1
三角函数的图象与性质
1.函数 y= 2cos 2x+1的定义域是( )
A. x|2kπ≤x≤2kπ+π
2
,k∈Z
B. x|kπ≤x≤kπ+π
2
,k∈Z
C. x|kπ≤x≤kπ+π
3
,k∈Z
D. x|kπ-π
3
≤x≤kπ+π
3
,k∈Z
2.(2019·全国卷Ⅱ)若 x1=π
4
,x2=3π
4
是函数 f(x)=sin ωx(ω>0)的两个相邻的
极值点,则ω=( )
A.2 B.3
2
C.1 D.1
2
3.下列函数中最小正周期为π,且在 0,π
2 上为增函数的是( )
A.f(x)=|sin 2x| B.f(x)=tan|x|
C.f(x)=-cos 2x D.f(x)=cos|2x|
4.函数 y=cos2x-2sin x 的最大值与最小值分别为( )
A.3,-1 B.3,-2
C.2,-1 D.2,-2
5.已知函数 f(x)=sin ωx+π
2 (0<ω<π),f
π
4 =0,则函数 f(x)的图象的对称
轴方程为( )
A.x=kπ-π
4
,k∈Z B.x=kπ+π
4
,k∈Z
C.x=1
2kπ,k∈Z D.x=1
2kπ+π
4
,k∈Z
6.(多选)(2020·深圳月考)已知函数 f(x)=sin 2x+ 3cos 2x,则下列结论正确
的是( )
2
A.f(x)的最小正周期为 2π
B.f(x)的图象关于点
π
3
,0 成中心对称
C.f(x)的图象关于直线 x=-5π
12
对称
D.f(x)的单调递增区间是 kπ-5π
12
,kπ+ π
12 (k∈Z)
7.函数 y=cos
π
4
-2x 的单调递减区间为________.
8.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间 0,π
3 上单调递增,在区间
π
3
,π
2 上单调
递减,则ω=________.
9.函数 f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则 tan θ等于________.
10.已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为 2,且当 x=1
3
时,
f(x)的最大值为 2.
(1)求 f(x)的解析式;
(2)在闭区间
21
4
,23
4 上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若
不存在,请说明理由.
11.已知 a=(sin x, 3cos x),b=(cos x,-cos x),函数 f(x)=a·b+ 3
2 .
(1)求函数 y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)若方程 f(x)=1
3
在(0,π)上的解为 x1,x2,求 cos(x1-x2)的值.
能力提高
1.(多选)(2020·聊城三模)已知函数 f(x)=|sin x|+cos x,则下列正确的是
( )
A.2π为 f(x)的周期
B.对于任意 x∈R,函数 f(x)都满足 f(π+x)=f(π-x)
C.函数 f(x)在
π
4
,π 上单调递减
D.f(x)的最小值为- 2
3
2.(多选)已知函数 f(x)=sin x·sin x+π
3 -1
4
的定义域为[m,n](m<n),值域
为 -1
2
,1
4 ,则 n-m 的值不可能是( )
A.5π
12 B.7π
12
C.3π
4 D.11π
12
3.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (0<ω<1,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图象
关于点 M
3π
4
,0 对称.
(1)求φ,ω的值;
(2)求 f(x)的单调递增区间;
(3)x∈ -3π
4
,π
2 ,求 f(x)的最大值与最小值.
扩展应用
1.已知函数 f(x)=sin x+ 3cos x 在 x=θ时取得最大值,则 cos 2θ+π
4 =
( )
A.- 2+ 6
4 B.-1
2
C. 2- 6
4 D. 3
2
2.已知函数 f(x)=a 2cos2x
2
+sin x +b.
(1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调增区间;
(2)当 x∈[0,π]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值.
4
三角函数的图象与性质
1.函数 y= 2cos 2x+1的定义域是( )
A. x|2kπ≤x≤2kπ+π
2
,k∈Z
B. x|kπ≤x≤kπ+π
2
,k∈Z
C. x|kπ≤x≤kπ+π
3
,k∈Z
D. x|kπ-π
3
≤x≤kπ+π
3
,k∈Z
D [由题意知 2cos 2x+1≥0,即 cos 2x≥-1
2.
∴2kπ-2
3π≤2x≤2kπ+2
3π,k∈Z,
∴kπ-π
3
≤x≤kπ+π
3
,k∈Z,故选 D.]
2.(2019·全国卷Ⅱ)若 x1=π
4
,x2=3π
4
是函数 f(x)=sin ωx(ω>0)的两个相邻的
极值点,则ω=( )
A.2 B.3
2
C.1 D.1
2
A [由题意及函数 y=sin ωx 的图象与性质可知,
1
2T=3π
4
-π
4
,∴T=π,∴2π
ω
=π,∴ω=2.
故选 A.]
3.下列函数中最小正周期为π,且在 0,π
2 上为增函数的是( )
A.f(x)=|sin 2x| B.f(x)=tan|x|
C.f(x)=-cos 2x D.f(x)=cos|2x|
5
C [函数 f(x)=tan|x|不是周期函数,因此排除 B.
函数 f(x)=|sin 2x|在 0,π
2 上不是单调函数,故排除 A.
函数 f(x)=cos|2x|在 0,π
2 上是减函数,故排除 D,
综上知选 C.]
4.函数 y=cos2x-2sin x 的最大值与最小值分别为( )
A.3,-1 B.3,-2
C.2,-1 D.2,-2
D [y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x
=-sin2x-2sin x+1,
令 t=sin x,
则 t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,
所以 ymax=2,ymin=-2.]
5.已知函数 f(x)=sin ωx+π
2 (0<ω<π),f
π
4 =0,则函数 f(x)的图象的对称
轴方程为( )
A.x=kπ-π
4
,k∈Z B.x=kπ+π
4
,k∈Z
C.x=1
2kπ,k∈Z D.x=1
2kπ+π
4
,k∈Z
C [f(x)=sin ωx+π
2 =cos ωx,
则 f
π
4 =cos
πω
4 =0,
∵0<ω<π,
∴π
4ω=π
2
,解得ω=2,
即 f(x)=cos 2x.
由 2x=kπ,k∈Z 得 x=1
2kπ,k∈Z,故选 C.]
6.(多选)(2020·深圳月考)已知函数 f(x)=sin 2x+ 3cos 2x,则下列结论正确
的是( )
6
A.f(x)的最小正周期为 2π
B.f(x)的图象关于点
π
3
,0 成中心对称
C.f(x)的图象关于直线 x=-5π
12
对称
D.f(x)的单调递增区间是 kπ-5π
12
,kπ+ π
12 (k∈Z)
BCD [已知函数 f(x)=sin 2x+ 3cos 2x=2sin 2x+π
3 ,则:
A.函数 f(x)的最小正周期为π,故 A 错误.
B.由于 f
π
3 =0,函数 f(x)图象关于
π
3
,0 对称,故 B 正确.
C.当 x=-5π
12
时,f
-5π
12 =2sin
-π
2 =-2,故函数 f(x)的图象关于直线 x
=-5π
12
对称,C 正确.
D.当 x∈ kπ-5π
12
,kπ+ π
12 (k∈Z)时,2kπ-π
2
≤2x+π
3
≤2kπ+π
2
,所以函数
f(x)在 kπ-5π
12
,kπ+ π
12 (k∈Z)上是单调增函数,故 D 正确.
故选 BCD.]
7.函数 y=cos
π
4
-2x 的单调递减区间为________.
kπ+π
8
,kπ+5π
8 (k∈Z) [因为 y=cos
π
4
-2x =cos 2x-π
4 ,
所以令 2kπ≤2x-π
4
≤2kπ+π(k∈Z),解得 kπ+π
8
≤x≤kπ+5π
8 (k∈Z),
所以函数的单调递减区间为 kπ+π
8
,kπ+5π
8 (k∈Z).]
8.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间 0,π
3 上单调递增,在区间
π
3
,π
2 上单调
递减,则ω=________.
3
2 [由题意知π
3ω=π
2
,解得ω=3
2.]
9.函数 f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则 tan θ等于________.
7
- 3 [f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)=2sin
π
3
-3x+θ =-
2sin 3x-π
3
-θ ,
因为函数 f(x)为奇函数,
则有-π
3
-θ=kπ,k∈Z,
即θ=-kπ-π
3
,k∈Z,
故 tan θ=tan
-kπ-π
3 =- 3.]
10.已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为 2,且当 x=1
3
时,
f(x)的最大值为 2.
(1)求 f(x)的解析式;
(2)在闭区间
21
4
,23
4 上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若
不存在,请说明理由.
[解] (1)由 T=2 知2π
ω
=2 得ω=π.
又当 x=1
3
时 f(x)max=2,知 A=2.
且π
3
+φ=2kπ+π
2(k∈Z),故φ=2kπ+π
6(k∈Z).
∴f(x)=2sin πx+2kπ+π
6 =2sin πx+π
6 .
(2)存在.令πx+π
6
=kπ+π
2(k∈Z),
得 x=k+1
3(k∈Z).
由21
4
≤k+1
3
≤23
4 .得59
12
≤k≤65
12
,又 k∈Z,∴k=5.
故在
21
4
,23
4 上存在 f(x)的对称轴,其方程为 x=16
3 .
11.已知 a=(sin x, 3cos x),b=(cos x,-cos x),函数 f(x)=a·b+ 3
2 .
8
(1)求函数 y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)若方程 f(x)=1
3
在(0,π)上的解为 x1,x2,求 cos(x1-x2)的值.
[解] (1)f(x)=a·b+ 3
2
=(sin x, 3cos x)·(cos x,-cos x)+ 3
2
=sin x·cos x- 3cos2x+ 3
2
=1
2sin 2x- 3
2 cos 2x=sin 2x-π
3 .
令 2x-π
3
=kπ+π
2(k∈Z),得 x=5π
12
+k
2π(k∈Z),
即函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=5π
12
+k
2π(k∈Z).
(2)由(1)及已知条件可知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于 x=5π
12
对称,
则 x1+x2=5π
6
,
∴cos(x1-x2)=cos x1-
5π
6
-x1
=cos 2x1-5π
6 =cos
2x1-π
3 -π
2
=sin 2x1-π
3 =f(x1)=1
3.
能力提高
1.(多选)(2020·聊城三模)已知函数 f(x)=|sin x|+cos x,则下列正确的是
( )
A.2π为 f(x)的周期
B.对于任意 x∈R,函数 f(x)都满足 f(π+x)=f(π-x)
C.函数 f(x)在
π
4
,π 上单调递减
D.f(x)的最小值为- 2
ABC [根据题意,函数 f(x)=|sin x|+cos x=
9
sin x+cos x,2kπ≤x≤2kπ+π,
cos x-sin x,2kπ-π≤x≤2kπ,
依次分析选项:
A.f(x)=|sin x|+cos x,其最小正周期为 2π,故 A 正确;
B.若 f(π+x)=f(π-x),则函数 f(x)关于 x=π对称,
即 f(2π+x)=f(-x),
则 f(2π+x)=|sin(x+2π)|+cos(x+2π)=|sin x|+cos x,
f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x,
则 f(2π+x)=f(-x),即 f(π+x)=f(π-x)成立,故 B 正确;
C.当 x∈
π
4
,π 时,x+π
4
∈
π
2
,5π
4 ,函数 f(x)= 2
2 sin x+π
4 单调递减,故 C
正确;
D.当 2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,f(x)=sin x+cos x= 2sin x+π
4 ,
2kπ+π
4
≤x+π
4
≤2kπ+5π
4
,k∈Z,此时 f(x)∈[-1, 2],
∵f(x)是偶函数,
∴函数 f(x)值域为[-1, 2],故 D 错误.
故选 ABC.]
2.(多选)已知函数 f(x)=sin x·sin x+π
3 -1
4
的定义域为[m,n](m<n),值域
为 -1
2
,1
4 ,则 n-m 的值不可能是( )
A.5π
12 B.7π
12
C.3π
4 D.11π
12
CD [f(x)=sin x·sin x+π
3 -1
4
=sin x
1
2sin x+ 3
2 cos x -1
4
=1
2sin2x+ 3
2 sin
xcos x-1
4
=1
4(1-cos 2x)+ 3
4 sin 2x-1
4
=1
2
3
2 sin 2x-1
2cos 2x =1
2sin 2x-π
6 .作出
函数 f(x)的图象如图所示,在一个周期内考虑问题.
10
易得
m=π
2
,
5π
6
≤n≤7π
6
或
π
2
≤m≤5π
6
,
n=7π
6
满足题意,所以 n-m 的值可能为
区间
π
3
,2π
3 内的任意实数.所以选项 A,B 可能,选项 C,D 不可能.]
3.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (0<ω<1,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图象
关于点 M
3π
4
,0 对称.
(1)求φ,ω的值;
(2)求 f(x)的单调递增区间;
(3)x∈ -3π
4
,π
2 ,求 f(x)的最大值与最小值.
[解] (1)因为 f(x)=sin(ωx+φ)是 R 上的偶函数,所以φ=π
2
+kπ,k∈Z,且
0≤φ≤π,则φ=π
2
,即 f(x)=cos ωx.
因为图象关于点 M
3π
4
,0 对称,
所以ω×3π
4
=π
2
+kπ,k∈Z,且 0<ω<1,所以ω=2
3.
(2)由(1)得 f(x)=cos 2
3x,
由-π+2kπ≤2
3x≤2kπ且 k∈Z 得,3kπ-3π
2
≤x≤3kπ,k∈Z,
所以函数 f(x)的递增区间是 3kπ-3π
2
,3kπ ,k∈Z.
(3)因为 x∈ -3π
4
,π
2 ,所以 2
3x∈ -π
2
,π
3 ,
当 2
3x=0 时,即 x=0,函数 f(x)的最大值为 1,
当 2
3x=-π
2
时,即 x=-3π
4
,函数 f(x)的最小值为 0.
11
扩展应用
1.已知函数 f(x)=sin x+ 3cos x 在 x=θ时取得最大值,则 cos 2θ+π
4 =
( )
A.- 2+ 6
4 B.-1
2
C. 2- 6
4 D. 3
2
C [法一:∵f(x)=sin x+ 3cos x=2sin x+π
3 ,又 f(x)在 x=θ时取得最大值,
∴θ+π
3
=π
2
+2kπ(k∈Z),即θ=π
6
+2kπ(k∈Z),于是 cos 2θ+π
4 =cos
π
3
+π
4
+4kπ =
cos
π
3
+π
4 =1
2
× 2
2
- 3
2
× 2
2
= 2- 6
4
,故选 C.
法二:∵f(x)=sin x+ 3cos x,
∴f′(x)=cos x- 3sin x.
又 f(x)在 x=θ时取得最大值,∴f′(θ)=cos θ- 3sin θ=0,即 tan θ= 3
3
,
则 cos 2θ+π
4 = 2
2 (cos 2θ-sin 2θ)= 2
2
×1-tan2θ-2tan θ
1+tan2θ
= 2- 6
4
,故选 C.]
2.已知函数 f(x)=a 2cos2x
2
+sin x +b.
(1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调增区间;
(2)当 x∈[0,π]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值.
[解] f(x)=a(1+cos x+sin x)+b
= 2asin x+π
4 +a+b.
(1)当 a=-1 时,f(x)=- 2sin x+π
4 +b-1,
由 2kπ+π
2
≤x+π
4
≤2kπ+3π
2 (k∈Z),
得 2kπ+π
4
≤x≤2kπ+5π
4 (k∈Z),
12
∴f(x)的单调增区间为 2kπ+π
4
,2kπ+5π
4 (k∈Z).
(2)∵0≤x≤π,∴π
4
≤x+π
4
≤5π
4
,
∴- 2
2
≤sin x+π
4 ≤1.依题意知 a≠0,
①当 a>0 时, 2a+a+b=8,
b=5,
∴a=3 2-3,b=5;
②当 a<0 时, b=8,
2a+a+b=5,
∴a=3-3 2,b=8.
综上所述,a=3 2-3,b=5 或 a=3-3 2,b=8.