青海省湟川中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试卷

青海湟川中学 2019--2020 学年第二学期 高二年级文科数学期末考试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.若 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则 A∩ ∁ UB＝（ ） A．{2，4} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5} 2．设 a，b 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，则 α ∥ β 的一个充分条件是（ ） A．存在两条异面直线 a，b，a ⊂α ，b ⊂β ，a∥ β ，b∥ αB．存在一条直线 a，a∥ α ，a∥ βC．存在一条直线 a，a ⊂α ，a∥ βD．存在两条平行直线 a，b，a ⊂α ，b ⊂β ，a∥ β ，b∥ α3．向量 ＝（3，2）， ＝（﹣2，1）， ＝（4，3），若（ λ + ）⊥（ ﹣ ），则实数 λ ＝（ ） A． B．5 C．4 D． 4.若 sin（ + ）＝ ，则 sin（ + α ）＝（ ） A． B． C． D． 5．已知 f（x）在 R 上连续可导，f′（x）为其导函数，且 f（x）＝ex+f′（0）•e﹣x，则 f （1）＝（ ） A．2e B． ee 2 1 C．3 D． 3 10 6. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a1010a1011＝2，则 的值为（ ） A．2 021 B．﹣2021 C．1 010 D．﹣1010 7.已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则（ ） A．f（﹣3）＜f（﹣log313）＜f（20.6） B．f（﹣3）＜f（20.6）＜f（﹣log313） C．f（20.6）＜f（﹣log313）＜f（﹣3） D．f（20.6）＜f（﹣3）＜f（log313） 8 .在△ABC 中，B＝ ，BC 边上的高等于 BC，则 cosA 等于（ ） A． B． C．﹣ D．﹣ 9．执行如图所示的程序框图，若输出的 S 为 4，则输入的 x 应为（ ） A．﹣2 B．16 C．﹣2 或 8 D．﹣2 或 16 10．函数 f（x）＝ ，其中 a ∈ R，若函数 f（x）恰有两个零点，则 a 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 11. 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直．l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝12， P 为 C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（ ） A．18 B．24 C．36 D．48 12. 定义在 R 上的函数 f（x）满足：对任意 x1≠x2，都有 x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f （x1），则称 f（x）为“M 函数”．下列函数： ① y＝﹣x2+2x+1； ② ③ y＝e﹣x﹣ ex； ④ f（x）＝ ．其中为“M 函数”的是（ ） A ． ①② B． ②③ C． ②④ D． ②③④ 二、填空题：（本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分，把答案填在答题卷的相应位置） 13. 若实数 x，y 满足约束条件       084 02 022 yx yx yx ，则 yxz  2 的最大值为 14. 已知向量  2,0  a ，  3,xb   ，且向量  a 和  b 的夹角为 6  ，则 x= 15. 若关于 x 的不等式 x2﹣5x+a2+a＜0 的解集是（2，3），则 a＝ 16. 双曲线  0,012 2 2 2  bab y a x 的渐近线与圆   122 22  yx 相切，此双曲线的离 心率为 三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必答题， 第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答。） 17．(12 分)如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥CD，∠PAD＝∠ABC＝90°，AB∥CD，DC＝ CB＝ AB＝2，PA＝2．（1）求证：PA⊥平面 ABCD；（2）求异面直线 AB 与 PD 所成角 的余弦值； 18．(12 分) 已知函数   Rxxxxf       ,14cos262sin 2 （1）求函数 f（x）的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数 f（x）在区间 上的最小值，并求出取得最值时 x 的值． 19.(12 分) 某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关 系进行研究，于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼 夜温差与每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 4 月 1 日 4 月 7 日 4 月 15 日 4 月 21 日 4 月 30 日 温差 x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数 y/颗 23 25 30 26 16 （1）从这 5 天中任选 2 天，求这 2 天发芽的种子数均不小于 25 的概率； （2）从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两组数据，请根据这 5 天中的另三天的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程   axby ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认 为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？ 附： ＝ ， ＝ ﹣ ． 20．(12 分) 已知函数     Raxaaxxxxf  ,12ln 2 ． （1）令    xfxg  ，求 g(x)的单调区间； （2）已知 f（x）在 x=1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围。 21. (12 分) 设椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 ．已知 A 是抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为 ． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程； （2）设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（B 异于 A），直线 BQ 与 x 轴相交于点 D．若△APD 的面积为 ，求直线 AP 的方程． 选考部分请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并在答题卡上涂抹题号，如果多做，则按 所做第一题计分，如果没有涂抹题号，则按照 22 题计分（本小题满分 10 分） 22．（10 分）在平面坐标系中 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C 的参数方程为 （ α 为参数）．以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立 极坐标系． （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的极坐标方程； （2）设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的取值范围． 23．（10 分）若 a＞0，b＞0，且 + ＝ ． （Ⅰ）求 a3+b3 的最小值；（Ⅱ）是否存在 a，b，使得 2a+3b＝6？并说明理由．