第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第 1 课时 正切与坡度
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．
2．能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度(坡比)等．
3．能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算．
重点
理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系．
难点
理解正切的意义，并用它来表示两边的比．
一、情境导入
师：梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个
梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？
课件出示下图，提出问题：
(1)甲组中 EF 和 AB 哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？有几种判断方法？
(2)乙组中 AB 和 EF 哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？
甲组 乙组
二、探究新知
引导学生阅读教材第 2～4 页的内容，完成以下问题：
1．比较梯子的倾斜程度
(1)如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？
(2)分别求出每组图中的AC
BC
与ED
FD
，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？
2. 如下图，小明想通过测量 B1C1 及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而
小亮则认为，通过测量 B2C2 及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小
亮的看法吗？
(1)Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系？
(2)B1C1
AC1
和B2C2
AC2
有什么关系？
(3)如果改变 B2 在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？
3．正切是如何定义的？
4．梯子的倾斜程度与 tan A 的值有什么关系？
5．坡度是如何定义的？
三、举例分析
例 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
甲 乙
(1)tan α和 tan β 的值分别是多少？
(2)你能比较 tan α和 tan β 的大小吗？
(3)根据 tan A 的值越大，梯子越陡你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？
四、练习巩固
1．在△ABC 中，∠C＝90°，则 tan A 等于( )
A.BC
AB B. AC
AB C. BC
AC D. AB
AC
2．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，若 tan A＝3
4
，则 AC＝________.
3．如图，Rt△ACB 中，∠B＝90°，BC＝10，tan A＝ 5
12
，求 AB，AC.
五、课堂小结
1．易错点：
(1) tan A 中常省略角的符号“∠”，用希腊字母表示角时也可省略，如：tan α，tan
β 等．但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成
tan ∠BAC 或 tan ∠1，tan ∠2 等；
(2) tan A 没有单位，它表示一个比值；
(3) tan A 是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“tan ”乘“A”．
2．归纳小结：
(1)tan A＝∠A 的对边
∠A 的邻边
；
(2)tan A 的值越大，梯子越陡．
3．方法规律：
(1)一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tan A＝∠A 的对边
∠A 的邻边
只能在直角三角
形中适用；
(2)坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．
六、课外作业
1．教材第 4 页“随堂练习”第 1、2 题．
2．教材第 4 页习题 1.1 第 1、2 题．
本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，通过比较梯子哪个更
徒引入新课，激发了学生的求知欲．为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、几何
画板动态演示和验证、几何推理等方法，既直观地呈现了知识的内在联系，培养了学生的几
何直观能力，又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解．本课中，对梯子的倾斜程度、
坡角、坡度(坡比)的认识，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的
联系．第 2 课时 正弦和余弦
1．理解正弦、余弦及三角函数的意义．
2．能够运用 sin A，cos A 表示直角三角形两边的比．
3．根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．
重点
理解正弦、余弦的定义，能根据直角三角形的边角关系进行简单计算．
难点
正弦、余弦的理解及应用．
一、复习导入
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝3
4
，AC＝10，求 BC，AB 的长．
2．若梯子与水平面相交的锐角为∠A，∠A 越大，梯子越________；tan A 的值越大，
梯子越________．
3．当 Rt△ABC 中的一个锐角 A 确定时，其他边之间的比值也确定吗？ 可以用其他的
方式来表示梯子的倾斜程度吗？
二、探究新知
1．正弦、余弦及三角函数的定义
课件出示：
(1)Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 的关系是什么？
(2)B1C1
AB1
和B2C2
AB2
的关系是什么？
(3)如果改变 B2 在斜边上的位置，则B1C1
AB1
和B2C2
AB2
的关系是什么？
思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小经已确定时，它的对边
与斜边的比值____________，根据是________________．它的邻边与斜边的比值呢？
2．梯子的倾斜程度与 sin A 和 cos A 的关系
探究活动：梯子的倾斜程度与 sin A 和 cos A 之间有什么关系？
如图，AB，A1B1 表示梯子，CE 表示支撑梯子的墙，AC 在地面上．
(1)梯子 AB，A1B1 哪个更陡？
(2)梯子的倾斜程度与 sin A 和 cos A 有关系吗？
三、举例分析
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AC＝200，sin A＝0.6，求 BC 的长．
(1)sin A 等于图中哪两条边的比？
(2)你能根据 sin A＝0.6 写出等量关系吗？
(3)根据等量关系你能求出 BC 的长吗？
四、练习巩固
1．在 Rt△ABC 中，若各边的长度同时都缩小 4 倍，则锐角 A 的正弦值( )
A．缩小 4 倍 B．缩小 2 倍
C．保持不变 D．不能确定
2．已知∠A，∠B 为锐角．
(1)若∠A＝∠B，则 sin A________ sin B；
(2)若 sin A＝sin B，则∠A ________∠B.
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝6，求∠B 的三个三角函数值．
五、课堂小结
1．易错点：
(1)sin A，cos A，tan A 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直
角三角形)；
(2)sin A，cos A，tan A 是一个完整的符号，表示∠A 的正弦、余弦、正切，习惯省去“∠”
符号；
(3)sin A，cos A，tan A 都是一个比值，注意区别，且 sin A，cos A，tan A 均大于 0，无
单位；
(4)sin A，cos A，tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关
系．
2．归纳小结：
(1)正弦的定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的
比叫做∠A 的正弦，记作 sin A；
(2)余弦的定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角∠A 的邻边 AC 与斜边 AB
的比叫做∠ A 的余弦，记作 cos A；
(3)sin A 越大，梯子越陡； cos A 越小，梯子越陡．
3．方法规律：
两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等．
六、课外作业
1．教材第 6 页“随堂练习”第 1、2 题．
2．教材第 6～7 页习题 1.2 第 1、3、4、5 题．
本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比教学法，加深学生对教学内容的体会
和了解，很容易就掌握了正弦和余弦的概念和意义．同时，探究活动培养和发展了学生的观
察、思维能力．本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本
认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象
的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.2 30°，45°，60°角的三角函数值
1．经历探索 30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步
体会三角函数的意义．
2．能够进行 30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
3．能够根据 30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．
重点
能够进行 30°，45°，60°角的三角函数值的计算；能够根据 30°，45°，60°角的
三角函数值说出相应的锐角大小．
难点
通过探索特殊三角函数值的过程，培养学生进行有关推理的能力．
一、复习导入
1．在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°.
(1)a，b，c 三者之间的关系是什么？∠ A＋∠ B 等于多少度？
(2)如何表示 sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B?
2．观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
二、探究新知
课件出示：
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ A＝30°.
(1)a，b，c 三者之间有什么样的关系？
(2)sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流．
(3)cos 30°等于多少？tan 30°呢？
(4)sin 60°，cos 60°，tan 60°呢？
(5)45°角的三角函数值分别是多少呢？
引导学生填写表格：
三角函数值 sin A cos A tan A
30°
45°
60°
三、举例分析
例 1 计算：
(1) sin 30°＋cos 45°；
(2) sin 260°＋cos 260°－tan 45°.
处理方式：通过记忆特殊角的三角函数值求解，注意格式和过程．
例 2 (课件出示教材第 9 页例 2)
引导学生思考如下问题：
(1)你能根据题意画出图形吗？
(2)你能根据所画图形构造直角三角形吗？
(3)你能找到图形中的特殊角吗？
(4)你能根据特殊角的三角函数值求出正确的结果吗？
四、练习巩固
1．下列式子中成立的是 ( )
A．cos 72°＜sin 35°＜tan 46°
B．sin 35°＜tan 46°＜cos 72°
C．tan 46°＜cos 72°＜sin 35°
D．tan 46°＜cos 40°＜sin 35°
2．已知等腰△ABC 的腰长为 4 3，底角为 30°，则底边上的高为________，周长为
________．
3．若( 3tan A－3)2＋|2cos B－ 3|＝0，则△ABC 按角分类是什么三角形？
五、课堂小结
1．易错点：
(1)能进行含 30°，45°，60°角的三角函数值的计算；
(2)能根据 30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小．
2．归纳小结：
sin 30°＝1
2
，sin 45°＝ 2
2
，sin 60°＝ 3
2
；
cos 30°＝ 3
2
，cos 45°＝ 2
2
，cos 60°＝1
2
；
tan 30°＝ 3
3
，tan 45°＝1，tan 60°＝ 3.
3．方法规律：
在 Rt△ABC 中，若∠A＋∠B＝90°，则有：
sin A＝cos (90°－A)；
cos A＝ sin (90°－A) ；
sin B＝cos (90°－B)；
cos B＝sin (90°－B)．
六、课外作业
1．教材第 9 页“随堂练习”第 1、2 题．
2．教材第 10 页习题 1.3 第 1～4 题．
本节课课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知
识进行了整体的复习，效果很好．设计开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在
讲解特殊角的三角函数值时也很详细，可以说前部分的教学很成功，学生理解得很好.3 三
角函数的计算
1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义．
2．能用计算器由已知三角函数值求角度．
3．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．能够运用计算器辅助解决含三角函数值
计算的实际问题．
重点
熟悉计数器的使用，能熟练掌握按键顺序．
难点
非整数度的角的三角函数值的求法．
一、情境导入
课件出示：
如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m．已知缆车行驶的路
线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到 0.01m)
引导学生思考以下问题：
(1)在 Rt△ABC 中，sin α如何表示？
(2)你知道 sin 16°是多少吗？
(3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，那么怎样用科学计算器求三角函数
值呢？
二、探究新知
1．已知角求三角函数值
(1)引导学生阅读教材第 12 页用计算器求三角函数值的操作过程，提出问题：
①利用计算器求三角函数值用到哪些按键？
②求值过程中按键使用的先后顺序是什么？
③求整数角度和用“度、分、秒”表示的角度的区别是什么？
④通过自学你能利用计算器求出 sin 16°的数值吗？
(2)课件出示：
当缆车继续由点 B 到达点 D 时，他又走过了 200 m，缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与
水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？
引导学生思考如下问题：
①缆车从点 B 到点 D 通过的路程是多少？
②缆车从点 B 到点 D 水平通过的路程是多少？
③缆车从点 B 到点 D 垂直高度上升了多少？
2．已知三角函数值求角
(1)课件出示：
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在 10 m 高的天桥两端修建了 40 m 长的斜道，
这条斜道的倾斜角是多少？
引导学生思考如下问题：
①在 Rt△ABC 中，sin A 如何表示？
②你能根据题目中的已知条件求出 sin A 的数值吗？
③你能根据 sin A 的数值求出∠A 吗？
(2)引导学生阅读教材第 13～14 页用计算器求角的操作过程，提出问题：
① 利用计算器求角用到哪些按键？
②求角过程中按键使用的先后顺序是什么？
③如何利用计算器将求出的角度进行“度、分、秒”的换算？
④你能利用计算器求出∠A 的度数吗？
三、练习巩固
1．用计算器计算 cos 44°的结果(精确到 0.01)是( )
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
2. 用计算器求 tan 35°的值，按键顺序是____________________．
3．在 Rt△ABC 中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数(精确到 1
°)．
四、课堂小结
1．易错点：
(1)用计算器求三角函数值与用计算器求角的区别和联系；
(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的．
2．归纳小结：
(1)用计算器求三角函数值；
(2)用计算器求角．
3．方法规律：
(1)用计算器求三角函数值时，结果一般有 10 个数位，我们的教材中有一个约定：如无
特别说明，计算结果一般精确到万分位；
(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三
角函数键，再按数字键；先输入数字后，再按三角函数键．
五、课外作业
1．教材第 14 页“随堂练习”第 1、2、3 题．
2．教材第 15 页习题 1.4 第 1～6 题．
本节课在教学过程中，力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，然后逐步地加深
提高．但从实际的效果上看，学生的基础知识较差，计算能力薄弱，虽然训练量在增加，但
效果却不明显，始终对三角函数的性质运用很不熟练．在教学过程中，我深切感到自身知识
面的不足，在讲解练习时很单调，不能进行适当地扩展．在以后的教学中，我还要继续加强
自身的学习，不断钻研教材教法，力争做到讲课通俗易懂.4 解直角三角形
1．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的边角关系．
2．能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、边与角的关系解直角
三角形．
重点
直角三角形的解法．
难点
灵活运用三角函数解直角三角形．
一、复习导入
师：在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因此经常会遇到求直角三角形
的边长或角度等问题. 为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角．
课件出示：
如图，在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别记作 a，b，c.
(1)直角三角形的三边之间有什么关系？
(2)直角三角形的锐角之间有什么关系？
(3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
师：直角三角形中有 6 个元素，分别是三条边和三个角．那么至少知道几个元素，就可
以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题．
二、探究新知
1．已知两边解直角三角形
课件出示教材第 16 页例 1，提出问题：
(1)题目中已知几个元素？分别是什么？
(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？
(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？
(4)你能正确求解吗？
教师给出解直角三角形的定义及其依据．
2．已知一边和一锐角解直角三角形
课件出示教材第 16～17 页例 2，提出问题：
(1)题目中已知几个元素？分别是什么？
(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？
(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？
(4)你能仿照例 1 独立完成求解吗？
3．总结
(1)通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目
几个条件？如果只给两个角，可以吗？
(2)除直角外有 5 个元素(3 条边、2 个锐角)，要知道其中的几个元素就可以求出其他的
元素？
(3)通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？
归纳：解直角三角形，有下面两种情况(其中至少有一边) ：
(1)已知两条边(一直角边一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直边一锐角；一斜边一锐角)．
三、练习巩固
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝3
4
，AB＝5，则边 AC 的长是( )
A．3 B．4 C.15
4 D.5 7
4
2．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝2
3
，那么 AB＝________.
3．在△ABC 中，已知∠C＝90°，b＋c＝30，∠A－∠B＝30°，解这个直角三角形．
四、课堂小结
1．易错点：
(1)如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化；
(2)至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角才能解直角三角形．
2．归纳小结：
(1)“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程；
(2)解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知
一边一锐角；
(3)解直角三角形的方法：
①已知两边求第三边(或已知一边且另两边存在一定关系)时，用勾股定理(后一种需设未
知数，根据勾股定理列方程)；
②已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切；
③已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余．
3．方法规律：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便；
已知直边求直边，首选正切理当然；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要选好；
已知锐角求锐角，互余关系要记好；
已知直边求斜边，用除还需正余弦；
计算方法要选择，能用乘法不用除．
五、课外作业
1．教材第 17 页“随堂练习”．
2．教材第 17～18 页习题 1.5 第 1～4 题．
本节课的重难点是直角三角形的解法，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要
使学生知道什么叫做解直角三角形、直角三角形中三边之间的关系、两锐角之间的关系、边
角之间的关系．正确选用这些关系，是正确解直角三角形的关键．解直角三角形的方法灵活
多样，学生可以自由选择解题方法．在处理例题时，首先让学生独立完成，培养学生分析问
题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，然后全班集体交流解法和心得，达到共同
进步．
5 三角函数的应用
1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．
2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并
能对结果的意义进行说明．
重点
经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．
难点
灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决．
一、情境导入
如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始
在 A 岛南偏西 55°的 B 处，往东行驶 20 海里后到达该岛的南偏西 25°的 C 处，之后，货
轮继续往东航行．
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．
二、探究新知
课件出示教材第 19 页“想一想”，提出问题：
(1)什么是仰角？
(2)在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？
(3)怎样求该塔的高度？
处理方式：学生先独立思考解决问题的方法，再回答．
解：(1)当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．
(2)30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.
(3)∵CD 是 Rt△ADC 和 Rt△BDC 的公共边，在 Rt△ADC 中，tan 30°＝CD
AC
，即 AC＝
CD
tan 30°.在 Rt△BDC 中，tan 60°＝CD
BC
，即 BC＝ CD
tan 60°，又∵AB＝AC－BC＝50 m，∴
CD
tan 30°
－ CD
tan 60°
＝50.解得 CD≈43 m.
三、举例分析
例 (课件出示教材第 19 页“做一做”)
引导学生思考：
(1)你能根据题意将实际问题转化为数学问题吗？
(2)你能根据题意画出示意图吗？
(3)若 AC 代表原楼梯长，则楼高、楼梯所占地面的长度分别是多少？
(4)40°和 35°的角分别是哪个角？
(5)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？
(6)Rt△ABC 中的哪条边不变？
解：由条件可知，在 Rt△ABC 中，sin 40°＝AB
AC
，即 AB＝4sin 40°，原楼梯占地长
BC＝4cos 40°.调整后，在 Rt△ADB 中，sin 35°＝AB
AD
，则 AD＝ AB
sin35°
＝4sin 40°
sin 35° ，楼梯
占地长 DB＝4sin 40°
tan 35° .
∴调整后楼梯加长 AD－AC＝4sin 40°
sin 35°
－4≈0.48(m)．
楼梯比原来多占 DC＝DB－BC＝4sin 40°
tan 35°
－4cos 40°≈0.61(m)．
四、练习巩固
1．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进 500 m，则它上升的最大高度为( )
A．500sin α B. 500
sin α C．500cos α D. 500
cos α
2．如图，在坡度为 1：3 的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 6 m，则
斜坡上相邻两树间的坡面距离是________ m．(结果保留根号)
3．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B 为折断处最高点，
树顶 A 落在离树根 C 的 12 m 处，测得∠BAC＝30°，求 BC 的长．(结果保留根号)
五、课堂小结
1．易错点：
(1)对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角
平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等．对于这类问题，我们常用的
解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程(组)，然后解方程(组)，
求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的；
(2)在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而
作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方
法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的转化．
2．归纳小结：
解直角三角形一般有以下几个步骤：
(1)审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知
条件；
(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；
(3)若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅
助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；
(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．
3．方法规律：
(1)在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：
① 若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数值；
② 若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数值；
(2)求某些未知量的途径往往不唯一．选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直
接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法
计算．
六、课外作业
1．教材第 20 页“随堂练习”第 1、2 题．
2．教材第 21 页习题 1.6 第 1～4 题．
本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节．上课前多揣摩学
生的认知特点，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功
的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让他们做课堂这个舞台的主角．教师尽最大可能在
课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反
思，做好反馈工作．不断总结课堂教学中的得失，不断进步，只有这样，才能真正提高课堂
教学效率．
6 利用三角函数测高
1．能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，能够对所得到的数据进行分析，从而
得出符合实际的结果．
2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．
重点
设计活动方案、自制仪器、运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．
难点
运用直角三角形的边角关系求物体的高．
一、情境导入
问题 1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，
根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方法？
问题 2：这些测量的方法都用到了什么知识？
问题 3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？
二、探究新知
1．设计活动方案，自制仪器
(1)测倾器(或测角仪、经纬仪等)由哪几部分构成？
(2)制作测角仪时应注意什么？
处理方式：小组讨论总结测倾器的制作方法和使用步骤．
2．测量倾斜角
(1)把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的 0°刻度线重合，
这时度盘的顶线 PQ 在水平位置．
(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标 M，记下此时铅垂线所指的度数．那么这个度数
就是较高目标 M 的仰角．
师：这样做的依据是什么？
3．测量底部可以到达的物体的高度
要测物体 MN 的高度，可按下列步骤进行：(如下图)
(1)在测点 A 处安置测倾器(即测角仪)，测得 M 的仰角∠MCE＝α.
(2)量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN＝l.
(3)量出测倾器(即测角仪)的高度 AC＝a(即顶线 PQ 成水平位置时，它与地面的距离)．
师：根据测量数据，你能求出物体 MN 的高度吗？
解：在 Rt△MEC 中，∠MCE＝α，AN＝EC＝l，
∴tan α＝ ME
EC
，即 ME＝EC·tan a＝l·tan α.
∵NE＝AC＝a，∴MN＝ME＋EN＝l·tan α＋a.
4．测量底部不可以到达的物体的高度
要测量物体 MN 的高度，可按下列步骤进行：
(1)在测点 A 处安置测角仪，测得此时物体 MN 的顶端 M 的仰角∠MCE＝α.
(2)在测点 A 与物体之间的 B 处安置测角仪(点 A，B，N 都在同一条直线上)，此时测得
M 的仰角∠MDE＝β.
(3)量出测角仪的高度 AC＝BD＝a，以及测点 A，B 之间的距离 AB＝b.
师：根据测量数据，你能求出 MN 的高度吗？
分析：根据测量的 AB 的长度，AC，BD 的高度以及∠MCE，∠MDE 的大小，根据直
角三角形的边角关系．即可求出 MN 的高度．
解：∵在 Rt△MDE 中，ED＝ ME
tan β，
在 Rt△MCE 中，EC ＝ ME
tan α，
∴EC－ED＝b.
∴ MEtan β－MEtan α
tan αtan β
＝b.
∴ ME＝ btan αtan β
tan β－tan α.
∴ MN＝ btan αtan β
tan β－tan α
＋a.
三、练习巩固
1．直升飞机在离地面 2 000 m 的上空测得上海东方明珠底部的俯角为 30°，此时直升
飞机与上海东方明珠底部之间的距离是( )
A．2 000 m B．2 000 3 m
C．4 000 m D．4 000 3 m
2．2016 年 3 月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界
排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度 263 米的东方明珠球体观光层测得上海中
心大厦顶部的仰角是 22.3°.已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为 900 米，那么上
海中心大厦的高度约为 ________米(精确到 1 米)．(参考数据：sin 22.3°≈0.38，cos 22.3°
≈0.93，tan 22.3°≈0.41)
3．九年级 1 班的同学为了了解教学楼前一棵树的生长情况，去年在教学楼前点 A 处测
得树顶点 C 的仰角为 30°，树高 5 m，今年他们仍在原地 A 处测得大树顶点 D 的仰角为 37°，
问这棵树一年生长了多少米？(精确到 0.01)(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°
≈0.75， 3≈1.732)
四、课堂小结
1．易错点：
(1)支杆的中心线、铅垂线、0 刻度线要重合，否则测出的角度就不准确；
(2)测量底部不可以到达的物体的高度公式的推导．
2．归纳小结：
(1)侧倾器的构成；
(2)测量倾斜角；
(3)测量底部可以到达的物体的高度；
(4)测量底部不可以到达的物体的高度．
3．方法规律：
(1)测量底部可以到达的物体的高度 MN＝l·tan α＋a；
(2) 测量底部不可以到达的物体的高度 MN＝ btan αtan β
tan β－tan α
＋a.
五、课外作业
1．教材第 23 页“议一议”．
2．教材第 23 页习题 1.7 第 1、2、3 题．
本节课是一节活动课，课前应做好活动课的各项准备，提前预判活动课所需要的各种知
识与能力上的、动手操作环节上等相关经验储备．不能把本节课当作简单的应用题讲解课．
课堂是生命绽放的场所，由于不同学生有着不同的已有经验、不同的情感表达、不同的
认知方式，因此老师在组织活动时要放弃齐步走、一刀切的观念，对结果也不要急于求成，
应重视过程，让每个学生都参与方案讨论中来，慢下节奏让学生理解解决问题的思路与方法，
鼓励学生用其他方法测量物体的高，提升学生总结归纳的能力．
在学生制作测倾器时，教师要大胆鼓励学生动手操作，并鼓励学生判断误差产生的可能性及
减少误差的办法，建立理论与实践联系的思维方式，发展学生应用数学的能力．
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