1
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
的简单应用
1.函数 y=sin 2x-π
3 在区间 -π
2
,π 上的简图是( )
A B
C D
2.函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=2 所得线段长为π
2
,
则 f
π
6 的值是( )
A.- 3 B. 3
3
C.1 D. 3
3.(2020·张家口模拟)要得到函数 f(x)=cos
π
2x-π
6 的图象,可将函数 g(x)=
sin π
2x 的图象( )
A.向左平移π
3
个单位长度
B.向左平移2π
3
个单位长度
C.向右平移π
3
个单位长度
D.向右平移2π
3
个单位长度
4.(2020·南昌模拟)已知函数 f(x)=asin ωx+acos ωx(a>0,
ω>0)的部分图象如图所示,则实数 a,ω的值分别为( )
2
A.a=2,ω=2
B.a=2,ω=1
C.a=2,ω=3
2
D.a=2,ω=1
2
5.(多选)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如
图所示,则( )
A.该函数的解析式为 y=2sin
2
3x+π
3
B.该函数的对称中心为 kπ-π
3
,0 ,k∈Z
C.该函数的单调递增区间是 3kπ-5π
4
,3kπ+π
4 ,k∈Z
D.把函数 y=2sin x+π
3 的图象上所有点的横坐标变为原来的3
2
,纵坐标不
变,可得到该函数图象
6.(多选)将函数 f(x)=sin 3x 的图象向右平移π
6
个单位长度后得到函数 g(x)
的图象,则( )
A.g(x)在 0,π
2 上的最小值为 0
B.g(x)在 0,π
2 上的最小值为-1
C.g(x)在 0,π
2 上的最大值为 0
D.g(x)在 0,π
2 上的最大值为 1
7.(2020·无锡模拟)若函数 y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π
2
个单位
3
长度后,与函数 y=sin 2x-π
3 的图象重合,则φ=________.
8.函数 f(x)=sin x+cos x 的图象向右平移 t(t>0)个单位长度后所得函数为
偶函数,则 t 的最小值为________.
9.(2020·山东烟台调研)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>
0,|φ|<π)的部分图象如图所示,与 y 轴的交点坐标是(0,1).若
f(x)的最小正周期是π,则 f(x)=________;若 f(x)的图象关于
点 -π
6
,0 对称,且在区间
π
3
,14π
33 上单调递减,则ω的最大
值是________.
10.设函数 f(x)=cos(ωx+φ) ω>0,-π
2
<φ<0 的最小正周期为π,且 f
π
4 =
3
2 .
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.
11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π
2
的部分图象如图所示.
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)若对于任意的 x∈[0,m],f(x)≥1 恒成立,求 m 的
最大值.
能力提高
1.(多选)已知函数 f(x)=cos2 ωx- π
12 (ω>0)的最小正周期为π
2
,将 f(x)的图
象向左平移π
6
个单位长度得到函数 g(x)的图象,则下列结论中正确的是( )
A.g(x)为奇函数
4
B.g(x)的图象关于点
π
2
,1
2 对称
C.g(x)的图象关于直线 x=-3π
8
对称
D.g(x)在 - π
24
,5π
16 上的最大值是3
4
2.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古
老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一
个半径为 R 的水车,一个水斗从点 A(3 3,-3)出发,沿圆
周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时 60 秒.经过 t
秒后,水斗旋转到 P 点,设 P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足 y=f(t)=Rsin(ωt
+φ) t≥0,ω>0,|φ|<π
2 .则下列叙述错误的是( )
A.R=6,ω= π
30
,φ=-π
6
B.当 t∈[35,55]时,点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6
C.当 t∈[10,25]时,函数 y=f(t)递减
D.当 t=20 时,|PA|=6 3
3.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π
2 的部分
图象如图所示.
(1)求函数 f(x)的解析式,并写出其图象的对称中心;
(2)若方程 f(x)+2cos 4x+π
3 =a 有实数解,求 a 的取值范围.
扩展应用
1.一半径为 4 m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动(按
逆时针方向)3 圈,当水轮上点 P 从水中浮现时开始计时,即从图中点 P0 开始计
算时间.
5
(1)当 t=5 s 时点 P 离水面的高度________m;
(2)将点 P 距离水面的高度 h(单位:m)表示为时间 t(单位:s)的函数,则此函
数表达式为________.
2.[结构不良试题](2020·北京高三一模)已知函数 f(x)=asin 2x-π
6 -
2cos2 x+π
6 (a>0),且满足________.
(1)求函数 f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于 x 的方程 f(x)=1 在区间[0,m]上有两个不同的解,求实数 m 的取
值范围.
从①f(x)的最大值为 1,②f(x)的图象与直线 y=-3 的两个相邻交点间的距离
等于π,③f(x)的图象过点
π
6
,0 这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作
答.
6
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
的简单应用
1.函数 y=sin 2x-π
3 在区间 -π
2
,π 上的简图是( )
A B
C D
A [令 x=0,得 y=sin
-π
3 =- 3
2
,排除 B、D.
由 f
-π
3 =0,f
π
6 =0,排除 C,故选 A.]
2.函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=2 所得线段长为π
2
,
则 f
π
6 的值是( )
A.- 3 B. 3
3
C.1 D. 3
D [由题意可知该函数的周期为π
2
,
∴π
ω
=π
2
,ω=2,f(x)=tan 2x.∴f
π
6 =tan π
3
= 3.]
7
3.(2020·张家口模拟)要得到函数 f(x)=cos
π
2x-π
6 的图象,可将函数 g(x)=
sin π
2x 的图象( )
A.向左平移π
3
个单位长度
B.向左平移2π
3
个单位长度
C.向右平移π
3
个单位长度
D.向右平移2π
3
个单位长度
B [f(x)=cos
π
2x-π
6 =sin
π
2
+
π
2x-π
6 =sin
π
2x+π
3 =sin
π
2
x+2π
3 ,
因此只需将函数 g(x)=sin π
2x 的图象向左平移2π
3
个单位长度即可,故选 B.]
4.(2020·南昌模拟)已知函数 f(x)=asin ωx+acos ωx(a>0,
ω>0)的部分图象如图所示,则实数 a,ω的值分别为( )
A.a=2,ω=2
B.a=2,ω=1
C.a=2,ω=3
2
D.a=2,ω=1
2
C [由 f(0)=2 得 a=2,则 f(x)=2sin ωx+2cos ωx=2 2sin ωx+π
4 .
由 f(0)=f
π
3 及结合图形知,函数 f(x)在 x=π
6
处取得最大值,∴π
6ω+π
4
=2kπ
+π
2
,k∈Z,
即ω=12k+3
2
,k∈Z.
∵T
2
>π
3
,即π
ω
>π
3
,∴0<ω<3,
8
∴ω=3
2
,故选 C.]
5.(多选)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如
图所示,则( )
A.该函数的解析式为 y=2sin
2
3x+π
3
B.该函数的对称中心为 kπ-π
3
,0 ,k∈Z
C.该函数的单调递增区间是 3kπ-5π
4
,3kπ+π
4 ,k∈Z
D.把函数 y=2sin x+π
3 的图象上所有点的横坐标变为原来的3
2
,纵坐标不
变,可得到该函数图象
ACD [根据图象看出:A=2,2π
ω
=3π,∴ω=2
3
,
∴2
3
×π
4
+φ=π
2
,
∴φ=π
3
,
∴该函数的解析式为 y=2sin
2
3x+π
3 ,∴选项 A 正确;
∵k=0 时,kπ-π
3
=-π
3
,2sin
2
3
× -π
3 +π
3 =2sinπ
9
≠0,∴选项 B 错误;
解-π
2
+2kπ≤2
3x+π
3
≤π
2
+2kπ得,3kπ-5π
4
≤x≤3kπ+π
4
,k∈Z,
∴该函数的单调递增区间是 3kπ-5π
4
,3kπ+π
4 ,k∈Z,∴选项 C 正确;
将函数 y=2sin x+π
3 的图象上所有点的横坐标变为原来的3
2
,纵坐标不变,
9
可得到 y=2sin
2
3x+π
3 ,
∴选项 D 正确.
故选 ACD.]
6.(多选)将函数f(x)=sin 3x的图象向右平移π
6
个单位长度后得到函数g(x )
的图象,则( )
A.g(x)在 0,π
2 上的最小值为 0
B.g(x)在 0,π
2 上的最小值为-1
C.g(x)在 0,π
2 上的最大值为 0
D.g(x)在 0,π
2 上的最大值为 1
BD [将函数 f(x)=sin 3x 的图象向右平移π
6
个单位长度后,得到函数 g(x)=
sin 3x-π
2 =-cos 3x 的图象,
当 x∈ 0,π
2 时,3x∈ 0,3π
2 ,cos 3x∈[-1,1],-cos 3x∈[-1,1],
故 g(x)的最大值为 1,最小值为-1,
故选 BD.]
7.(2020·无锡模拟)若函数 y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π
2
个单位
长度后,与函数 y=sin 2x-π
3 的图象重合,则φ=________.
π
6 [把函数 y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π
2
个单位长度后,得到 y
=cos(2x-π+φ)的图象.由题意知 cos(2x-π+φ)=sin 2x-π
3 ,
即 sin 2x-π
2
+φ =sin 2x-π
3 ,
由 0<φ<π知φ-π
2
=-π
3
,即φ=π
6.]
10
8.函数 f(x)=sin x+cos x 的图象向右平移 t(t>0)个单位长度后所得函数为
偶函数,则 t 的最小值为________.
3π
4 [函数 f(x)=sin x+cos x= 2sin x+π
4 ,其图象向右平移 t(t>0)个单位长
度后所得函数 y= 2sin x-t+π
4 为偶函数,则-t+π
4
=π
2
+kπ(k∈Z),即 t=-π
4
-
kπ(k∈Z),又 t>0,∴当 k=-1 时,tmin=3π
4 .]
9.(2020·山东烟台调研)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>
0,|φ|<π)的部分图象如图所示,与 y 轴的交点坐标是(0,1).若
f(x)的最小正周期是π,则 f(x)=________;若 f(x)的图象关于
点 -π
6
,0 对称,且在区间
π
3
,14π
33 上单调递减,则ω的最大
值是________.
2sin 2x+5π
6 11 [由于函数 f(x)的图象经过点(0,1),所以 2sin φ=1,sin φ
=1
2
,由图象及|φ|<π可知φ=5π
6
,于是 f(x)=2sin ωx+5π
6 ,又 f(x)的最小正周期
是π,所以ω=2π
π
=2,故 f(x)=2sin 2x+5π
6 .由 f(x)的图象关于点 -π
6
,0 对称,
得-π
6ω+5π
6
=nπ,n∈Z,即ω=-6n+5,n∈Z,令π
2
+2kπ≤ωx+5π
6
≤3π
2
+2kπ,
k∈Z,得- π
3ω
+2kπ
ω
≤x≤2π
3ω
+2kπ
ω
,k∈Z,所以 f(x)在 - π
3ω
+2kπ
ω
,2π
3ω
+2kπ
ω (k
∈Z)上单调递减,又 f(x)在区间
π
3
,14π
33 上单调递减,所以
- π
3ω
+2kπ
ω
≤π
3
,
14π
33
≤2π
3ω
+2kπ
ω
(k∈Z),即
ω≥6k-1,
ω≤33k
7
+11
7
(k∈Z),即 6k-1≤ω≤33k
7
+
11
7 (k∈Z),由 0<6k-1≤33k
7
+11
7
,得1
6
<k≤2,当 k=1 时,5≤ω≤44
7
,当 k=2
时,ω=11,又ω=-6n+5,n∈Z,所以ω=5 或ω=11,所以ω的最大值是 11.]
11
10.设函数 f(x)=cos(ωx+φ) ω>0,-π
2
<φ<0 的最小正周期为π,且 f
π
4 =
3
2 .
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.
[解] (1)因为 T=2π
ω
=π,所以ω=2,
又因为 f
π
4 =cos 2×π
4
+φ =cos
π
2
+φ
=-sin φ= 3
2
,且-π
2
<φ<0,所以φ=-π
3.
(2)由(1)知 f(x)=cos 2x-π
3 .
列表:
2x-π
3
-π
3 0 π
2 π 3π
2
5π
3
x 0 π
6
5π
12
2π
3
11π
12 π
f(x) 1
2 1 0 -1 0 1
2
描点,连线,可得函数 f(x)在[0,π]上的图象如图所示.
11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π
2
的部分图象如图所示.
12
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)若对于任意的 x∈[0,m],f(x)≥1 恒成立,求 m 的最大值.
[解] (1)由图象可知,A=2.
因为| 5
12π-π
6|=T
4(T 为最小正周期),所以 T=π.
由π=2π
ω
,解得ω=2.
又函数 f(x)的图象经过点
π
6
,2 ,所以 2sin 2×π
6
+φ =2,解得φ=π
6
+2kπ(k
∈Z).
又|φ|<π
2
,所以φ=π
6.
所以 f(x)=2sin 2x+π
6 .
(2)因为 x∈[0,m],所以 2x+π
6
∈
π
6
,2m+π
6 .
当 2x+π
6
∈
π
6
,π
2 ,即 x∈ 0,π
6 时,f(x)单调递增;
所以此时 f(x)≥f(0)=1,符合题意;
当 2x+π
6
∈
π
2
,5π
6 ,即 x∈
π
6
,π
3 时,f(x)单调递减,
所以 f(x)≥f
π
3 =1,符合题意;
当 2x+π
6
∈
5π
6
,3π
2 时,即 x∈
π
3
,2π
3 时,f(x)单调递减,
所以 f(x)<f
π
3 =1,不符合题意.
综上,若对于任意的 x∈[0,m],f(x)≥1 恒成立,则必有 0<m≤π
3
,所以 m
的最大值是π
3.
能力提高
13
1.(多选)已知函数 f(x)=cos2 ωx- π
12 (ω>0)的最小正周期为π
2
,将 f(x)的图
象向左平移π
6
个单位长度得到函数 g(x)的图象,则下列结论中正确的是( )
A.g(x)为奇函数
B.g(x)的图象关于点
π
2
,1
2 对称
C.g(x)的图象关于直线 x=-3π
8
对称
D.g(x)在 - π
24
,5π
16 上的最大值是3
4
BC [f(x)=cos2 ωx- π
12 =1
2
+1
2cos 2ωx-π
6 ,依题意有2π
2ω
=π
2
,所以ω=2,
因此 f(x)=1
2cos 4x-π
6 +1
2.将 f(x)的图象向左平移π
6
个单位长度得到 g(x)的图象,
所以 g(x)=1
2cos 4 x+π
6 -π
6 +1
2
=-1
2sin 4x+1
2.易知 g(x)不是奇函数,故 A 错误;
令 4x=kπ(k∈Z),则 x=kπ
4 (k∈Z),当 k=2 时,x=π
2
,又 g
π
2 =1
2
,所以 g(x)的图
象关于点
π
2
,1
2 对称,故 B 正确;令 4x=π
2
+kπ(k∈Z),则 x=π
8
+kπ
4 (k∈Z),当 k
=-2 时,x=-3π
8
,所以 g(x)的图象关于直线 x=-3π
8
对称,故 C 正确;当 x∈
- π
24
,5π
16 时,4x∈ -π
6
,5π
4 ,因此 sin 4x∈ - 2
2
,1 ,g(x)∈ 0,2+ 2
4 ,所
以 g(x)在 - π
24
,5π
16 上的最大值为2+ 2
4
,故 D 错误.]
2.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古
老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一
个半径为 R 的水车,一个水斗从点 A(3 3,-3)出发,沿圆
周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时 60 秒.经过 t
秒后,水斗旋转到 P 点,设 P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足 y=f(t)=Rsin(ωt
14
+φ) t≥0,ω>0,|φ|<π
2 .则下列叙述错误的是( )
A.R=6,ω= π
30
,φ=-π
6
B.当 t∈[35,55]时,点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6
C.当 t∈[10,25]时,函数 y=f(t)递减
D.当 t=20 时,|PA|=6 3
C [由题意,R= 27+9=6,T=60=2π
ω
,所以ω= π
30
,
t=0 时,点 A(3 3,-3)代入可得-3=6sin φ,因为|φ|<π
2
,所以φ=-π
6
,
故 A 正确;
f(t)=6sin
π
30t-π
6 ,当 t∈[35,55]时, π
30t-π
6
∈ π,5
3π ,
所以点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6,B 正确;
当 t∈[10,25]时, π
30t-π
6
∈
1
6π,2π
3 ,函数 y=f(t)先增后减,C 不正确;
当 t=20 时,π
30t-π
6
=π
2
,P 的纵坐标为 6,|PA|= 27+81=6 3,D 正确.故
选 C.]
3.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π
2 的部分
图象如图所示.
(1)求函数 f(x)的解析式,并写出其图象的对称中心;
(2)若方程 f(x)+2cos 4x+π
3 =a 有实数解,求 a 的取值范围.
[解] (1)由图可得 A=2,T
2
=2π
3
-π
6
=π
2
,
所以 T=π,所以ω=2.
当 x=π
6
时,f(x)=2,可得 2sin 2×π
6
+φ =2,
因为|φ|<π
2
,所以φ=π
6.
15
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin 2x+π
6 .
令 2x+π
6
=kπ(k∈Z),得 x=kπ
2
- π
12(k∈Z),
所以函数 f(x)图象的对称中心为
kπ
2
- π
12
,0 (k∈Z).
(2)设 g(x)=f(x)+2cos 4x+π
3 ,
则 g(x)=2sin 2x+π
6 +2cos 4x+π
3
=2sin 2x+π
6 +2 1-2sin2 2x+π
6 ,
令 t=sin 2x+π
6 ,t∈[-1,1],
记 h(t)=-4t2+2t+2=-4 t-1
4 2+9
4
,
因为 t∈[-1,1],所以 h(t)∈ -4,9
4 ,
即 g(x)∈ -4,9
4 ,故 a∈ -4,9
4 .
故 a 的取值范围为 -4,9
4 .
扩展应用
1.一半径为 4 m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动(按
逆时针方向)3 圈,当水轮上点 P 从水中浮现时开始计时,即从图中点 P0 开始计
算时间.
(1)当 t=5 s 时点 P 离水面的高度________m;
(2)将点 P 距离水面的高度 h(单位:m)表示为时间 t(单位:s)的函数,则此函
16
数表达式为________.
(1)2 3+2 (2)h(t)=4sin
π
10t-π
6 +2(t≥0) [(1)t=5 s 时,水轮转过角度为
3×2π
60
×5=π
2
,即点 P 转到点 A 处,
过点 P0,A 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 M,N.
在 Rt△MOP0 中,MP0=2,∴∠MOP0=π
6.
在 Rt△AON 中,∠AON=π
3
,∴AN=4×sin π
3
=2 3,
此时点 A(P)离开水面的高度为(2 3+2)m.
(2)由题意可知,ω=3×2π
60
= π
10
,
设角φ
-π
2
<φ<0 是以 Ox 为始边,OP0 为终边的角,
由条件得 h(t)=4sin
π
10t+φ +2
其中-π
2
<φ<0 .
将 t=0,h(0)=0 代入,得 4sin φ+2=0,
∴φ=-π
6
,
∴所求函数的解析式为 h(t)=4sin
π
10t-π
6 +2(t≥0).]
2.[结构不良试题](2020·北京高三一模)已知函数 f(x)=asin 2x-π
6 -
2cos2 x+π
6 (a>0),且满足________.
(1)求函数 f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于 x 的方程 f(x)=1 在区间[0,m]上有两个不同的解,求实数 m 的取
值范围.
从①f(x)的最大值为 1,②f(x)的图象与直线 y=-3 的两个相邻交点间的距离
等于π,③f(x)的图象过点
π
6
,0 这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作
答.
[解] (1)f(x)=asin 2x-π
6 -2cos2 x+π
6
17
=asin 2x-π
6 -cos 2x+π
3 -1
=asin 2x-π
6 -cos 2x-π
6
+π
2 -1
=asin 2x-π
6 +sin 2x-π
6 -1
=(a+1)sin 2x-π
6 -1.
若选①,解答过程如下:
因为 f(x)的最大值为 1,所以 a+1=2,解得 a=1.
所以 f(x)=2sin 2x-π
6 -1,函数 f(x)的最小正周期 T=2π
2
=π.
若选②,解答过程如下:
因为 f(x)的图象与直线 y=-3 的两个相邻交点间的距离等于π,
且函数 f(x)的最小正周期 T=2π
2
=π,所以-3 是函数 f(x)的最小值.
因为 a>0,所以 a+1>0,
所以 f(x)的最小值为-(a+1)-1=-3,解得 a=1.
所以 f(x)=2sin 2x-π
6 -1.
若选③,解答过程如下:
由 f
π
6 =0,得(a+1)sin 2×π
6
-π
6 -1=(a+1)sin π
6
-1=0,
即a+1
2
-1=0,解得 a=1.
所以 f(x)=2sin 2x-π
6 -1,函数 f(x)的最小正周期为 T=2π
2
=π.
(2)令 f(x)=1,结合(1)得 sin 2x-π
6 =1,
解得 2x-π
6
=π
2
+2kπ,k∈Z,即 x=π
3
+kπ,k∈Z.
若关于 x 的方程 f(x)=1 在区间[0,m]上有两个不同的解,则 x=π
3
或 x=4π
3 .
18
所以实数 m 的取值范围是
4π
3
,7π
3 .