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是多少？ 解：如图，不妨设 OA 与 OB 的夹角为 60 ，OB 与 OC 的夹 角为120 ，OC 与 OA 的夹角为 90 ，在 OA，OB， OC 上 分别取点 ', ', 'A B C ,使得 ' ' ' 1OA OB OC   作 ∠ AOB ， ∠ BOC ， ∠ COA 的 角 平 分 线 分 别 交 A'B',B'C',C'A' 于 D，E，F， 则 OD A'B',OE B'C',OF C'A'   ，且 D，E，F 分别是 A'B',B'C',C'A' 的中点. 正△ OA'B' 中，A'B' 1＝ ，等腰 Rt△ OA'C'中，A'C' 2＝ ， △ OB'C' 中， B'C' 3＝ ， 又 3 1 1 2OD 1 sin 60 , 1 sin30 ,OF ' '2 2 2 2OE A C          且 1 2 1 1 1 3' ' , ' ' , ' '2 2 2 2 2 2DE A C EF A B DF B C      所以 3 2 6cos ,cos ,cos3 2 6DOE EOF FOD      所以  min , ,EOF DOE EOF FOD     所以这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是 4EOF  