2020-2021 学年第一学期期末考试
高一数学试题
考试时间:120 分钟;总分:150 分
一.选择题(共 12 小题)
1.已知角
α
的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点
,那么 cos( ﹣
α
)等于( )
A. B. C. D.
2.若 2sinx﹣cos( +x)=2,则 cos2x=( )
A. B. C.﹣ D.﹣
3.已知两个单位向量 , 的夹角为
θ
,则下列结论不正确的是( )
A. 在 方向上的投影为 cos
θ
B. =
C.| • |=1
D.( + )⊥( ﹣ )
4.在平行四边形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,且 4 ,则 =( )
A. B. C. D.
5.若 =2,则 sin
θ
cos
θ
的值是( )
A. B. C.± D.
6.若 sin
θ
﹣cos
θ
= ,且
θ∈
( ,
π
),则 sin(
π
﹣
θ
)﹣cos(
π
﹣
θ
)=( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
7.已知实数 a=tan(sin ),b=tan(cos ),c=tan(tan ),则( )
A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a
8.已知向量 =(﹣1,2), =(2m﹣1,1),且 ⊥ ,则| +2 |=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
9.已知非零向量 , ,若| |= | |, ⊥( ﹣2 ),则 与 的夹角是( )
A. B. C. D.
10.已知函数 ,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为 2
πB.f(x)关于点 对称
C.f(x)在 上单调递减
D.f(x)的图象关于直线 对称
11.已知点 O 为△ABC 内一点,满足 ,若 ,则
λ
=( )
A. 2 B. C. D.﹣2
12.已知函数 f(x)=sin(
ω
x+
φ
),其中
ω
>0,|
φ
|≤ , 为 f(x)的零点:且 f(x)
≤|f( )|恒成立,f(x)在区间(﹣ )上有最小值无最大值,则
ω
的最大值
是( )
A.13 B.15 C.17 D.19
二、填空题
13.一个扇形的面积为 4,周长为 8,则这个扇形的圆心角为 .
14.在△ABC 中,tanA,tanB 是方程 2x2+3x+7=0 的两根,则 tanC= .
15.在边长为 4 的等边△ABC 中, = , = ,则 = .
16.已知函数 ,则 f(1)+f(2)+…+f(2020)
= .
三、解答题
17.已知 =(1,3), =(3,m), =(﹣1,n),且 ∥ .
(1)求实数 n 的值;
(2)若 ⊥ ,求实数 m 的值.
18.若角
α
的终边上有一点 P(m,﹣4),且 cos
α
=﹣ .
(1)求 m 的值;
(2)求 的值.
19 已知
α∈
(0, ),
β∈
(﹣ ,0),cos( ﹣
α
)= ,cos(
β
+ )= .
(Ⅰ)求 sin2
α
的值;
(Ⅱ)求 cos(
α
+
β
)的值.
20.已知函数 的图象如图所
示;
(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数 的单调递减区间.
21.已知函数 f(x)= sin(2x+ )﹣2 x.
(1)求 f(x)的最小正周期和对称轴;
(2)当 时,求 f(x)的值域.
22. 设 O 为△ABC 的重心,过 O 作直线 l 分别交线段 AB,AC(不与端点重合)
于 M,N.若 , ,
(1)求 + 的值;
(2)求
λ
•
μ
的取值范围. M
N
O
A
2020-2021 学年第一学期期末考试
高一数学试题参考答案
一.选择题(共 12 小题)
1.D 2.A 3.C 4.D 5.B. 6.B 7.A 8.A 9.C 10.C.
11. D.
解:如图,设 ,作平行四边形 OAME,其中对角线 OM 与底边 AB 相交于点 F,
则 ,
易知△OBF∽△MFA,故 ,则 ,
又 ,故 ,则 ,
∴ ,
∵ ∴
λ
=﹣2.
12. B.
解:由题意知函数 f(x)=sin(
ω
x+
φ
)(
ω
>0,|
φ
|≤ ),
x= 为 y=f(x)图象的对称轴,x=﹣ 为 f(x)的零点,
∴ • = ,n
∈
N*,∴
ω
=2n+1,n
∈
N*,
f(x)在区间(﹣ , )上有最小值无最大值,
∴周期 T≥( + )= ,即 ≥ ,∴
ω
≤16.
∴要求
ω
的最大值,结合选项,先检验
ω
=15,
当
ω
=15 时,由题意可得﹣ ×15+
φ
=k
π
,
φ
=﹣ ,函数为 y=f(x)=sin(15x﹣ ),
在区间(﹣ , )上,15x﹣
∈
(﹣ , ),
此时 f(x)在 15x﹣ =﹣ 时取得最小值,∴
ω
=15 满足题意.
则
ω
的最大值为 15,
二、填空题
13. 2. 14. . 15. 2. 16. 1010.
解:∵ =
= = =
.
∴f(1)= ,
f(2)= ,
f(3)= ,
f(4)= .
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= .
又 f(x)的周期为 4.
∴f(1)+f(2)+…+f(2020)=500[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=505×2=1010.
三、解答题
17. 解:因为 =(1,3), =(3,m), =(﹣1,n),所以 = =(3,
3+m+n),
(1)因为 ∥ .所以 ,即 ,解得 n=﹣3;
(2)因为 = =(4,3+m), = =(2,m﹣3),又 ⊥ ,
所以 • =0,
即 8+(3+m)(m﹣3)=0,解得 m=±1.
18. 解:(1)点 P 到原点的距离为 r=|OP|=
根据三角函数的概念可得 cos
α
= =﹣ ,得 m=﹣3,或 m=4(舍去).
(2) = =sin
α
,
由(1)可得 r= =10,sin
α
= = ,
∴原式=sin
α
= .
19.解:(Ⅰ)cos( ﹣
α
)= ,得 sin2
α
=cos2( ﹣
α
)=2cos2( ﹣
α
)﹣1=2×
﹣1=﹣ ;
(Ⅱ)由
α∈
(0, ),
β∈
(﹣ ,0),可得 ﹣
α∈
(0, ),
β
+
∈
(0, ),
则 sin( ﹣
α
)= = = ;
cos(
β+
)= = = ,
则 cos(
α
+
β
)=cos[(
β
+ )﹣( ﹣
α
)]=cos( ﹣
α
)cos(
β
+ )+sin[( ﹣
α
)sin(
β
+ )= × + × = .
20.解:(Ⅰ)由图知,A=2.T=
π
,
ω
= = =2,
由 2sin(2×0+
φ
)=1,即 sin
φ
= ,
又
φ∈
(0, ),所以
φ
= 故 f(x)=2sin(2x+ ).
(Ⅱ)g(x)=f(x﹣ )﹣f(x+ )=2sin[2(x﹣ )+ ]﹣2sin[2(x+ )+ ]
=2sin2x﹣2sin(2x+ )
=2sin2x﹣2×( sin2x+ cos2x)
=sin2x﹣ cos2x=2sin(2x﹣ ),
由 2k
π
+ ≤2x﹣ ≤2k
π
+ ,k
∈
Z,
得 k
π
+ ≤x≤k
π
+ ,k
∈
Z,
∴g(x)的单调递减区间是[k
π
+ ,k
π
+ ],k
∈
Z.
21.已知函数 f(x)= sin(2x+ )﹣2 x.
(1)求 f(x)的最小正周期和对称轴;
(2)当 时,求 f(x)的值域.
解:(1)f(x)= sin(2x+ )﹣2 x,
= ( sin2x cos2x)﹣cos2x+1,
= ,
=sin(2x+ ) ,
∴f(x)的最小正周期 T= =
π
,
令 2x+ = ,则 x= ,k
∈
Z,
故 f(x)的最小正周期 T=
π
,对称轴 x= ,k
∈
Z,
(2) ,2x+
∈
[ ],
∴sin(2x+ ) ,
故 f(x)的值域为 .
22. 解:(1)连结 AO 并延长交 BC 于 P,则 P 是 BC 的中点,
则 , .
又 , ,
∴ = , =( ) + .
∵M,O,Q 三点共线,故存在实数 t,使 =t ,即( ) + = .
∴ ,两式相除消去 t 得 1﹣3
λ
=﹣ ,即 .
(2)∵1﹣3
λ
=﹣ ,∴ ,
∵
λ
,
μ∈
(0,1),∴ ,解得 .∴ .
∴
λμ
= = .
∴当 时,
λμ
取得最小值 ,当 或 2 时,
λμ
取得最大值 .
∴
λμ
的取值范围是[ , ).