4.1 样本的数字特征
课标定位
素养阐释
1.通过实例了解样本的数字特征.
2.理解样本的数字特征从不同角度反映数据特
点.
3.会求样本的有关数字特征.
4.体会数学数据统计的过程,培养数学运算和数
据分析的学科素养.
一、样本的数字特征
【问题思考】
1.在初中我们已经学习过平均数、中位数、众数的知识,利用
已有知识,回答下列问题:
(1)如果5个数x1,x2,x3,x4,x5的平均数为7,那么x1+1,x2+1,x3+1,
x4+1,x5+1这5个数的平均数是多少?
(2)一组数据12,15,24,25,31,31,31,36,36,37,39,44,49,50的中位
数是多少?众数是多少?
2.填空:(1)平均数、中位数、众数.
平均数是指这组数据的平均值.一般地,将这组数据按从小到
大的顺序排列后,“中间”的那个数据为这组数据的中位数,它
使数据被分成的两部分的数据量是一样的.众数是指这组数
据中出现次数最多的数据.在统计中,平均数是最常用的量.但
有时候,如数据中个别数据特别大或特别小时,用中位数会更
合理.
(2)极差、方差、标准差.
极差和方差都刻画数据的离散程度.极差是数据中最大值和
最小值的差,它计算简单,但没有充分利用其他数据.方差刻画
的是数据偏离平均数的离散程度,由于方差的单位是原始数
据单位的平方,而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与
原始数据相同的单位.为此,计算方差的算术平方根,得
,称之为标准差.
二、数据分析的素养
【问题思考】
1.分析数据一般从哪几个角度分析?
提示:分析数据一般从平均数和标准差两个方面进行分析.
2.如何根据问题的情境选择不同的决策?
提示:根据问题的实际背景,利用数据的数字特征,可以帮助人
们进行决策,从而真正发挥数据分析的作用.值得注意的是,不
同的标准没有对和错的问题,也不存在所谓唯一解的问题,而
是根据需要来选择“好”的决策,而至于决策的好坏,是根据提
出的标准而定的.
三、用样本的数字特征估计总体的数字特征
【问题思考】
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征时,如何更好地反映
总体信息?
提示:如果抽样的方法比较合理,那么样本可以很好地反映总
体的信息.虽然从样本数据得到的数字特征并不是总体真正
的数字特征,只是总体数字特征的一个估计,但这种估计是合
理的.样本容量越大,样本所包含的总体信息就越多,估计的合
理性就越充分.
2.做一做:从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的
株高(单位:cm)如下:
甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42;
乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.
问:(1)哪种玉米苗长得高?
(2)哪种玉米苗长得齐?
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“
√
”,错
误的画“×”.
(1)一组数据的众数、中位数、平均数可能相等.( √ )
(2)一组数据的众数不一定唯一.( √ )
(3)方差或标准差反映数据的离散程度,方差越小,数据越集中,
方差越大,数据越分散.( √ )
(4)方差和标准差具有相同的单位.( × )
(5)数据中的每一个数减去同一个非零常数所得的数据的平
均数改变,但方差不变.( √ )
【例1】 某公司33名职工的月工资(单位:元)情况如下表:
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数.
(2)如果董事长的工资从7 500元提升到30 000元,副董事长的工资
从7 000元提升到20 000元,那么新数据的平均数、中位数、众数
又是多少?(精确到1)
(3)你认为哪个数字特征能更好地反映这个公司职工的工资水平?
结合此问题谈一谈你的看法.
(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资
水平.因为公司中少数人的月工资与大多数人的月工资差别
较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能很
好地反映这个公司员工的工资水平.
1.众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的,但任何一个样
本数据改变都会引起平均数的改变,而众数、中位数不具有
这个性质,所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体
的信息,它是样本数据的重心.
2.在样本中出现极端值的情况下,众数、中位数能更好地反映
样本数据的平均水平.
【变式训练1】 高一(3)班有男同学27名,女同学21名,在一次
语文测验中,男同学的平均分是82分,中位数是75分,女同学的
平均分是80分,中位数是80分.
(1)求这次测验全班的平均分(精确到0.01);
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人;
(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因.
解:(1)利用平均数计算公式得
(2)因为男同学成绩的中位数是75分,
所以至少有14人得分不超过75分.
又因为女同学成绩的中位数是80分,
所以至少有11人得分不超过80分.
所以估计全班至少有25人得分在80分以下(含80分).
(3)男同学的平均分与中位数相差较大,说明男同学的成绩两
极分化现象严重,有些男同学得分较高,同时也有一半左右的
男同学(至少14人)得分不超过75分.
【例2】 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面
积产量(单位:t/hm2)如下:
根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广?
分析:从平均数和方差两个角度去考虑.
平均数和方差是样本的两个重要的数字特征,方差越大,表明
数据越分散,相反地,方差越小,表明数据越集中稳定;平均数
越大,表明数据的平均水平越高;平均数越小,表明数据的平均
水平越低.
【变式训练2】 已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右,下面
是在甲、乙两地六个时间测得的温度,你认为甲、乙两地哪
个更适合母鸡产蛋?
显然两地的平均温度相等,乙地温度的标准差较小,说明了乙
地温度波动较小,因此,乙地比甲地更适合母鸡产蛋.
【例3】 甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件,为
了检验产品的质量,从两台机床生产的产品中分别随机抽取6
件进行测量,测得数据(单位:mm)如下:
甲:99,100,98,100,100,103;
乙:99,100,102,99,100,100.
(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差;
(2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符
合要求.
分析:利用平均数与方差公式分别进行计算,并作出判断.
平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的集中趋
势所处的水平.方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.
【变式训练3】 为了选拔一名同学参加全市中学生射击竞赛,
某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了测试,两人在相同
条件下各射靶10次,统计结果如下:
(2)比较甲、乙两名同学的射击水平,谁的成绩更稳定一些?你
认为学校派谁参加竞赛更合适?
方差、标准差混淆而致误
【典例】 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计数据
如表所示,则这100人成绩的标准差为 .
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中求的是方差,而不是标准差.
1.理解方差的加权形式的计算公式.
2.注意方差和标准差的区别与联系,审清题意.
1.已知一个容量为10的样本,其平均数为5.1,方差为0.2,则估计
总体的平均数与方差分别是( )
A.5.1,0.2 B.0.2,0.2
C.5.1,2 D.都不能估计
答案:A
2.设矩形的长为a,宽为b,其比满足 ,这种矩形
给人以美感,称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中.
下面是某工艺品厂随机抽取的两个批次的初加工矩形宽度与
长度的比值样本:
甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值
0.618比较,下列结论正确的是( )
A.甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
解析:计算可得甲批次样本的平均数为0.617,乙批次样本的平
均数为0.613,由此估计两个批次的总体平均数分别为0.617,
0.613,则甲批次的总体平均数与标准值更接近,故选A.
答案:A
3.甲、乙两人在相同的条件下练习射击,每人打5发子弹,命中
的环数如下:
甲:6,8,9,9,8; 乙:10,7,7,7,9.
则两人的射击成绩较稳定的是 .
答案:甲
4.甲电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命(单位:h)
测试,得到的数据如下:
30,35,25,25,30,34,26,25,29,21,
则估计该电池的平均寿命为 ,方差为 .
答案:28 h 17.4 h2
5.下面是甲、乙两名同学13次考试的成绩(单位:分):
甲:65 71 76 75 81 86 89 88 95 91 94 107
110
乙:79 71 86 83 88 93 99 98 98 103
101 102 114
(1)分别求出这两名同学考试成绩的平均数和标准差;(平均数
精确到1,标准差精确到0.1)
(2)比较这两名同学的成绩,谈谈你的看法.
分析:根据数据,计算平均数,然后求出标准差,最后依据结果
比较,可以借助于计算器.
所以甲的学习成绩没有乙的学习成绩好,也没有乙的学习成
绩稳定.