高考数学一轮复习课时作业:函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
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高考数学一轮复习课时作业:函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

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资料简介
1 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型 的简单应用 1.函数 y=sin 2x-π 3 在区间 -π 2 ,π 上的简图是( ) A B C D 2.函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=2 所得线段长为π 2 , 则 f π 6 的值是( ) A.- 3 B. 3 3 C.1 D. 3 3.(2020·张家口模拟)要得到函数 f(x)=cos π 2x-π 6 的图象,可将函数 g(x)= sin π 2x 的图象( ) A.向左平移π 3 个单位长度 B.向左平移2π 3 个单位长度 C.向右平移π 3 个单位长度 D.向右平移2π 3 个单位长度 4.(2020·南昌模拟)已知函数 f(x)=asin ωx+acos ωx(a>0, ω>0)的部分图象如图所示,则实数 a,ω的值分别为( ) 2 A.a=2,ω=2 B.a=2,ω=1 C.a=2,ω=3 2 D.a=2,ω=1 2 5.(多选)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如 图所示,则( ) A.该函数的解析式为 y=2sin 2 3x+π 3 B.该函数的对称中心为 kπ-π 3 ,0 ,k∈Z C.该函数的单调递增区间是 3kπ-5π 4 ,3kπ+π 4 ,k∈Z D.把函数 y=2sin x+π 3 的图象上所有点的横坐标变为原来的3 2 ,纵坐标不 变,可得到该函数图象 6.(多选)将函数 f(x)=sin 3x 的图象向右平移π 6 个单位长度后得到函数 g(x) 的图象,则( ) A.g(x)在 0,π 2 上的最小值为 0 B.g(x)在 0,π 2 上的最小值为-1 C.g(x)在 0,π 2 上的最大值为 0 D.g(x)在 0,π 2 上的最大值为 1 7.(2020·无锡模拟)若函数 y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π 2 个单位 3 长度后,与函数 y=sin 2x-π 3 的图象重合,则φ=________. 8.函数 f(x)=sin x+cos x 的图象向右平移 t(t>0)个单位长度后所得函数为 偶函数,则 t 的最小值为________. 9.(2020·山东烟台调研)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω> 0,|φ|<π)的部分图象如图所示,与 y 轴的交点坐标是(0,1).若 f(x)的最小正周期是π,则 f(x)=________;若 f(x)的图象关于 点 -π 6 ,0 对称,且在区间 π 3 ,14π 33 上单调递减,则ω的最大 值是________. 10.设函数 f(x)=cos(ωx+φ) ω>0,-π 2 <φ<0 的最小正周期为π,且 f π 4 = 3 2 . (1)求ω和φ的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. 11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π 2 的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于任意的 x∈[0,m],f(x)≥1 恒成立,求 m 的 最大值. 能力提高 1.(多选)已知函数 f(x)=cos2 ωx- π 12 (ω>0)的最小正周期为π 2 ,将 f(x)的图 象向左平移π 6 个单位长度得到函数 g(x)的图象,则下列结论中正确的是( ) A.g(x)为奇函数 4 B.g(x)的图象关于点 π 2 ,1 2 对称 C.g(x)的图象关于直线 x=-3π 8 对称 D.g(x)在 - π 24 ,5π 16 上的最大值是3 4 2.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古 老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一 个半径为 R 的水车,一个水斗从点 A(3 3,-3)出发,沿圆 周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时 60 秒.经过 t 秒后,水斗旋转到 P 点,设 P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足 y=f(t)=Rsin(ωt +φ) t≥0,ω>0,|φ|<π 2 .则下列叙述错误的是( ) A.R=6,ω= π 30 ,φ=-π 6 B.当 t∈[35,55]时,点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6 C.当 t∈[10,25]时,函数 y=f(t)递减 D.当 t=20 时,|PA|=6 3 3.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π 2 的部分 图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式,并写出其图象的对称中心; (2)若方程 f(x)+2cos 4x+π 3 =a 有实数解,求 a 的取值范围. 扩展应用 1.一半径为 4 m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动(按 逆时针方向)3 圈,当水轮上点 P 从水中浮现时开始计时,即从图中点 P0 开始计 算时间. 5 (1)当 t=5 s 时点 P 离水面的高度________m; (2)将点 P 距离水面的高度 h(单位:m)表示为时间 t(单位:s)的函数,则此函 数表达式为________. 2.[结构不良试题](2020·北京高三一模)已知函数 f(x)=asin 2x-π 6 - 2cos2 x+π 6 (a>0),且满足________. (1)求函数 f(x)的解析式及最小正周期; (2)若关于 x 的方程 f(x)=1 在区间[0,m]上有两个不同的解,求实数 m 的取 值范围. 从①f(x)的最大值为 1,②f(x)的图象与直线 y=-3 的两个相邻交点间的距离 等于π,③f(x)的图象过点 π 6 ,0 这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作 答. 6 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型 的简单应用 1.函数 y=sin 2x-π 3 在区间 -π 2 ,π 上的简图是( ) A B C D A [令 x=0,得 y=sin -π 3 =- 3 2 ,排除 B、D. 由 f -π 3 =0,f π 6 =0,排除 C,故选 A.] 2.函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=2 所得线段长为π 2 , 则 f π 6 的值是( ) A.- 3 B. 3 3 C.1 D. 3 D [由题意可知该函数的周期为π 2 , ∴π ω =π 2 ,ω=2,f(x)=tan 2x.∴f π 6 =tan π 3 = 3.] 7 3.(2020·张家口模拟)要得到函数 f(x)=cos π 2x-π 6 的图象,可将函数 g(x)= sin π 2x 的图象( ) A.向左平移π 3 个单位长度 B.向左平移2π 3 个单位长度 C.向右平移π 3 个单位长度 D.向右平移2π 3 个单位长度 B [f(x)=cos π 2x-π 6 =sin π 2 + π 2x-π 6 =sin π 2x+π 3 =sin π 2 x+2π 3 , 因此只需将函数 g(x)=sin π 2x 的图象向左平移2π 3 个单位长度即可,故选 B.] 4.(2020·南昌模拟)已知函数 f(x)=asin ωx+acos ωx(a>0, ω>0)的部分图象如图所示,则实数 a,ω的值分别为( ) A.a=2,ω=2 B.a=2,ω=1 C.a=2,ω=3 2 D.a=2,ω=1 2 C [由 f(0)=2 得 a=2,则 f(x)=2sin ωx+2cos ωx=2 2sin ωx+π 4 . 由 f(0)=f π 3 及结合图形知,函数 f(x)在 x=π 6 处取得最大值,∴π 6ω+π 4 =2kπ +π 2 ,k∈Z, 即ω=12k+3 2 ,k∈Z. ∵T 2 >π 3 ,即π ω >π 3 ,∴0<ω<3, 8 ∴ω=3 2 ,故选 C.] 5.(多选)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如 图所示,则( ) A.该函数的解析式为 y=2sin 2 3x+π 3 B.该函数的对称中心为 kπ-π 3 ,0 ,k∈Z C.该函数的单调递增区间是 3kπ-5π 4 ,3kπ+π 4 ,k∈Z D.把函数 y=2sin x+π 3 的图象上所有点的横坐标变为原来的3 2 ,纵坐标不 变,可得到该函数图象 ACD [根据图象看出:A=2,2π ω =3π,∴ω=2 3 , ∴2 3 ×π 4 +φ=π 2 , ∴φ=π 3 , ∴该函数的解析式为 y=2sin 2 3x+π 3 ,∴选项 A 正确; ∵k=0 时,kπ-π 3 =-π 3 ,2sin 2 3 × -π 3 +π 3 =2sinπ 9 ≠0,∴选项 B 错误; 解-π 2 +2kπ≤2 3x+π 3 ≤π 2 +2kπ得,3kπ-5π 4 ≤x≤3kπ+π 4 ,k∈Z, ∴该函数的单调递增区间是 3kπ-5π 4 ,3kπ+π 4 ,k∈Z,∴选项 C 正确; 将函数 y=2sin x+π 3 的图象上所有点的横坐标变为原来的3 2 ,纵坐标不变, 9 可得到 y=2sin 2 3x+π 3 , ∴选项 D 正确. 故选 ACD.] 6.(多选)将函数f(x)=sin 3x的图象向右平移π 6 个单位长度后得到函数g(x ) 的图象,则( ) A.g(x)在 0,π 2 上的最小值为 0 B.g(x)在 0,π 2 上的最小值为-1 C.g(x)在 0,π 2 上的最大值为 0 D.g(x)在 0,π 2 上的最大值为 1 BD [将函数 f(x)=sin 3x 的图象向右平移π 6 个单位长度后,得到函数 g(x)= sin 3x-π 2 =-cos 3x 的图象, 当 x∈ 0,π 2 时,3x∈ 0,3π 2 ,cos 3x∈[-1,1],-cos 3x∈[-1,1], 故 g(x)的最大值为 1,最小值为-1, 故选 BD.] 7.(2020·无锡模拟)若函数 y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π 2 个单位 长度后,与函数 y=sin 2x-π 3 的图象重合,则φ=________. π 6 [把函数 y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π 2 个单位长度后,得到 y =cos(2x-π+φ)的图象.由题意知 cos(2x-π+φ)=sin 2x-π 3 , 即 sin 2x-π 2 +φ =sin 2x-π 3 , 由 0<φ<π知φ-π 2 =-π 3 ,即φ=π 6.] 10 8.函数 f(x)=sin x+cos x 的图象向右平移 t(t>0)个单位长度后所得函数为 偶函数,则 t 的最小值为________. 3π 4 [函数 f(x)=sin x+cos x= 2sin x+π 4 ,其图象向右平移 t(t>0)个单位长 度后所得函数 y= 2sin x-t+π 4 为偶函数,则-t+π 4 =π 2 +kπ(k∈Z),即 t=-π 4 - kπ(k∈Z),又 t>0,∴当 k=-1 时,tmin=3π 4 .] 9.(2020·山东烟台调研)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω> 0,|φ|<π)的部分图象如图所示,与 y 轴的交点坐标是(0,1).若 f(x)的最小正周期是π,则 f(x)=________;若 f(x)的图象关于 点 -π 6 ,0 对称,且在区间 π 3 ,14π 33 上单调递减,则ω的最大 值是________. 2sin 2x+5π 6 11 [由于函数 f(x)的图象经过点(0,1),所以 2sin φ=1,sin φ =1 2 ,由图象及|φ|<π可知φ=5π 6 ,于是 f(x)=2sin ωx+5π 6 ,又 f(x)的最小正周期 是π,所以ω=2π π =2,故 f(x)=2sin 2x+5π 6 .由 f(x)的图象关于点 -π 6 ,0 对称, 得-π 6ω+5π 6 =nπ,n∈Z,即ω=-6n+5,n∈Z,令π 2 +2kπ≤ωx+5π 6 ≤3π 2 +2kπ, k∈Z,得- π 3ω +2kπ ω ≤x≤2π 3ω +2kπ ω ,k∈Z,所以 f(x)在 - π 3ω +2kπ ω ,2π 3ω +2kπ ω (k ∈Z)上单调递减,又 f(x)在区间 π 3 ,14π 33 上单调递减,所以 - π 3ω +2kπ ω ≤π 3 , 14π 33 ≤2π 3ω +2kπ ω (k∈Z),即 ω≥6k-1, ω≤33k 7 +11 7 (k∈Z),即 6k-1≤ω≤33k 7 + 11 7 (k∈Z),由 0<6k-1≤33k 7 +11 7 ,得1 6 <k≤2,当 k=1 时,5≤ω≤44 7 ,当 k=2 时,ω=11,又ω=-6n+5,n∈Z,所以ω=5 或ω=11,所以ω的最大值是 11.] 11 10.设函数 f(x)=cos(ωx+φ) ω>0,-π 2 <φ<0 的最小正周期为π,且 f π 4 = 3 2 . (1)求ω和φ的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. [解] (1)因为 T=2π ω =π,所以ω=2, 又因为 f π 4 =cos 2×π 4 +φ =cos π 2 +φ =-sin φ= 3 2 ,且-π 2 <φ<0,所以φ=-π 3. (2)由(1)知 f(x)=cos 2x-π 3 . 列表: 2x-π 3 -π 3 0 π 2 π 3π 2 5π 3 x 0 π 6 5π 12 2π 3 11π 12 π f(x) 1 2 1 0 -1 0 1 2 描点,连线,可得函数 f(x)在[0,π]上的图象如图所示. 11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π 2 的部分图象如图所示. 12 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于任意的 x∈[0,m],f(x)≥1 恒成立,求 m 的最大值. [解] (1)由图象可知,A=2. 因为| 5 12π-π 6|=T 4(T 为最小正周期),所以 T=π. 由π=2π ω ,解得ω=2. 又函数 f(x)的图象经过点 π 6 ,2 ,所以 2sin 2×π 6 +φ =2,解得φ=π 6 +2kπ(k ∈Z). 又|φ|<π 2 ,所以φ=π 6. 所以 f(x)=2sin 2x+π 6 . (2)因为 x∈[0,m],所以 2x+π 6 ∈ π 6 ,2m+π 6 . 当 2x+π 6 ∈ π 6 ,π 2 ,即 x∈ 0,π 6 时,f(x)单调递增; 所以此时 f(x)≥f(0)=1,符合题意; 当 2x+π 6 ∈ π 2 ,5π 6 ,即 x∈ π 6 ,π 3 时,f(x)单调递减, 所以 f(x)≥f π 3 =1,符合题意; 当 2x+π 6 ∈ 5π 6 ,3π 2 时,即 x∈ π 3 ,2π 3 时,f(x)单调递减, 所以 f(x)<f π 3 =1,不符合题意. 综上,若对于任意的 x∈[0,m],f(x)≥1 恒成立,则必有 0<m≤π 3 ,所以 m 的最大值是π 3. 能力提高 13 1.(多选)已知函数 f(x)=cos2 ωx- π 12 (ω>0)的最小正周期为π 2 ,将 f(x)的图 象向左平移π 6 个单位长度得到函数 g(x)的图象,则下列结论中正确的是( ) A.g(x)为奇函数 B.g(x)的图象关于点 π 2 ,1 2 对称 C.g(x)的图象关于直线 x=-3π 8 对称 D.g(x)在 - π 24 ,5π 16 上的最大值是3 4 BC [f(x)=cos2 ωx- π 12 =1 2 +1 2cos 2ωx-π 6 ,依题意有2π 2ω =π 2 ,所以ω=2, 因此 f(x)=1 2cos 4x-π 6 +1 2.将 f(x)的图象向左平移π 6 个单位长度得到 g(x)的图象, 所以 g(x)=1 2cos 4 x+π 6 -π 6 +1 2 =-1 2sin 4x+1 2.易知 g(x)不是奇函数,故 A 错误; 令 4x=kπ(k∈Z),则 x=kπ 4 (k∈Z),当 k=2 时,x=π 2 ,又 g π 2 =1 2 ,所以 g(x)的图 象关于点 π 2 ,1 2 对称,故 B 正确;令 4x=π 2 +kπ(k∈Z),则 x=π 8 +kπ 4 (k∈Z),当 k =-2 时,x=-3π 8 ,所以 g(x)的图象关于直线 x=-3π 8 对称,故 C 正确;当 x∈ - π 24 ,5π 16 时,4x∈ -π 6 ,5π 4 ,因此 sin 4x∈ - 2 2 ,1 ,g(x)∈ 0,2+ 2 4 ,所 以 g(x)在 - π 24 ,5π 16 上的最大值为2+ 2 4 ,故 D 错误.] 2.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古 老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一 个半径为 R 的水车,一个水斗从点 A(3 3,-3)出发,沿圆 周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时 60 秒.经过 t 秒后,水斗旋转到 P 点,设 P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足 y=f(t)=Rsin(ωt 14 +φ) t≥0,ω>0,|φ|<π 2 .则下列叙述错误的是( ) A.R=6,ω= π 30 ,φ=-π 6 B.当 t∈[35,55]时,点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6 C.当 t∈[10,25]时,函数 y=f(t)递减 D.当 t=20 时,|PA|=6 3 C [由题意,R= 27+9=6,T=60=2π ω ,所以ω= π 30 , t=0 时,点 A(3 3,-3)代入可得-3=6sin φ,因为|φ|<π 2 ,所以φ=-π 6 , 故 A 正确; f(t)=6sin π 30t-π 6 ,当 t∈[35,55]时, π 30t-π 6 ∈ π,5 3π , 所以点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6,B 正确; 当 t∈[10,25]时, π 30t-π 6 ∈ 1 6π,2π 3 ,函数 y=f(t)先增后减,C 不正确; 当 t=20 时,π 30t-π 6 =π 2 ,P 的纵坐标为 6,|PA|= 27+81=6 3,D 正确.故 选 C.] 3.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π 2 的部分 图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式,并写出其图象的对称中心; (2)若方程 f(x)+2cos 4x+π 3 =a 有实数解,求 a 的取值范围. [解] (1)由图可得 A=2,T 2 =2π 3 -π 6 =π 2 , 所以 T=π,所以ω=2. 当 x=π 6 时,f(x)=2,可得 2sin 2×π 6 +φ =2, 因为|φ|<π 2 ,所以φ=π 6. 15 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin 2x+π 6 . 令 2x+π 6 =kπ(k∈Z),得 x=kπ 2 - π 12(k∈Z), 所以函数 f(x)图象的对称中心为 kπ 2 - π 12 ,0 (k∈Z). (2)设 g(x)=f(x)+2cos 4x+π 3 , 则 g(x)=2sin 2x+π 6 +2cos 4x+π 3 =2sin 2x+π 6 +2 1-2sin2 2x+π 6 , 令 t=sin 2x+π 6 ,t∈[-1,1], 记 h(t)=-4t2+2t+2=-4 t-1 4 2+9 4 , 因为 t∈[-1,1],所以 h(t)∈ -4,9 4 , 即 g(x)∈ -4,9 4 ,故 a∈ -4,9 4 . 故 a 的取值范围为 -4,9 4 . 扩展应用 1.一半径为 4 m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动(按 逆时针方向)3 圈,当水轮上点 P 从水中浮现时开始计时,即从图中点 P0 开始计 算时间. (1)当 t=5 s 时点 P 离水面的高度________m; (2)将点 P 距离水面的高度 h(单位:m)表示为时间 t(单位:s)的函数,则此函 16 数表达式为________. (1)2 3+2 (2)h(t)=4sin π 10t-π 6 +2(t≥0) [(1)t=5 s 时,水轮转过角度为 3×2π 60 ×5=π 2 ,即点 P 转到点 A 处, 过点 P0,A 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 M,N. 在 Rt△MOP0 中,MP0=2,∴∠MOP0=π 6. 在 Rt△AON 中,∠AON=π 3 ,∴AN=4×sin π 3 =2 3, 此时点 A(P)离开水面的高度为(2 3+2)m. (2)由题意可知,ω=3×2π 60 = π 10 , 设角φ -π 2 <φ<0 是以 Ox 为始边,OP0 为终边的角, 由条件得 h(t)=4sin π 10t+φ +2 其中-π 2 <φ<0 . 将 t=0,h(0)=0 代入,得 4sin φ+2=0, ∴φ=-π 6 , ∴所求函数的解析式为 h(t)=4sin π 10t-π 6 +2(t≥0).] 2.[结构不良试题](2020·北京高三一模)已知函数 f(x)=asin 2x-π 6 - 2cos2 x+π 6 (a>0),且满足________. (1)求函数 f(x)的解析式及最小正周期; (2)若关于 x 的方程 f(x)=1 在区间[0,m]上有两个不同的解,求实数 m 的取 值范围. 从①f(x)的最大值为 1,②f(x)的图象与直线 y=-3 的两个相邻交点间的距离 等于π,③f(x)的图象过点 π 6 ,0 这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作 答. [解] (1)f(x)=asin 2x-π 6 -2cos2 x+π 6 17 =asin 2x-π 6 -cos 2x+π 3 -1 =asin 2x-π 6 -cos 2x-π 6 +π 2 -1 =asin 2x-π 6 +sin 2x-π 6 -1 =(a+1)sin 2x-π 6 -1. 若选①,解答过程如下: 因为 f(x)的最大值为 1,所以 a+1=2,解得 a=1. 所以 f(x)=2sin 2x-π 6 -1,函数 f(x)的最小正周期 T=2π 2 =π. 若选②,解答过程如下: 因为 f(x)的图象与直线 y=-3 的两个相邻交点间的距离等于π, 且函数 f(x)的最小正周期 T=2π 2 =π,所以-3 是函数 f(x)的最小值. 因为 a>0,所以 a+1>0, 所以 f(x)的最小值为-(a+1)-1=-3,解得 a=1. 所以 f(x)=2sin 2x-π 6 -1. 若选③,解答过程如下: 由 f π 6 =0,得(a+1)sin 2×π 6 -π 6 -1=(a+1)sin π 6 -1=0, 即a+1 2 -1=0,解得 a=1. 所以 f(x)=2sin 2x-π 6 -1,函数 f(x)的最小正周期为 T=2π 2 =π. (2)令 f(x)=1,结合(1)得 sin 2x-π 6 =1, 解得 2x-π 6 =π 2 +2kπ,k∈Z,即 x=π 3 +kπ,k∈Z. 若关于 x 的方程 f(x)=1 在区间[0,m]上有两个不同的解,则 x=π 3 或 x=4π 3 . 18 所以实数 m 的取值范围是 4π 3 ,7π 3 .

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